代数学简介

高等代数简介

一、高等代数的教学目的及重要性

代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。

二、高等代数简要发展史

代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程

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其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。到了19 世纪初, 挪威青年数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的方程一般不能用根式求解, 即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。19 世纪初30年代，法国一位青年数学家伽罗华对代数方程使用根式求解的可能性给出了一个一般性的判别法，使高次代数方程求解问题得到彻底解决。到19世纪中叶和后半世纪，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他在数学史上做出的贡献, 不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他所引入的思想，大大推动了对于群、域以及其它一些代数体系的研究，开辟了代数学的一个崭新的天地, 直接影响了代数学研究方法的变革，促进了代数学的进一步发展。

《九章算术》中的代数成就简介

《九章算术》是我国古代著名数学著作之一，始创于汉代，后经过魏晋南北朝、隋唐等时期的发展，形成了独特的丰富算法体系。其中，《九章算术》在代数方面有着举足轻重的地位，为后世代数学的发展奠定了基础。

代数是数学的一个重要分支，研究数与数之间的关系及其运算规律。而《九章算术》中的代数成就主要体现在运用代数方法解决实际问题、建立方程和求解方程等方面。

《九章算术》在实际问题的解决中发挥了重要作用。它以实际生活中的问题为背景，通过运用代数的思想和方法，将问题抽象为数学模型，进而求解。比如，在《九章算术》中有一章叫做《方程》的章节，其中介绍了如何利用代数方法解决实际问题中的方程。这使得人们能够更加方便、快捷地解决一些实际问题，为实际生活的发展提供了重要的支持。

《九章算术》在方程的建立方面也有很大的贡献。方程是代数学的核心概念之一，研究方程的建立和求解是代数学的重要课题。《九章算术》中的《方程》章节详细介绍了如何通过实际问题建立方程，从而将问题转化为数学语言，进而求解。这一方法为后世代数学家提供了重要的启示，也为代数学的发展打下了坚实的基础。

《九章算术》还在求解方程的方法上做出了重要贡献。在求解一元二次方程的问题上，《九章算术》提出了“方程三法”的方法，即分别利用求平方、配方和化为一次方程的方法，从而解决了一元二次方程的求解问题。这一方法不仅简单易行，而且适用范围广泛，成为后世方程求解的重要方法之一。

《九章算术》还在方程求解的结果验证方面起到了重要作用。为了验证方程的解是否正确，《九章算术》提出了“方程例”的方法，通过将方程的解代入方程中验证是否成立，从而判断解的正确性。这一方法有效地提高了方程求解的准确性和可靠性。

总结起来，《九章算术》在代数方面的成就主要体现在运用代数方法解决实际问题、建立方程和求解方程等方面。它以实际问题为基础，通过建立数学模型，运用代数的思想和方法，解决了许多实际问题，为后世代数学的发展奠定了基础。同时，它提出了一些重要的方程求解方法，为方程求解提供了有效的工具和思路。这些成就不仅在当时具有重要的应用价值，而且对后世代数学的发展产生了深远的影响。因此，《九章算术》中的代数成就堪称是数学史上的重要里程碑之一。

第１３卷第２期　２００７年５月　广西民族大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＵＡＮＧＸＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＦＯＲ　ＮＡＴＩＯＮＡＬＩＴＩＥＳ　（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶＯ１．１３　Ｎｏ．２　Ｍａｙ　２００７　

奥马・海亚姆　代数学　来源初探　

刘　琳　，杨淑辉　（１．东北财经大学津桥商学院，辽宁大连　１１６６００；　２．沈阳师范大学计算机与数学基础教学部，辽宁沈阳　１１００３４）　

摘　要：奥马・海亚姆的《代数学》是将代数与几何结合起来解决问题的代表作，也是阿拉伯数学中最突　出的成就之一．关于它的来源，在国内这方面的探讨还很少见．笔者从《代数学》的内容、方法等　方面与古希腊、古代中国以及阿拉伯本土数学家的有关著作进行了比较，形成下面的一些初步　的认识．奥马・海亚姆在方程代数解法后附有相应的几何证明以及将三次方程写成齐次方程的　形式，这都体现了古希腊几何代数学思想的影响；通过与中国古代著作《九章算术》进行比较，我　们发现《代数学》中的开方算法与中国古代方法非常相近，而与印度数学的算法相去甚远．《九章　算术》中的内容可能是沿着中国一印度一阿拉伯的路线传到伊斯兰世界，并对阿拉伯数学家产　生了间接的影响；同时，他继承了前辈花拉子米关于一元二次方程的解法．事实上，奥马・海亚　姆博采众长，非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素，从而创造性地完成了他的　代数学著作．　关键词：奥马・海亚姆；《代数学》；几何代数；圆锥曲线　中图分类号：Ｏ１１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—８４６２（２００７）０２—０００６—０４　

１　奥马・海亚姆生平及其著作　奥马・海亚姆全名是吉亚斯丁・阿布・法斯・　奥马・伊本・伊卜拉欣・内沙布里（Ｇｈｉｙａｔｈ　ａｌ—　Ｄｉｎ　ａｂｕ’ｌ—Ｆａｔｈ　Ｕｍａｒ　ｉｂｎ　Ｉｂｒｃｉｈｉｍ　ａｌ—Ｎｉｓｄｂｆｌｒｉ）　约１０４８年生于霍拉桑州的内沙布里（今伊朗境内），　约１１３１（另一说１１２３年）年卒于同地．他的名字海亚　姆，意思是帐篷的制造者，这可能来自他父亲的职业．　有人认为，阿拉伯各民族中有海亚姆族，以制造帐篷　为生，海亚姆的祖先可能是从阿拉伯迁入波斯的．海　亚姆早年在故乡内沙布里和巴尔赫受过广泛的科学　和哲学的教育，约１０７０年去撒马尔罕，在那里完成他　的重要科学论著，取得声望．后受聘到伊斯法罕，主持　天文台工作１８年之久，并创造了哲拉里历ｕ　（Ｊａ—　ｌａｌｅａｎ　ｃａｌｅｎｄａｒ）．　海亚姆是一位全能学者，在数学、天文学、哲学、　文学、法学、历史、药学和音乐等方面皆有著述，可是　流传至今的作品很少．在西方，他还以诗人而闻名，他　的《四行诗集》在十九世纪被译为多种文字．他学识渊　博，思想深刻，所注意的问题是宇宙的本质、时间的推　移、人与真主的关系等永恒性的问题．后人为了纪念　他，１９３４年在海亚姆的故乡内沙布里为他修建了一　座宏伟的陵墓．　

Hungerford《Algebra》解题手册

序

Hungerford《Algebra》解题手册是一本深入浅出、实用性极强的代数学解题指南。作为代数学领域的重要著作之一，该手册以其丰富的例题和详尽的解题过程向读者展示了代数学中的问题和解法。在学习代数学的过程中，该手册为读者提供了一个良好的学习工具和参考书籍，帮助他们更好地掌握代数学知识。

一、代数学简介

代数学是数学的一个重要分支，研究的是数学结构、运算和方程式。代数学所涉及的内容十分广泛，包括线性代数、裙论、环论、域论、模论等多个方面。在实际应用中，代数学在物理学、工程学、计算机科学等领域具有重要作用，是现代科学技术的重要基础。

二、Hungerford《Algebra》解题手册的特点

1. 通俗易懂：Hungerford《Algebra》解题手册通过简洁清晰的语言和丰富多样的例题，将复杂的代数学理论和方法呈现给读者，使其易于理解和掌握。

2. 理论与实践结合：该手册在解题过程中，既介绍了代数学的理论知识，也注重实际问题的解决方法，使读者能够将理论知识灵活运用到实际问题的解决中。

3. 全面深入：Hungerford《Algebra》解题手册覆盖了代数学领域的多个方面，包括裙论、环论、域论等内容，内容丰富、全面，有助于读者系统地了解代数学的各个方面。

4. 解题方法多样：手册中所提供的解题方法不仅仅包括常规的代数计算方法，还包括一些巧妙的数学技巧和方法，有助于读者培养解决复杂问题的能力和思维方式。

三、Hungerford《Algebra》解题手册的使用方法

1. 了解基本概念：在使用该手册之前，建议读者首先对代数学的基本概念有一个清晰的了解，包括裙、环、域等基本概念的定义和性质。

2. 注重例题实践：手册中提供了大量的例题，建议读者在学习时结合例题进行练习和理解，加深对代数学知识的掌握。

3. 注意解题过程：在解题过程中，读者要注意手册中所提供的解题方法和技巧，多加琢磨和思考，培养自己的解题思维。