高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：
（一）椭圆
1.椭圆的定义
如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆
即|PF1|+|PF
2|=2a其中P是动点，F
1,F
2是定点且|F
1F
2|=2C
当a>c时表示
当a=c时表示
当a
第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0
2.椭圆的标准方程参数方程
（1）标准方程
（2）参数方程
3.椭圆的性质
（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程
x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距
离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF
2|=(F
1，F
2分别为椭
圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称
轴的弦）|P1P
2|=
（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程
x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距
离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF
2|=(F
1，F
2分别为椭
圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
4.椭圆系
（1）共焦点的椭圆系方程为22
21xy
kkc
(其中k>c2,c为半焦距)
（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程22
22(0)xy
ab
(二)双曲线
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动
点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨
迹是双曲线的一支
F
1，F
2为两定点，P为一动点，(1)若||PF
1|-|PF
2||=2a
①0<2a<|F1F
2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F
2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2)若|PF
1|-|PF
2|=2a
①0<2a<|F1F
2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F
2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质
双曲线知识点归纳总结
双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式
双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：
(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1
其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径
双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线
双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。渐近线的方程为：
y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2
其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴
双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。对称轴的方程为：
x = h
5. 双曲线的准线和离心率
离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。准线的方程为：
y = k 或者 y = -k
其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点
双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形
双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用
双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
1 / 15 双曲线
[考试要求]
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 质 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±bax y＝±abx
离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
[常用结论]
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
双曲线十大经典结论
双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。
1. 双曲线的定义
双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。其中，a,b分别为双曲线的焦距。
2. 双曲线的中心对称性
双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。
3. 双曲线的渐近线
双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。
4. 双曲线的拐点
在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。这些点被称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的对称轴 双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。
6. 双曲线的面积公式
双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。
7. 双曲线的弦长公式
双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。
8. 双曲线的渐近线方程
双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。
9. 双曲线的反函数
双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -
a²))，其中cosh为双曲余弦函数。
10. 双曲线的应用
双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。
