求二次函数解析式的四种基本方法
二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础;熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证;
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c a≠0;
2、顶点式：y=ax－h2+k a≠0,其中点h,k为顶点,对称轴为x=h;
3、交点式：y=ax－x1x－x2 a≠0,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标;
4.对称点式： y=ax－x1x－x2+m a≠0
求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式;
4.若已知二次函数图象上的两个对称点x1、mx2、m,则设成： y=ax－x1x－x2+m a≠0,再将另一个坐标代入式子中,求出a的值,再化成一般形式即可;
探究问题,典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax2+bx+c a≠0;
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a≠0
依题意得：145cbaccba 解这个方程组得：432cba
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4;
例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(,与y轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式;
分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(,最好抛开题目给出的cbxaxy2,重新设顶点式y=ax－h2+k a≠0,其中点h,k为顶点;
解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax－42－1 a≠0
第 1 页 共 11 页 九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
【基础知识回顾】
一、二次函数与一元二次方程：
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式，即：设
2、设一般式，即：设 3、设交点式，即：设 【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点
等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】
【重点考点例析】
考点一：二次函数的最值
例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （ ）
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
对应训练
1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
考点二：确定二次函数关系式
例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。
1.顶点形式：y=a(x-h)²+k
顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
2. 一般形式：y = ax² + bx + c
一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。
3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)
描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。 以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。希望对你的学习有所帮助！
二次函数的解析式三种方法
二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法
公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。二次函数的标准形式可以表示为 y =
ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。一个常见的二次函数的例子为
y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值
在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c
的值。
可以得到两个方程：
4 = a(2)²+b(2)+c
3 = a(−1)²+b(−1)+c
然后，可以将这些方程化简为：
4 = 4a+2b+c
3 = a−b+c
接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。可以将第二个方程中的 a
解出来，然后带入第一个方程中，得到：
a = 2b−1
4 = 8b−4+2b+c
c = −8b+8
可以得到二次函数的解析式为：
y = (2b−1)x²+bx+8−8b 2. 使用公式法求解二次函数
一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：
x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)
这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：
