高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质练习

高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质练习

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(·济南模拟)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是( )

A.若l∥α,m⊥l,则m⊥α B.若l⊥m,m⊥n,则m∥n

C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α D.若l⊥α,l∥a,则a⊥α

【解析】选D.对于A,m与α位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b⊂α,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.

2.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )

A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α

B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β

C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β

D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ

【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若α⊥γ,α⊥β,则β与γ相交,或β∥γ,故D为假命题;若m∥α,则α中必存在直线l与m平行,又m⊥β,所以l⊥β,故α⊥β,故选C.

3.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )

A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直

B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直

D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直

【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.

【误区警示】本题易由于空间想象不全,漏掉情况而误选.

4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,

CA的中点,下面四个结论不成立的是( )

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDE⊥平面ABC

【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为

△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.

【加固训练】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是(

)

A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCD

C.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC 【解析】选D.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,

所以BD⊥CD,

又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,

又AD⊥AB,AD∩CD=D,

故AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC.

5.(·泉州模拟)如图所示,AB是☉O的直径,VA垂直于☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是 ( )

A.MN∥AB

B.MN与BC所成的角为45°

C.OC⊥平面VAC

D.平面VAC⊥平面VBC

【解题提示】根据题设条件逐个结论验证,作出判断.

【解析】选D.对于A,MN与AB异面,故A错,对于B,可证BC⊥平面VAC,故BC⊥MN,所以所成的角为90°,因此B错;对于C,OC与AC不垂直,所以OC不可能垂直平面VAC,故C错;对于D,由于BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC,因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故D正确.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是 (填序号). ①平面ABC⊥平面ABD;

②平面ABC⊥平面BCD;

③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;

④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.

【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.

答案:③

【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.

7.(·马鞍山模拟)已知不同直线m,n与不同平面α,β,

给出下列三个命题:

①若m∥α,n∥α,则m∥n;

②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;

③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.

其中真命题的个数是

个.

【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.

答案:2

8.如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是 (填上所有正确的序号).

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;

②不论D折至何位置都有MN⊥AE;

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.

【解析】取AE的中点F,连接MF,NF,则MF∥DE,NF∥AB∥CE,从而平面MFN∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;又AE⊥MF,AE⊥NF,所以AE⊥平面MFN,从而AE⊥MN,②正确;又MN与AB是异面直线,则③错误.

答案:①②

三、解答题(每小题10分,共20分)

9. (·芜湖模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且PD=AD=1.

(1)求证:MN∥平面PCD.

(2)求证:平面PAC⊥平面PBD.

【证明】(1)取AD中点E,连接ME,NE,由已知M,N分别是PA,BC的中点,所以ME∥PD,NE∥CD,

又ME,NE⊂平面MNE,ME∩NE=E,

所以平面MNE∥平面PCD, 所以MN∥平面PCD.

(2)因为四边形ABCD为正方形,

所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC,所以AC⊥平面PBD,

所以平面PAC⊥平面PBD.

10.如图1,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起,折后如图2,满足平面ABCD⊥平面BCEF.

(1)求证:BD⊥EF.

(2)求三棱锥D-NBF的体积.

【解析】(1)由BD⊥AD,EF∥BC,

得BN⊥EF,DN⊥EF,

由BN交DN于N,

所以EF⊥平面DNB,

所以EF⊥BD.

(2)由EF⊥BD,EF∥BC,则BD⊥BC,

因为平面ABCD⊥平面BCEF,

所以BD⊥平面BCEF,

所以D到平面BNF的距离等于BD, 所以VD-BNF=S△BNF·BD=,

即所求三棱锥的体积为.

【加固训练】(·太原模拟)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为.

(1)求证:平面ABD⊥平面CBD.

(2)若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积.

【解析】(1)在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,OA=4,所以OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×=32,在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,

所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.

(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以VA-MCD=VB-MCD=VA-BCD=

S△BCD·AO=8.

(20分钟 40分)

1.(5分)(·芜湖模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC中恒成立的为(

)

A.①③ B.③④ C.①② D.②③④

【解析】选A.①由正四棱锥S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC.因为SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP.故正确.②由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确;③由①可知:平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此正确.④由①同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即不正确.综上可知选A.

2.(5分)(·沈阳模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:

①三棱锥A-D1PC的体积不变;

②A1P∥平面ACD1;

③DP⊥BC1;

④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的命题序号是

.

【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断.

【解析】连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.

又=,所以①正确.

因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.

由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.

答案:①②④

3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=

时,CF⊥平面B1DF.

【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF,

只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,

则A1F=3a-x.