【中小学资料】2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题5 解析几何 专题限时集训11 直线与圆 理

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中小学最新教育资料 专题限时集训(十一) 直线与圆

(对应学生用书第99页)

(限时：40分钟)

题型1 圆的方程 1,3,11,13

题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系

2,4,5,6,7,8,9,10,12,14

一、选择题

1．(2017·豫北名校4月联考)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是( )

A．(x－3)2＋(y－1)2＝4

B．(x－2)2＋(y－2)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4

D．(x－1)2＋(y－3)2＝4

D [设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝33x对称的点的坐标为(a，b)，则有 ba－2·33＝－1，b2＝33·a＋22，解得a＝1，b＝3，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.故选D.]

2．(2017·陕西教学质量检测(一))圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )

A．1＋2 B．2

C．1＋22 D．2＋22

A [将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，选A.]

3．(2017·福建厦门4月联考)若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )

【导学号：07804083】

A．0 B．1

C．2 D．3 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 B [方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜23.又a∈－2，0，1，34，∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.]

4．(2017·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

C [圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|12＋32＝2.

当0＜r＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；

当r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；

当1＜r＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；

当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；

当2＜r＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.

综上，当0＜r＜3时，圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，由圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1可得0＜r＜3，故p是q的充分必要条件，故选C.]

5．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )

A.0，125 B．[0,1]

C.1，125 D．0，125

A [因为圆心在直线y＝2x－4上，

所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋y－2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋a－2≤3.

由a2＋a－2≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R； 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 由a2＋a－2≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤125.

所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.故选A.]

6．(2017·武汉4月模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为( )

A．[－2,6] B．[－3,5]

C．[2,6] D．[3,5]

C [由题意，圆C上存在两点使MA⊥MB，则|CM|＝－2＋t－2≤20⇒2≤t≤6，故选C.]

7．(2017·石家庄一模)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b2取得最大值时a的值为( )

A.12 B．32

C.34 D．34

D [因为圆心到直线的距离d＝24a2＋b2，则直线被圆截得的弦长L＝2r2－d2＝24－44a2＋b2＝23，所以4a2＋b2＝4.t＝a1＋2b2＝122·(22a)1＋2b2≤122·12·[(22a)2＋(1＋2b2)2]＝142[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝942，当且仅当 8a2＝1＋2b24a2＋b2＝4时等号成立，此时a＝34，故选D.]

8．(2017·安徽淮北一模)已知直线l1与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于不同的A，B两点，对平面内任意的点Q都有QC→＝λQA→＋(1－λ)QB→.设P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，则PA→·PB→的最小值为( )

【导学号：07804084】

A．21 B．9

C．5 D．0

C [由QC→＝λQA→＋(1－λ)QB→可知，A，B，C三点共线，即弦AB为圆C的直径．又因为P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，且PA→·PB→＝(PC→＋CA→)·(PC→＋CB→)＝PC→2－CB→2中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 ＝PC→2－4，故PA→·PB→的最小值为PC→2－4的最小值．又因为圆心C(1,2)到直线l2：3x＋4y＋4＝0的距离为3＋8＋45＝3，故|PC→|min＝3，所以PA→·PB→的最小值为9－4＝5.故选C.]

二、填空题

9．(2017·湖南五市十校联考)已知直线l：mx＋y＋3＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交，弦长为2，则m＝________.

33 [由已知可得圆心(－1,0)到直线的距离d＝|3－m|m2＋1，所以|3－m|m2＋12＋1＝2，

解得m＝33.]

10．(2016·承德二模)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．

－43或－34 [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.

又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，

整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或k＝－34.]

11．(2016·郑州二模)已知⊙M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的标准方程为________．

10 [法一：(几何性质法)设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知 b2＋9＝r2，|3a＋b|32＋12＝r，a2＋b2＝r2，

解得 a＝3，b＝1，r2＝10，

故⊙M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.

法二：(待定系数法)因为圆M过原点，故可设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x轴中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 截得的弦长为6且圆心在第一象限，则－D22＝32，故D＝－6，与3x＋y＝0相切，则－E2－D2＝13，即E＝13D＝－2，因此所求方程为x2＋y2－6x－2y＝0.

故⊙M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.]

12．(2017·广东五校联考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．

1 [两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0配方得，(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，依题意得两圆相外切，故a2＋4b2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，1a2＋1b2＝a29＋4b291a2＋1b2＝19＋a29b2＋4b29a2＋49≥59＋2a29b2×4b29a2＝1，当且仅当a29b2＝4b29a2，即a2＝2b2时等号成立，故1a2＋1b2的最小值为1.]

三、解答题

13．(2017·河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

[解] (1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

法二：(定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．

(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以

x0＝2x－3，y0＝2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 －4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

14．(2016·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【导学号：07804085】

[解] (1)设圆心C(a,0)a＞－52，则|4a＋10|5＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C：x2＋y2＝4.

(2)存在．当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由 x2＋y2＝4，y＝kx－，得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，