函数的概念和图像

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1 sec(a) =acos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosαcos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotαcot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）)图(1)图(2)天)答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对AB ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？B A D MF答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=．B 图(1)图(2)l130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

函数的概念及图象一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量．2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量．3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P(a，－b)即横坐标相同，纵坐标互为相反1数．(－a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2同．(－a，－b)即横、纵坐标都互为相反数．(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P35、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是．(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)．(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1＋a，2b－1)在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第________象限．分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，，所以N点在第三象限．解：三例2、若m为整数，点P(3m－9，3－3m)是第三象限的点，则P点的坐标是（）A．(－3，－3)B．(－3，－2)C．(－2，－2)D．(－2，－3)分析：根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m的取值范围，再确定m的值，从而可得P点坐标．解：选A．例3、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(________，________)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．解：(－1，2)例4、已知P点关于x轴的对称点P1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．(－3，－2)B．(2，－3)C．(－2，－3)D．(－2，3)分析：(2，3）关于x轴对称，故求P(2，－3)，∴点P(2，－3)关于原点对称由点P与P1的点坐标易求．解：选D．例5、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，－1)，则点B的坐标为（）A．(1，1)B．(－1，－1)C．(－1，1)D．无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．解：选A．例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=πx2和S=πr2(其中x≥0，r≥0)(3)y=x＋2和分析：判断两个函数是否为同一函数：①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．例7、在函数中自变量x的取值范围是________．分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：①函数解析式中的分母不能为0；②偶次根式的被开方数应为非负数；③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．此题中，自变量x应满足解：x≥－1且x≠2．例8、等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长AB为x cm．(1)求出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象．分析：要求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，确定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手．画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响．解：(1)∵△ABC的周长为10，∴2x＋y=10，∴y=10－2x．．(3)由解之得0＜y＜5．(4)函数的图象如图所示．点评：求实际问题中的函数关系式应标明自变量的取值范围，画有自变量取值范围的函数图象时应注意端点处是实心点还是空心圆圈．。

第二章函数概念与基本初等函数I2．1 函数的概念和图像2.1.1函数的概念和图像一、基本知识1、函数的定义（1）如何理解函数符合“y=f(x)”中的“f”?符号“y= f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看做一个“暗箱”。

（2）符号y= f(x)的含义是什么？f(x)与f(a)有何区别？y= f(x)中式关于x的解析式，y=f(a)是x=a时所得的函数值。

（3）对应是否为函数？①这个对应所涉及到的两个集合是否都是非空数集；②对应法则f：x→y是否满足对于任何一个x可取的值都有唯一的值y与之对应。

如果同时满足这两条，那么这个对应就是函数，否则就不是函数。

(4)判定两个函数是否相同，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同。

（5）求函数的定义域：由于函数的定义域就是函数中所有的输入值x组成的集合，所以求函数的定义域一般要考虑使函数有意义的所有条件，不可有遗漏。

（6）求函数值域的方法：求函数的值域的方法往往因题而异，如果函数的自变量是有限个值，那么就可将函数值求出得到值域；如果函数的自变量是无数个值时，显然不能再采取上述方法求其值域，而可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，常用的方法有观察法，配方法，判别式法等。

2、函数的图像（1）函数的图像都是连续的曲线吗？不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图像四连续的，如一次函数，二次函数。

但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图像就是一些孤立点。

（2）凡是图像都是函数的图像吗？检查一个图形是否为某个函数的图像，只要用以条垂直x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点的个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数的图像。

因为一个x值对应了多个y值。

（3）函数的图像对于今后的解题的用途是非常大的，如某些函数图像较易画出来，就可以利用函数图像直接求出其值域。

2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。

集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。

表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。

解析法用等式表示函数，如y=2x+1。

函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。

02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。

函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。

函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。

图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。

绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。

平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。

翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。

复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。

旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。

03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。

函数 - 函数的概念和图像一、函数的概念和图像● 定义总结1. 函数的定义设,A B 是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个．．．元素x ，在集合B 中都有唯一．．的元素y ，和它对应，这样的对应叫做A 到B 的一个函数，通常记为(),y A f x x =∈.其中，所有的输入值x 所组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，与输入值x 对应的所有的输出值y 所组成的集合B 称为函数的值域. 1. 函数的图像将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()00,x f x ，当自变量取遍．．函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合为()(){},x f x x A ∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.● 知识归纳1. 相同函数的判断关键点：定义域、不等式.【例1】判断下列各组函数中的两个函数是否为同一函数： （1）()()2221,21x x x g t t f t =+-=+-；（2）()(),f x x g x ==（3）()(),f x x g x ==；（4）()()24,22x f x g x x x -==+-；（5）()()2f x g x x ==+.2. 函数的图像及应用关键点：作图、识图、用图.【例2】下图中可以作为函数图像的是 .A B C D【例3】画出()223f x x x =-++的图象，并根据图像回答问题：（Ⅰ）比较()()()0,1,3f f f 的大小；（Ⅱ）若121x x <<，比较()1f x 与()2f x 的大小.3. 函数的定义域关键点：熟知各种基本函数的定义域，列不等式组求解； 【例4】求下列函数的定义域：（1）03x y +=（2）y =注意点：注意y =2y =. 4. 定义域的逆向问题关键点：已知函数定义域，求参数的值. 【例5】已知函数y =的定义域为[]3,6-，求,a b 的值.424232121132132142【例6】已知函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.5. 函数的值域常用方法：直接法、配方法、判别式法、反表示法、换元法、部分分式法、图象法. 【例7】求下列函数的值域：（1）3y =；（2）y =二、函数的表示方法● 定义总结1. 解析法、列表法、图象法；2. 分段函数对于自变量x 的不同的取值范围有不同的解析式.● 知识归纳1. 函数的解析式常用方法：待定系数法、换元法、整体代换法（换元注意范围．．．．．．）. 【例1】已知()f x 是二次函数，其图象的顶点是()1,3，且过原点，求()f x .【例2】（1）已知()3221f x x -=+，求()f x 的解析式； （2）已知21111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.2. 简单函数图像的作法关键点：化简，注意定义域；列表，描点，作图。

第六章函数的概念和图象一、内容综述：1．函数的有关概念：一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。

对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。

（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。

（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。

2.函数值与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。

二、例题分析：例1．判断y=x与y=是否是同一函数。

解：∵ y==|x|当x≥0时，y=x,当x<0时, y=-x.∴ y=x与y=不是同一函数。

说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。

例2．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。

解：当点P在第一，三象限内，依题意，设P(a,a)∴ a=-a+解得：a=1.当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）∴ -b=-b+解得：b=-3,∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。

说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。

例3.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元. 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；分析：由一般车辆停放次数x表示变速停放的辆次数，由保管费列出函数关系再化简，但要在函数式后注明自变量x的取值范围。

函数类型及图像函数是数学中的一个重要概念，它具有许多不同的类型，比如线性函数、指数函数、根函数、分段函数和三角函数等。

每个函数类型都有其自身的特点和性质，并且可以通过图形的方式表示出来。

线性函数是指y=kx+b的结构，其中，k是斜率，b是截距，x和y是变量。

它的图像是一条直线，斜率表示这条线的倾斜程度，截距以原点（0，0）为准，表示这条线相对于原点的偏移量。

此外，线性函数的特点是当改变自变量时，其变化量是一致的。

经典线性函数举例：y=2x+1。

它的图像是一条斜率为2，且与原点偏移一个单位的直线。

指数函数是指y=b^x的结构，其中，b是指数，x为自变量，其中b的取值范围为0-1。

它的图像是一条开口向上的曲线，曲率表示该函数与x轴之间的关系。

指数函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增长的趋势。

经典指数函数举例：y=2^x,它的图像是一条斜率为2的开口向上的曲线，曲率为正，表示它们之间关系十分紧密。

根函数是指y=b√x的结构，其中，b为根数，x为自变量，其中b的取值范围为1-∞。

它的图像是一条开口向上的曲线，它的曲率可以表示该函数与x的关系。

根函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增加的趋势。

经典根函数举例：y=2√x，它的图像是一条开口向上的曲线，曲率为正，表示两者之间关系十分紧密。

分段函数是指将函数分为若干个段，每一段函数都有自己的公式，并以离散点表示其图象。

分段函数的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地将其表现为图象。

经典分段函数举例：y={0, x<0; 1/2x+1, 0≤x<2; 3x-2, x≥2}，它的图象是由两条直线和一段函数曲线拼接而成。

三角函数是指sin、cos、tan等函数，它们的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地表示为图象。

三角函数的图象是一条X轴为周期轴，Y轴为幅值轴的周期曲线。

它们的特点是，当改变自变量时，其变化趋势是周期性变化的。