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埃拉托塞尼筛法的素数公式与黎曼猜想的素数公式-一都是来自埃氏筛一、摘要本文把黎曼猜想与素数普遍公式通过埃拉托塞尼筛法联系起来了。
［编辑本段1二，黎曼假设概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家蚕尔伯特列出23个数学问题.其中第8问题中便有黎曼假设(还包括挛生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于索数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826-1866)观察到，素数的频率•紧密相关于。
⑴时,(5)2 2 22+……。
(当(5)式的r=L时) 2(1.1尸=1 +上+ £3 3 32O (当(5)式的r=：时)(1.J_)T=1+-L+£+ .... (当(5)式的r=—nt) 5一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z(s)=。
的所有有意义的解都在一•条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,00。
个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕索数分布的许多奥秘带来光明。
1730年，欧拉在研究调和级数：1 1 1 1—=1 + — + — +...+ —n 2 3 n发现：V，1 1 1 1 1 1 1 IT 小1、.]〉一=(1 + — + -+・..)(1 + — + "V + ...)(1 + — + +…)...... =II (1 --------) o (2) n 2 22 3 32 5 52 1 1 P其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n s (s>1),即可。
黎曼的伟大猜想：素数之魂(上) 与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题2019年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。
在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。
距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。
那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。
这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地方，那就是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。
那个难题就是“黎曼猜想”。
黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。
素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。
这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。
从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。
素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。
黎曼猜想到底是什么意思？2018年，89岁⾼龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵⼠举⾏了他最后⼀次公开的数学报告：这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个⽉，⽼爷⼦就溘然长逝。
这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进⾏审查。
哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破⽅向，这在数学史上也层出不穷。
留待学界、时间来检验吧。
但是，黎曼猜想：函数的所有⾮平凡零点的实部都是。
到底说了什么，能让这位耄耋⽼⼈在⽣命的最后⼀刻依然向它发起冲锋；让⼀代代的数学家为之魂系梦绕（⼤数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第⼀件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。
逝者安息，⽣者传承，下⾯就以我们的⽅式尽量数普⼀下黎曼猜想，把⽼爷⼦这份执着传递⼀⼆，把⽆数数学家的这份执着传递⼀⼆。
1 素数⼤于 1 的⾃然数中，除了 1 和该数⾃⾝外，⽆法被其他⾃然数整除的数称为素数（Prime Number），⽐如 2、3、5、7、11、。
我们知道素数是⽆穷的[1]，也可以通过埃拉托斯特尼筛法[2]筛出有限个的素数：但对于素数的整体了解依然⾮常少，素数似乎是完全随机地掺杂在⾃然数当中的⼀样，下⾯是1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877、881、883、887 ⼜突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数⼀样多）：别说素数的精确分布了，就是随机抽取⼀个⾜够⼤的⾃然数出来，要检验它是否是素数都需要经过⼀番艰苦的计算。
以研究素数为核⼼的数论，在数学家眼中就是：数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。
----⾼斯你可能会有⼀个疑问，研究素数⼲嘛？可以改善⽣活吗？提⾼寿命吗？粮⾷增产吗？移民⽕星吗？当然可以给出⼀些现实的理由，⽐如流⾏的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的⼀些理论。
但是随着了解的深⼊，我发现对于数学家⽽⾔这些根本不重要，不⾜以构成驱使他们前进的动⼒。
理解最伟大的数学猜想——黎曼猜想昨天写了一篇文章，证明了所有自然数之和等于-1/12，很多小伙伴留言：老胡你真是胡说科学、混淆视听、怎么可能、逻辑错误……同学们都很厉害，但是大家比较谦虚，很少能说出问题的关键，这里涉及到一个非常著名的数学猜想：黎曼猜想，和一个数学概念：解析延拓！废话少说，进入正题！可以说，如今纯数学中最重要的未解决的证明就是黎曼假设了，该假设与素数的分布密切相关。
理解这个问题所需的基本技术之一称为解析延拓，这是本文的主题。
解析延拓是一种来自于数学分支复分析的技术，用于扩展复解析函数的定义域。
•图1:解析延拓技术在自然对数(虚部)上的应用示意图一些重要的数学概念在介绍这项技术之前，我将简要地解释一些重要的数学概念。
泰勒级数假设我们想求某个函数f(x)的多项式近似。
多项式是由变量和系数构成的数学表达式。
它们涉及基本操作(加法、减法和乘法)，并且只包含变量的非负整数指数。
一个n次变量x的多项式可以写成：•方程1：一元x次n的多项式图2:3次和4次多项式图现在假设多项式有一个无穷大的次数(它是由无限项的和给出的)。
这种多项式称为泰勒级数(或泰勒展开)。
泰勒级数是函数的无限项和的多项式表示。
级数的每一项都是由f(x)在一个点上的导数值，关于点a处的泰勒级数的形式为：•方程2:一个关于a的函数f(x)的泰勒级数其中上标(0)、(1)…表示f(x)的导数在x=a时的阶数。
人们可以使用一个多项式来近似一个函数，而该多项式对应的泰勒级数的项数是有限的。
这种多项式叫做泰勒多项式。
在下面的图中，函数f(x) = sin x的几个泰勒多项式被显示出来。
•图3:泰勒多项式与越来越多的项显示。
黑色曲线是sin(x)其他的近似是1、3、5、7、9、11、13次泰勒多项式f(x) = sinx的前四个泰勒多项式由：•方程3:f(x) = sinx的泰勒多项式，阶数为1、3、5、7。
它们在上图中被绘制(连同高阶展开)。
黎曼猜想,数学家心目中最璀璨的明星刘洪亮;李泽【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)021【总页数】2页(P23-24)【作者】刘洪亮;李泽【作者单位】清华大学附属中学永丰学校;清华大学附属中学永丰学校【正文语种】中文在数学界,有很多非常重要的数学难题至今没有被攻克和证明,黎曼猜想就是其中的一个,它已经困扰了数学家159年．2018年9月20日, 一条大新闻炸翻了学术界,引起了广泛关注:著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚宣称自己证明了久负盛名的黎曼猜想,并将在9月24号海德堡获奖者论坛上进行宣讲,届时或将给出全部证明过程．在海德堡论坛上,阿蒂亚爵士解释了黎曼猜想的本质及其与素数的相关性,提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路．其灵感来源于他在2018年ICM上提出的精细结构常数的推演.虽然精细结构常数是物理上未被完全证明的常数,但他声称相关论文已投稿至 Royal Society．由于这篇文章目前还未经过同行审议,一些学者对他的推演过程或证明过程存疑,也有学者认为他的思路或为后续黎曼猜想证明提供一种新思路．虽然对黎曼猜想的解释仍需进一步完善,但阿蒂亚爵士一生中对数学做出的贡献,以及此次讲座中的一些思考,都是对未来科学家进一步探索未知的一种激励．当然也可能像加州理工大学的研究人员Spiros Michalakis和微软的研究人员Matthew Hastings破解了数学物理领域的13个难题中的“量子霍尔效应”一样,要耗费多年时间才能得到学界认可．1 黎曼猜想究竟是什么数学家波恩哈·德黎曼于 1859 年发表了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文,该论文的一个重大成果是发现质数蕴藏在一个特殊函数(今被称为黎曼ζ函数)之中,而该函数的零点对质数分布的细致规律有着决定性的影响,提出关于黎曼ζ函数零点分布的猜想,即黎曼猜想．黎曼ζ函数零点中特别重要的一部分称为黎曼ζ函数的非平凡零点,黎曼猜想的内容就是猜想这些非平凡的零点,全部分布在一条特殊的直线上,这条直线被称为“临界线”,它是一条通过实轴的点1/2与虚轴平行的直线．也就是说,黎曼发现,质数在自然数中的分布并不是毫无规律可循,而是其分布与黎曼ζ函数紧密相关．数学家黎曼拿不出足够强的证据来说明结论成立,这样的点有无穷多个,无法一一验证是不是所有的点都在线上,永远验证不完,而在数学上,对证明要求严格,所以只能称之为猜想．到1936年为止,数学家手动验证了1041个,全部符合,后来数学家开始使用计算机,如今已经验证了10万亿个,也全都符合,但仍未给出完整证明过程．2 为什么研究质数质数又称素数,是像2，13，137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数．所有大于1的正整数都可以表示成质数的乘积,所以质数在数论研究中具有重要意义,在数论中的地位类似于物理世界中构筑万物的原子．质数的定义简单,可以在中、小学进行讲授,但它们的分布却难以捉摸,仿佛又有特定的规律,所以质数分布问题一直是数学界关注的问题．在实际运用中,质数可以运用在密码学、安全认证等领域.无论是银行数据,还是国家机密,或是个人隐私,都离不开密码,离不开加密的手段，如现在通用的RSA加密算法.加密计算的第一步是产生2个大质数,对极大整数做因数分解的难度决定了加密的可靠性,所以寻找大质数、探寻质数分布的规律,具有重要的实际意义．如果传递一串信息,又要保密,可以事先商量好几个特别特别大的质数,比如a，b和c．例如，若想发送一个秘密的数字356,那么实际上发送的是m=a3b5c6,一个巨大无比的数字．利用计算机m很容易就可以得到,接收者拿到了这个巨大的数字之后,只需要用a，b和c去除,就可以很快把幂解出来,得到356．若信息被破坏分子截获,他就必须分解质因数,在不知道a，b和c的前提下,分解质因数是一个非常复杂和缓慢的过程,他可能需要很长时间才能破译,秘密就能得到很好的保护．这里面需要说明的是,a，b和c都必须要特别大,这样分解质因数才会特别慢,如果a，b和c分别是2，3和5,那么分解质因数就很简单了．所以说,找到大的质数,了解质数都分布在哪里,是一件十分重要的事情．3 为什么黎曼猜想会如此重要早在2000年5月,美国克雷数学研究所为了呼应1900年希尔伯特提出的23个历史性数学难题(也称“希尔伯特难题”)而设立了一个称为“千禧难题”的数学问题挑战,一共7个问题．这7个问题中,以黎曼猜想最为著名,它也是唯一一个在两次数学会议都被认定为难题的数学问题．黎曼猜想的重要性不言而喻,也早已被克雷数学研究所列为世界黄金问题之一．3.1 黎曼猜想联系上千个数学命题迄今为止,有上千个数学命题以黎曼猜想及其推广形式的成立为前提,如果黎曼猜想被证实,那么数学家们长期建立在此猜想上而计算出的一切公式、结论都将被证实,并将会把它们运用到金融、人工智能、生物神经网络、国家保密系统等多个十分重要并且尖端的先进高科技领域,从而推动整个社会的发展．与此相反,如果黎曼猜想被推翻,那么这些数学命题中绝大多数将会不可避免地成为“陪葬”品．并且,黎曼猜想的证实,可能促使更多数学规律的发现,开辟更多数学领域,解决更多数学难题,得出更多结论．3.2 黎曼猜想直接影响数论的发展数论是传统数学的一个重要分支,曾被德国数学家高斯称作“数学中的女皇”,而质数分布问题是数论的一个重点研究课题．对质数的研究可以追溯到古希腊时期,欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数,但是对质数的分布规律却毫无头绪．后续众多数学家对特立独行的质数极为感兴趣,期待研究清楚质数的分布,这就使得黎曼猜想在科学家们心目中的地位和重要性大大提升．3.3 黎曼猜想“侵入”到物理学领地早在20世纪70年代,有科学家发现黎曼猜想与某些物理现象存在关联,基于黎曼猜想产生了一些十分惊艳的想法,很多物理学中的重要命题可以在黎曼猜想成立的前提下得到证明．如所有自然数的和,即1+2+3+… 通过黎曼ζ函数的解析延拓可产生看似荒谬的结果-1/12.这一结论在量子力学和弦论等领域已有所应用.可以说黎曼猜想的证明是无数数学家和物理学家都关注的议题．4 黎曼猜想的研究进程众多数学家都为证明黎曼猜想做出了贡献．1914年,高德菲哈罗德哈代证明了有无限个零点在直线Re(s)=1/2上．1932 年,人工智能之父图灵计算出了函数的 1104 个非平凡零点,开启了计算机辅助计算的接力赛.1975年,美国麻省理工学院的莱文森引入了独特的方法,证明黎曼函数临界线上的零点占全部零点的比例达到了34.74%,一年后中国数学家楼世拓、姚琦证明了比例达到35%.最新的成果是一法国团队将零点计算出了前10万亿个而没有发现反例．似乎人们离证明成功越来越近了．此次海德堡论坛上阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明尝试,掀起了社会各界的广泛关注,引发了一次空前的科普狂潮．虽然对黎曼猜想的证明仍需进一步完善,但阿蒂亚爵士用毕生信念追求理想,并为达成理想锲而不舍的精神,值得我们学习．期待黎曼猜想能得到完整证明．。
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。
千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。
我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。
）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。
“素数之恋”——黎曼假设的神秘世界一个仍未确定解决的重要谜题比哥德巴赫猜想重要性大得多的谜题据说一些数学家愿用灵魂换答案的谜题Riemann Hypothesis (RH)以尽量简洁的陈述说明黎曼假设，共5部分：1.黎曼假设的表述2.问题源头的初等问题3.黎曼假设的提出4.历史进展5.意义和对我们的影响•一、黎曼假设的表述：ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2（这个陈述看起来不太友好，然而无法更精简了，这也是没有广泛流传的原因）这里有三个关键词：ζ函数、零点、非平凡（哦，对了，可能还要加上“实部”这个词）但是——但是一上来就解释这三个词，会不那么有趣，所以先记住这三个关键词，进入第二部分，回头再解释这个表述。
•二、问题源头的初等问题1. 素数(Prime number)、素数定理、高斯黎曼假设看起来太遥远，所以说要先来点简单明了的，比如说素数。
素数即质数，我们认识质数通常是在小学5年级课本，并且需要背诵前8个质数：2、3、5、7、11、13、17、19当然，我们也可以把110以内的质数都列出来，并以适当布局排列，会很好记2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109特别是中间两行，注意到了么：尾数几乎一致，且每10个自然数中的质数个数很齐整。
质数的重要性，学过小奥的都知道，就不再解释了。
如果不熟悉质数也没关系，高斯，这位数学王子，连小朋友都是熟悉的，当然，主要是那个速算1~100的和的故事。
然而在他稍大一点的时候，还有另一个故事，就是他从15岁开始，每天“休闲一刻钟”的空闲，用来计算连续1000个自然数中有多少个质数，差不多坚持了1000个1000（也就100万）。
看起来没什么了不起，嗯。
不过我们可以试着处理一个数字：20291，才2万多，这是他第21天就会遇到的1000个数字之一，那么这个数是不是质数呢？——欢迎使用计算器O(∩_∩)O实际上高斯计算了四五年，在19岁猜想了质数在数字中出现的频率：在前N个自然数中，大约有N/lnN 个质数（其中lnN是以e为底的对数运算）这个结论后来被改进的更加精确：前x个自然数中，质数的个数约为Li(x)（其中Li(x)是一个积分式）这个结论叫做素数定理，简称PNT（能猜出是哪几个单词的缩写么？）PNT可以通过枚举来做一些验证，但并不是个简单易证的定理，至少直到高斯甚至直到黎曼去世的时候，素数定理还没有公布于众的任何证明。
论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注Email:**************承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。
我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点：11 1 s s p n -=-∑∏其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。
{注1： 即定义复变函数11()1s s s n pζ-==-∑∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。
{注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。
}利用等式{注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10()s x s x e dx ∞--Γ=⎰，令积分号中的哑变量x nx →即可导出上式。
}可得{注4：111 1111x nxx x x n e ee e e -∞---==-==---∑ }现在考虑积分{注5：按现代数学记号，该积分应记成 1()1s x C x dx e ---⎰或（考虑到一般用z 表示复数）1()1s z C z dz e ---⎰，其中的积分路径C 如下面的图1所示。
}积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的正向边界进行。
{注6：参见下面的图1。
}图1 易得该积分的值为其中我们约定在多值函数中，log()x -的取值对于负的x 为实数。
由此即得{注7： 2sin sisieei s πππ--=⋅ （注意复变量的三角函数的定义由欧拉公式sin 2iz izz ie e -=-给出），1()1s x x dx e ∞-∞--⎰按现代数学记号应记成1()1s z C z dz e ---⎰（参见注5），其中的积分路径C 如上面图1所示。
关于上式的详细推导参见/My%20Writings/Reply1.htm }其中的积分由上面所给出的方式定义。
现在这一等式对于任意复变量s 都给出了函数()s ζ的值，并表明它是单值解析的，并且对于所有有限的s （除了1之外）都取有限值，当s 等于一个负偶数时取零值。
{注8：实际上可证上面等式的右边是一个整函数（请读者思考如何证明），故左边也是一个整函数，注意(1)()s s ∏-=Γ（参见注3），而()s Γ在0,1,2,3,...s ---=的一级极点和sin s π的零点抵消。
}当s 的实部为负时，上面的积分可以不沿正向围绕给定值的区域进行，而是沿负向包含所有剩下的复数值的区域进行，{注9：参见下面的图2，其中的大圆C’的半径趋向无穷大，从而包含被积函数的所有极点即分母1x e -的所有零点 2n πi （n 为整数），接下来的计算用现代术语说就是应用柯西的留数定理。
}因为该积分的值对于模无限大的复数为无限小，而在该区域内部，被积函数只有当x 等于2i π的整数倍时才有奇点，于是该积分即等于负向围绕这些值的积分之和，但围绕值2n i π的积分等于，{注10：被积函数在2n i π（n ≠0）的留数等于11122()() (2)(1)'s s x x s x n i x n ix x n e e i πππ---==--==--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ }于是我们得到它揭示了一个和之间的关系，利用函数()s ∏的已知性质，也可以将它表述为：/2(1)()2s ss πζ-∏- 在变换1s s →-下不变。
{注11：“()s ∏的已知性质”即伽玛函数()s Γ的余元公式和勒让德公式。
上述结果的推导参见[注11补]。
}该函数的这一性质诱导我在级数的一般项中引入而不是，由此我们能得到函数的一个很方便的表达式，事实上我们有{注12：2nn n （从笛卡尔开始直到黎曼的时代，一个变量的平方一般用叠写该变量表示，虽然其他次数的方幂都用指数表示）。
为了推导上式，只需在120(1)()22sx s s x e dx ∞--Γ-=Γ=⎰中作替换2x n x π→即可。
}因此，如果记即得又因为（雅可比《椭圆函数论新基础》S 卷第184页）{注13：黎曼引入的这个函数()x ψ本质上即雅可比theta 函数：2249161()1212(......)n xn x x x x x n n x ee e e e e ππππππθ∞∞------=-∞===+=+++++∑∑易见21()1()=2n xn x x eπθψ∞-=-=∑上述恒等式即theta 函数的变换公式：1()()x xθθ=它最早由柯西用傅立叶分析得到，后来雅可比又用椭圆函数给出了证明，详见[注13补]。
}我们又有{注14：注意在上面的最后一个等式中，我们可以明显看出/2(1)()2s ss πζ-∏- 在变换1s s →-下不变。
（ ∵ 1(1)s s - 和 11221()() s sx x x dx ψ∞+--+⎰ 都在1s s →-下不变 ） 这样黎曼就再次推导出了()s ζ的函数方程（这比前面用围道积分和留数定理的推导更简单）。
若引入辅助函数/2()(1)()2s ss s πζ-Φ=∏-函数方程可以简洁地写为 ()(1)s s Φ=Φ-，但更方便的做法是在()s Φ中添加因子(1)s s -（这正是黎曼接下来做的），即令（为了和黎曼的记号保持一致引入数字因子1/2）/21() (1)()()22s ss s s s ξπζ-=-Γ因为因子(1)s -消去了()s ζ在1s =处的一阶极点，因子s 消去了()2s Γ在0s =处的极点，而()s ζ的平凡零点 -2，-4，-6,....和()2sΓ的其余极点抵消，因此()s ξ是一个整函数，且仅以()s ζ的非平凡零点为零点。
注意到因子(1)s s -显然在1s s →-下不变，所以仍有函数方程() (1)s s ξξ=-.}现在设 12s ti =+,于是可得或{注15：黎曼定义的这个函数和现在通常使用的函数()s ξ（参见上注）本质上完全相同（注意()(1)()2222s s s s∏=Γ+=Γ，参见注3），仅有的差别是黎曼以t 为自变量，而现在通常使用的()s ξ仍以s 为自变量，s 和t 差一个线性变换：12ti s +=，即一个90°旋转加1/2的平移。
这样一来，s 平面中的直线12Re s = 就对应于t 平面中的实轴，zeta 函数在临界直线12Re s =上的零点就对应于函数()t ξ的实根。
注意在黎曼的记号中，函数方程() (1) s s ξξ=-（见上注）就变成了() () t t ξξ=-，即()t ξ是偶函数，故而其幂级数展开只有偶次幂，且零点关于0t =对称分布。
另外，从上面的两个积分表示也可以明显看出()t ξ是偶函数（∵1log 2cos()t x 是t 的偶函数）。
}对于所有有限的t ，该函数的值都是有限的，并可以按2t 的幂展开成一个快速收敛的级数，因为对于一个实部大于1的s 值，也是有限的，这对的其他因子的对数也同样成立，因此函数只有当t 的虚部位于12i 和12i-之间时才可能取零值。
{注16：即()s ξ只有当s 的实部位于0和1之间时才可能取零值（参见上注）。
}方程的实部在0和之间的根的数目约等于{注17：黎曼对零点数目估计的这一结果直到1895年才由Mangoldt 严格证明。
}这是因为沿包含所有虚部位于12i 和12i -之间、实部位于0和T 之间的t 值的正向回路的积分log ()d t ξ⎰（略去和1T同阶的小量后）的值约等于，而该积分的值等于位于此区域内的方程的根的数目乘以{注18：此即幅角原理}。
事实上我发现在该区域内的实根数目近似等于该数目，极有可能所有的根都是实数。
对此我们自然希望能有一个严格的证明，然而在一些仓促的不成功的初步尝试之后，我暂时把寻求证明搁在一边，因为对于我接下来研究的目的来说它并不是必需的。
{注19：黎曼轻描淡写写下的这几句话就是著名的黎曼猜想！}--- 正文第一部分终 ---【注11补】 由欧拉公式（cos sin ize z i z =+）可得(1)(1)112222() 2sin2s s i s i s iis s si i eeieieπππππ-------+=+=-=因此（注意(1)()s s ∏-=Γ, 参见注3）1112sin ()() (2)(() ) (2)(1)2sin2s s s s ss s s n i i ss πζπππζ---Γ=-+=-⋅∑再用倍角公式sin 2sincos22sss πππ=即得到1(1) 2cos()()2s s ss s s πζπζ---=Γ作替换1s s →-后即1() 2sin(1)(1)2s s ss s s πζπζ-=Γ-- （1）这就是()s ζ的函数方程。
为了将它改写成一种对称的形式，用伽玛函数的余元公式() (1)sin z z zππΓΓ-=和勒让德公式11/2 1() () 2()222z z z z π-ΓΓ+=Γ在式（1）中作替换sin2()(1)22ss sππ→ΓΓ-,1/2 1(1) 2()(1) 22s s ss π---Γ-→ΓΓ-就得到/2(1)/21()() ()(1)22s s s s s s πζπζ----Γ=Γ- 即/2()() 2s ss πζ-Γ在变换1s s →-下不变，亦即/2(1)()2s ss πζ-∏- 在变换1s s →-下不变。
【注13补】设第一类完全椭圆积分/2()K K k π==⎰/2'(')'K K k k π===⎰, 'k k 分别称为雅可比椭圆函数或椭圆积分的模（modulus ）和补模。
令'/K K τ=，有4916()12(......)e e e e πτπτπτπτθτ----==+++++将模k 和补模'k 互换又有/4/9/16/1()12(......)e e e e πτπτπτπτθτ----==+++++两式相比即得1()()θθττ=.--- 未完待续（to be continued ）---【译者和注释者简介】谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，创立了外语解密学习法，著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。
