解三角形应用举例
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案 64
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32 km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.
∴AB＝64 km.
∴A，B两点间的距离为64 km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ. 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，
故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为
m.
答案 30＋303
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，
教学案例根本信息
对应信息技术主题 技术支持的课堂讲授 技术支持的探究学习任务设计
开场时间 完毕时间
学科 数学 学段 初中 年级 三年级
案例名称 ?测量旗杆的高度?
教材 书名：数学 九年级下册
出版社：人民教育出版社
课程说明〔信息技术与学科教学内容结合方面的指导思想与理论依据〕：
指导思想：教育部公布的?国家根底教育课程改革纲要?中，进一步明确提出“大力推进信息
技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现
方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，
为学生的学习和开展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。〞信息技术的开展不断促
进教育教学的变革，为教学开展提出新的要求。
?新课程标准?强调注重落实学科开展观“以人为本〞的要求，关注学生学习的过程和方法，
注重对学生的思维能力、情感态度和价值观等方面的培养，着眼于学生的全面开展与可持续
开展。在一定情境下，通过协作、讨论、交流、互相帮助等形式去完成学习任务，借助探究
式学习、合作学习等形式，促进学生多面开展。
理论根底：随着多媒体和网络时代的迅猛开展，建构主义的学习理论与教学理论被广泛应用
开来。建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授所得，而是学习者在一定的情境下，
借助其他人的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。因此，建构主义学
习理论认为“情境〞、“协作〞、“会话〞和“意义建构〞是学习环境中的四大要素。建构
主义学习环境下，教学设计在关注教学目标的同时，注重问题情境的创设。因此，在本节课
的导入环境，以真实问题引入，创设情境。协作与会话发生在学习过程的始终，有助于学习
成果的交流与分享。在本节课的设计中，学生在自主探究完成后，设置小组合作环节，促进
小组间的交流学习。与此同时，设置小组的分享环节，进一步促进“会话〞环节的生成。意
义建构表达学生的主体性，主张以学生为中心，强调学生学习的主动性。
学习资料
班 级： 科 目： 2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修 测量高度、角度问题
[A组 学业达标]
1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
答案:D
2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( ）
A．100米 B．50错误!米
C．50错误!米 D．50（错误!＋1）米
解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，
在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，
所以DB＝错误!AB，
即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1） m.
所以山AB的高度为50(3＋1)米．
答案：D
3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为( )
A．20 m B．202 m
C．20错误! m D．40 m
解析：设高OP＝h，则OA＝htan 60°＝3h，OB＝htan 45°＝h。在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。故选D.
答案：D
4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（ ）
A。错误! B．错误! C.错误! D.错误!π
解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．
则由题意知，
sin α＝错误!＝错误!＝错误!，
勾股定理解决测量问题的数学法则
勾股定理，即勾三股四弦五，在众多的数学法则中具有重要意义。勾股定理的应用范围广泛，其中之一就是解决测量问题。在测量过程中，我们常常需要确定角度、边长等参数，而勾股定理正是帮助我们完成这些计算的有力工具。
一、勾股定理的基本原理
勾股定理源于古希腊数学家毕达哥拉斯的研究成果，其基本原理如下：
在直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边平方之和。即对于任意直角三角形ABC，若角C为直角，则AB² = AC² + BC²。
利用勾股定理可以解决测量问题，例如在三角形中已知两条边的长度，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度，从而实现测量目的。
二、测量角度问题的解决
除了测量边长外，勾股定理也可用于测量角度。在几何测量中，角度的准确测量对于建筑、地理、物理等领域都至关重要。
例如，在地理测量中，我们常常需要测量两地之间的夹角。通过勾股定理，我们可以利用已知的边长计算出两条边之间的角度。首先，确定两地之间的直角三角形，然后根据已知的边长代入勾股定理，求解出角度。 同样地，在建筑设计中，测量室内墙壁之间的角度也是一项常见任务。我们可以使用勾股定理计算出墙壁之间的夹角，从而确保设计的精准性。
三、测量距离问题的解决
勾股定理还可以用于解决测量距离的问题。例如，在现实生活中，我们经常需要测量不可直接测量的距离，如高楼之间的距离、河流的宽度等。
通过勾股定理，我们可以利用已知的边长计算出无法直接测量的距离。以测量高楼之间的距离为例，我们可以选择一个平坦的区域，测量出两座高楼之间的直角三角形的两条边长，然后代入勾股定理求解出距离。
四、测量问题实例分析
为了更好地理解勾股定理解决测量问题的数学法则，我们以一个实际问题为例进行分析。
假设我们想测量一座高楼的高度，但无法直接量取。我们选择一个平坦区域，并在该区域上标出一个已知长度的基线AB，并建立垂直于基线的直角坐标系。接下来，我们观察高楼顶部和基线AB构成的直角三角形。我们可以通过测量基线AB的长度和从基线AB到高楼顶部的垂直距离，利用勾股定理计算出高楼的高度。 首先，我们测量了基线AB的长度为6米。然后，我们利用测距工具垂直测量，得到高楼顶部到基线AB的垂直距离为8米。根据勾股定理，我们可以计算出高楼的高度。
