中考数学四边形知识点整理

第五章四边形第一节多边形(建议用时:40分钟)考点1多边形的性质1.一个多边形的边数由原来的3增加到n(n>3,且n为正整数),则它的外角和( D )A.增加(n-2)×180°B.减小(n-2)×180°C.增加(n-1)×180°D.没有改变2.[2020广东]若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为( B )A.4B.5C.6D.73.如图,已知∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边CD,AE的延长线交于点F,如果∠1+∠2+∠3=225°,那么∠DFE的度数是45°.考点2正多边形的性质4.[2020承德二模]把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG,按照如图所示的方式放置,连接AD,则∠DAG= ( A ) A.18° B.20°C.28°D.30°5.[2020 邢台二模]如图,有n个全等的正五边形按如下方式拼接,使相邻的两个正五边形有一个公共顶点,所夹的锐角为24°,拼接一圈后,中间形成一个正多边形,则n的值为( B )A.5B.6C.8D.106.[2020石家庄新华区一模]连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,则下列说法错误的是( D )A.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等B.连接BF,则BF平分∠AFC和∠ABCC.整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形D.△ACF是等边三角形7.[2020江苏扬州]如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a=√3cm.8.[2020江苏连云港]如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α=48°.9.如图,在正八边形中,四边形BCFG的面积为2a cm2,则正八边形的面积为4a cm2(用含a的代数式表示).10.[2020湖南株洲]一蜘蛛网如图所示,若多边形 ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON=80°.11.[2020福建]如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于30度.12.若将n个边长为1的正m边形进行拼接,相邻的两个正m边形有一条公共边,围成一圈后中间恰好形成一个正n边形.(1)当m=8时,围成的图形如图所示,则该图形外轮廓的周长为20;(2)当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是27;(3)当m=5时,得到的正n边形的周长是10.13.[2019 唐山丰南区二模]关于n边形,甲、乙、丙三位同学有以下三种说法:甲:五边形的内角和为520°.乙:正六边形每个内角为130°.丙:七边形共有14条对角线.(1)判断三种说法是否正确,并对其中你认为不对的说法用计算进行说明;(2)若n边形的对角线共有35条,求该n边形的内角和.解:(1)甲、乙的说法不正确,丙的说法正确.正五边形的内角和为 180×(5-2)=540°.正六边形外角和为 360°,每个外角为 360÷6=60°,故每个内角为 180°-60°=120°.=35,(2)由题意知n(n−3)2解得n=10或n=-7(不合题意,舍去),180°×(10-2)=1 440°,故该n边形的内角和为1 440°.第二节平行四边形基础分点练（建议用时：45分钟）考点1平行四边形的判定1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )A.AB平行且等于CDB.∠A=∠C,∠B=∠DC.AB=AD,BC=CDD.AB=CD,AD=BC2.[2019广西河池]如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连接CF.添加一个条件,使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( B )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF.求证:四边形ABCD为平行四边形.证明:∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO,又BO=DO,∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO,∴EO=FO.∵AE=CF,∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO.又BO=DO,∴四边形ABCD为平行四边形.考点2平行四边形的性质4.在▱ABCD中,若∠A=2∠B,则∠D的度数为( C )A.30°B.45°C.60°D.120°5.[2019 石家庄十八县联考]证明:平行四边形对角线互相平分.已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.求证:AO=CO,BO=DO.以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形.③∴AB∥CD,AB=DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA=OC,OB=OD.正确的顺序应是( C ) A.②①③④⑤ B.②③⑤①④C.②③①④⑤D.③②①④⑤6.[2020浙江温州]如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为( D )A.40°B.50°C.60°D.70°7.小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E,又在BC边上作出点F,作图痕迹如图所示,若EF=2,则AB,CD之间的距离为( C )A.2B.3C.4D.58.[2019海南]如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( C ) A.12 B.15 C.18 D.219.[2019保定定州二模]如图,已知点M为▱ABCD的边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=1,则图中阴影部分的面积为( C )A.2B.3C.4D.510.[2020陕西]如图,在▱ABCD 中,AB=5,BC=8.E 是边BC 的中点,F 是▱ABCD 内一点,且∠BFC=90°.连接AF 并延长,交CD 于点G.若EF ∥AB,则DG 的长为( D )A.52B.32C.3D.211.[2020山东潍坊]如图,点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点,且DE AE =12,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则▱ABCD 的周长为( C )A.21B.28C.34D.4212.[2020广西河池]如图,在▱ABCD 中,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,连接DE,EA=3,EB=5,ED=4,则CE 的长是( C )A.5√2B.6√2C.4√5D.5√513.[2020贵州黔东南州]以▱ABCD 对角线的交点O 为原点,平行于BC 边的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若A 点坐标为(-2,1),则C 点坐标为 (2,-1) .14.[2019广西梧州]如图,▱ABCD 中,∠ADC=119°,BE ⊥DC 于点E,DF ⊥BC 于点F,BE 与DF 交于点H,则∠BHF= 61 度.15.[2020浙江金华]如图,平移图形M,与图形N 可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是 30 °.综合提升练（建议用时：25分钟）1.[2019广东广州]如图,▱ABCD 中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD 相交于点O,且E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,则下列说法正确的是( B )A.EH=HGB.四边形EFGH 是平行四边形C.AC ⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍2.[2020重庆A卷]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF.(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠OAD=40°.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,{∠AEO=∠CFO,∠EOA=∠FOC, AO=CO,∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF.3.如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD.(1)求证:AE=CE;(2)求证:四边形ABDF为平行四边形;(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.(1)证明:∵AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA.∵E为BD的中点,∴DE=BE,在△ADE和△CBE中,{∠DAC=∠BCA,∠AED=∠CEB, DE=BE,∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.(2)证明:由(1)得,AE=CE,BE=DE,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.又∵DF=CD,∴AB=DF,∴四边形ABDF为平行四边形.(3)∵四边形ABDF为平行四边形,∴∠F=∠DBA,BD=AF=2.又∵∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,∴∠DBA=∠BAC,∴AE=BE=DE,∴∠BAD=90°.∵AB=CD=1,∴AD=√BD2-AB2=√3,∴四边形ABDF的面积为AB×AD=√3.新角度[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长DF=1DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为9√3.4第三节矩形、菱形、正方形课时一:矩形的性质与判定基础分点练（建议用时：30分钟）考点1矩形的判定1.[2020湖北十堰]已知平行四边形ABCD,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( B )A.①B.②C.③D.④2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAE≌△CAD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.又∵DE=CB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴BE∥CD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠DCB.∵BE∥CD,∴∠EBC+∠DCB=180°,∴∠EBC=∠DCB=90°,∴四边形BCDE是矩形.考点2与矩形性质有关的证明与计算3.[2020湖南怀化]如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOD的面积为2,则矩形ABCD的面积为( C )A.4B.6C.8D.104.[2020 江苏连云港]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处,若∠DBC=24°,则∠A'EB等于( C )A.66°B.60°C.57°D.48°5.[2019广东广州]如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( A )A.4√5B.4√3C.10D.86.[2020贵州黔东南州]如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=4.37.[2020山东菏泽]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3√17.8.[2020 湖南长沙]如图,在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F处.(1)求证:△ABF∽△FCE.(2)若AB=2√3,AD=4,求EC的长.(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β.求tan α+tanβ的值.(1)证明:∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠AFB+∠BAF=90°,∴∠EFC=∠BAF,∴△ABF∽△FCE.(2)由翻折的性质可得AF=AD=4,在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF=√42-(2√3)2=2,∴FC=BC-BF=4-2=2.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,即2√32=2CE ,∴CE=2√33. (3)设EC=1,DE=x,则AE=x+2,AB=x+1,FE=x, ∴BC=AD=√AE 2-DE 2=√(x +2)2-x 2=2√x +1,FC=√FE 2-CE 2=√x 2-1,∴BF=BC-FC=2√x +1-√x 2-1.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,∴AB·CE=FC·BF, 即x+1=√x 2-1×(2√x +1-√x 2-1), 得x+1=2(x+1)√x −1-x 2+1, 整理,得x 2=4(x-1),解得x 1=x 2=2, ∴AB=3,BF=√3,AF=2√3, ∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =√33+2√3=2√33.内蒙古呼和浩特]如图,把某矩形纸片ABCD 沿EF,GH 折叠(点E,H 在AD 边上,点F,G 在BC 边和点C 落在AD 边上同一点P 处,A 点的对称点为A',D 点的对称点为D',若∠FPG=90°,S △A'EP =8,S △D′PH =2,则矩形ABCD 的长为( D )A.6√5+10B.6√10+5√2C.3√5+10D.3√10+5√22.新角度[2020江西]如图,矩形纸片ABCD 中,AD=8 cm,AB=4 cm,折叠纸片使折痕经过点B,交AD 边于点E,点A 落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE 的长为 43 √3,4√3或(8-4√3) cm.课时二:菱形的判定与性质基础分点练（建议用时：40分钟）考点1 菱形的判定1.[2020浙江嘉兴]如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,请添加一个条件: AD=DC(答案不唯一) ,使平行四边形ABCD 是菱形.2.[2020广西玉林]如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形(填“是”或“不是”).3.[2020 山东滨州]如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE;(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD的交点为E,∴AB∥CD,BE=DE,∴∠PBE=∠QDE,∠BPE=∠DQE,∴△PBE≌△QDE.(2)证明:如图.由(1)可得PE=QE,同理可得ME=NE,∴四边形PMQN是平行四边形.又∵PQ⊥MN,∴▱PMQN是菱形.考点2与菱形的性质有关的计算4.[2020黑龙江绥化]如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是BC,CD两边上的点,不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )A.∠BAF=∠DAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF5.[2020湖北黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为( B )A.4∶1B.5∶1C.6∶1D.7∶16.[2020黑龙江龙东地区]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( A ) A.4 B.8 C.√13 D.67.[2020四川乐山]如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD 于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为( B )A.9+2√3B.9+√3C.7+2√3D.88.[2020辽宁抚顺]如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC=8,BD=6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE=CE,则OE 的长是( B ) A.2B.52C.3D.49.[2020四川南充]如图,面积为S 的菱形ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 是线段BC 的中点,过点E 分别作EF ⊥BD 于点F,EG ⊥AC 于点G,则四边形EFOG 的面积为( B )A.14SB.18SC.112S D.116S10.[2020广东]如图,在菱形ABCD 中,∠A=30°,取大于12AB 的长为半径,分别以点A,B 为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD 边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD 的度数为 45° .11.[2020陕西]如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠B=60°,点E 在边AD 上,且AE=2.若直线l 经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF 的长为 2√7 .12.[2020北京]如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.(1)求证:四边形OEFG 是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE 和BG 的长.(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴点O 为BD 的中点. 又∵点E 为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线, ∴OE ∥FG.又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.AD=5.(2)∵点E为AD的中点,AD=10,∴AE=12又∵∠EFA=90°,EF=4,∴AF=√AE2-EF2=√52-42=3.AB=5.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=10,∴OE=12∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.动态型[2020浙江绍兴]如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B 停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( B )A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C.平行四边形→正方形→菱形→矩形D.平行四边形→菱形→正方形→矩形课时三:正方形的性质和判定基础分点练（建议用时：40分钟）考点1正方形的判定1.[2020石家庄新华区一模]如图,已知线段AB,按下列步骤作图:分别以点A,B为圆心、大于1AB的长为半径画2弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交AB于点O,连接MA,MB,NA,NB,若四边形MANB是正方形,则需要添加的条件是( A )A.AO=MOB.MA∥NBC.MA=NBD.AB平分∠MAN2.[2020山东滨州]下列命题是假命题的是( D )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形3.[2020山东威海]如图,在▱ABCD中,BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,连接EO并延长交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是( D )A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形考点2正方形的性质4.[2020浙江湖州]四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( B )A.1B.12C.√22D.√325.[2019内蒙古鄂尔多斯]如图,以AB为边在正方形ABCD外部作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为( C )A.15°B.35°C.45°D.55°6.[2020邢台二模]如图,在正方形ABCD中,AB=6,点Q是AB边上的一个动点(点Q不与点B重合),点M,N分别是DQ,BQ的中点,则线段MN= ( A )A.3√2B.3√22C.3D.67.[2020湖北恩施州]如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE 周长的最小值为( B )A.5B.6C.7D.88.[2020浙江湖州]七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形木板可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图(1)所示.分别用这两副七巧板试拼如图(2)中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )图(1)图(2)A.1和1B.1和2C.2和1D.2和29.[2020河南]如图,在边长为2√2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为1.10.[2020甘肃天水]如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为2.11.[2020张家口桥东区一模]如图,将边长分别为a,b的两个正方形放在一起.a(a+b);(1)图中阴影部分的三角形的面积为12(2)△ABC的面积为1b2.2(用含a,b的代数式表示)12.[2020四川自贡]如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE,BF交于点M.求证:AE=BF.证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90°.又∵CE=DF,∴CE+BC=DF+CD,即BE=CF.在△ABE 和△BCF 中,{BE =CF,∠ABE =∠BCF,AB =BC,∴△ABE ≌△BCF,∴AE=BF.13.[2020浙江杭州]如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接AE,∠DAE 的平分线与CD 边交于点G,与BC 的延长线交于点F.设CEEB =λ(λ>0).(1)若AB=2,λ=1,求线段CF 的长. (2)连接EG,若EG ⊥AF, ①求证:点G 为CD 边的中点. ②求λ的值.(1)解:因为在正方形ABCD 中,AD ∥BC,所以∠DAF=∠F.因为AG 平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF,所以∠EAF=∠F,所以EA=EF. 因为λ=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1. 在Rt △ABE 中,由勾股定理,得EA=√5, 所以CF=EF-EC=EA-EC=√5-1.(2)①证明:由(1)可知EA=EF,又因为EG ⊥AF, 所以AG=GF.又因为∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F, 所以△DAG ≌△CFG.所以DG=CG, 所以点G 为CD 边的中点.②不妨设CD=2,则AD=2,CG=1.由①得CF=AD=2. 易证△FGC ∽△GEC,所以EC CG =CG CF =12, 所以EC=12,所以BE=32,所以λ=CE EB =13.综合提升练（建议用时：30分钟）1.[2020湖南常德]如图(1),已知四边形ABCD 是正方形,将△DAE,△DCF 分别沿DE,DF 向内折叠得到图(2),此时DA 与DC 重合(点A,C 都落在点G 处),若GF=4,EG=6,则DG 的长为 12 .2.[2020山东青岛]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是.AE的中点,连接OF交AD于点G,连接DF.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为4√553.[2020湖北咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面积的最大值为1.其中正确结论的序号是①②③.(把正确结论的序号都填上)4.[2020唐山路南区二模]如图,在边长为2的正方形ABCD中,动点F,E以相同的速度分别从点D,C同时出发向点C,B运动(任何一个点到达终点时,两点都停止运动).连接AE,BF,AE与BF交于点P,过点P分别作PM∥CD 交BC于点M,PN∥BC交CD于点N,连接MN,在运动过程中,(1)AE和BF的数量关系为AE=BF;(2)MN长度的最小值为√5-1.5.[2020湖南株洲]如图所示,△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足△ABF≌△CBE.(1)求证:∠EBF=90°;(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tan∠AFC的值.(1)证明:∵△ABF≌△CBE,∴∠ABF=∠CBE.∵∠ABF+∠CBF=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°.(2)∵△ABF ≌△CBE,∴∠AFB=∠CEB. 又∵∠FGA=∠EGB,∴∠FAC=∠EBF=90°. ∵正方形的边长为1,CE=2,∴AC=√2,AF=CE=2, ∴tan ∠AFC=AC AF =√22.6.[2020四川南充]如图,边长为1的正方形ABCD 中,点K 在AD 上,连接BK,分别过点A,C 作BK 的垂线,垂足分别为点M,N,点O 是正方形ABCD 的中心,连接OM,ON.(1)求证:AM=BN.(2)请判定△OMN 的形状,并说明理由.(3)设AK=x,若点K 在线段AD 上运动(不包括端点),△OMN 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式(写出此时x 的范围);若点K 在射线AD 上运动,且△OMN 的面积为110,请直接写出AK 长. (1)证明:∵AM ⊥BM,CN ⊥BN,∴∠AMB=∠BNC=90°. 又∵∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠CBN+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠CBN.又AB=BC,∴△AMB ≌△BNC,∴AM=BN. (2)△OMN 是等腰直角三角形.理由:连接OB,如图.∵O 为正方形的中心,∴∠OAB=∠OBC,OA=OB,∴∠MAB-∠OAB=∠NBC-∠OBC,即∠MAO=∠OBN.又∵AM=BN,∴△AMO ≌△BNO, ∴OM=ON,∠AOM=∠BON.易知∠AOB=∠AON+∠BON=90°, ∴∠MON=∠AON+∠AOM=90°, ∴△OMN 是等腰直角三角形.(3)在Rt △ABK 中,BK=√AK 2+AB 2=√x 2+1. 易知BK·AM=AB·AK,则BN=AM=AB·AK BK=√x 2+1.∵∠AKM=∠BKA,∠AMK=∠BAK=90°,∴△AKM ∽△BKA,∴AK BK =KMAK,∴KM=AK 2BK=2√x 2+1,∴MN=BK-BN-KM=√x 2+1-√x 2+1-2√x 2+1=√x 2+1,∴S △OMN =12×(√22MN)2=14MN 2=(1-x)24x 2+4,即y=x 2-2x+14x 2+4(0<x<1).若点K 在射线AD 上运动,S △OMN =110,则AK 长为13或3.湖北孝感]如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图(2)所示的图形,记阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积为S 2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S 1=S 2,则nm 的值为 √3-12.图(1) 图(2)参考答案第一节 多边形1.D 因多边形的外角和等于360°,与边数无关,故选D.2.B 设该多边形的边数是n,由多边形的内角和公式,得180°×(n-2)=540°,解得n=5.故选B.3.45° ∵多边形的外角和为360°,∴∠DEF+∠EDF=360°-225°=135°.∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°,∴∠DFE=180°-135°=45°.4.A 正五边形的每一个内角为(5-2)×180°5=108°,即∠AED=∠EAB=108°.又EA=ED,∴∠EAD=180°−108°2=36°,∴∠DAB=∠EAB-∠EAD =72°.在正方形ABFG 中,∠GAB=90°,故∠DAG=∠GAB-∠DAB =18°.故选A. 5.B 正五边形每一个内角的度数为(5-2)×180°5=108°,所以中间形成的正多边形的每一个内角的度数为360°-24°-108°-108°=120°.易得120°n=(n-2)×180°,解得n=6.故选B.6.D 易知该图形关于直线BF 对称,四边形AFGH 与四边形CFED 关于直线BF 对称,故S 四边形AFGH =S 四边形CFED ,BF 平分∠AFC和∠ABC.因△ACF 不是中心对称图形,故整个图形不是中心对称图形.设该正八边形的中心为点O,连接OA,OC,则∠AFC=12∠AOC=12×360°4=45°,故△ACF 不是等边三角形.7.√3 如图,作螺帽的外接圆,连接AB,AC,则AC 是其直径,易知∠BAC=30°,∠ABC=90°,∴BC=√33AB=√3 cm.8.48 如图,由正五边形内角和为(5-2)×180°=540°,可知∠1=108°.又A 3A 4∥B 3B 4,∴∠2=∠1=108°,∴∠3=72°.在四边形A 2A 3MN 中,∠3+∠4+∠A 2+∠A 3=360°,∠A 2=∠A 3=120°,∴α=∠4=48°.9.4a 如图,连接HE,AD,分别交BG 于点M,N,正八边形每个内角的度数为(8-2)×180°8=135°.易得∠DAH=∠CBG=90°,∴∠BAN=∠ABN=45°,∴AN=BN,AB=√2AN=√2BN.设AN=BN=x,则AB=BC=AH=HG=√2x,MG=x,∴S 四边形BCFG =BC×BG=√2x·(2x+√2x)=2(√2+1)x 2=2a,∴S 四边形ABGH =12(AH+BG)×AN=12(√2x+2x+√2x)·x=(√2+1)x 2=a,故正八边形的面积为a×2+2a=4a(cm 2).10.80 正九边形的中心角度数为360°÷9=40°,即∠AOB=40°,∴∠MON=2∠AOB=2×40°=80°. 11.30 如图,∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,∴六边形ABMNEF 是正六边形,∴∠ABM=(6-2)×180°6=120°.又∠CBM=90°,∴∠ABC=120°-90°=30°.12.20 27 10 (1)每个正八边形的周长为8,故题中图形外轮廓的周长为(8-3)×4=20.(2)设正m 边形的一个内角的度数为α,依据题意,得2α+60°=360°,解得α=150°,∴m=360°÷(180°-150°)=12,∴当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是(12-3)×3=27.(3)正五边形一个内角的度数为180°-360°÷5=108°,∴得到的正n 边形的一个内角的度数为360°-108°-108°=144°,一个外角的度数为180°-144°=36°,∴n=360°÷36°=10,∴得到的正n 边形的周长是10. 13.略第二节 平行四边形 基础分点练 1.C2.B 在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC.当∠B=∠BCF 时,AD ∥CF.根据平行四边形的定义可知此时四边形ADFC 是平行四边形.故选B.3.略4.C ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=2∠B,∴2∠B+∠B=180°,∴∠B=60°,∴∠D=60°.故选C. 5.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=DC,∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA,∴△AOB ≌△COD,∴OA=OC,OB=OD.故正确的顺序为②③①④⑤,故选C.6.D ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠C=∠ABC=70°.又∵四边形BCDE 为平行四边形,∴∠E=∠C=70°.故选D.7.C 如图,过点E 作EM ⊥BA 交BA 的延长线于点M,延长ME 交CD 于点N.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,∴EN ⊥CD.由尺规作图的痕迹可知,BE,CE 分别平分∠ABC,∠BCD,EF ⊥BC, ∴EM=EF=2, EN=EF=2,∴MN=4,即AB,CD 之间的距离为4.故选C.8.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B=60°,CD=AB=3.由折叠的性质可知AE=AD,DC=CE,又D,C,E 三点共线,∴△ADE 是等边三角形.又∵DE=DC+CE=6,∴△ADE 的周长为6×3=18.9.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD.易得△BEM ∽△DEC,∴BE DE =EM EC =BM CD =12, ∴S △DEM =2S △EBM =2,S △EBC =2S △EBM =2,∴S 阴影=2+2=4,故选C.10.D 如图,延长EF 交AD 于点H,则AB ∥EH ∥CD,∴四边形ABEH 和四边形CDHE 都是平行四边形,∴EH=AB=5,AH=BE,HD=EC.∵∠BFC=90°,E 是边BC 的中点,BC=8,∴EF=BE=EC=12×8=4, ∴AH=HD,FH=EH-EF=5-4=1.易得FH 是△ADG 的中位线,∴DG=2FH=2.11.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CF,AB=CD,∴△ABE ∽△DFE,∴AB DF =AEDE =2,又∵DE=3,DF=4, ∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴▱ABCD 的周长为(8+9)×2=34.故选C. 12.C ∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB ∥CD,∴∠BEC=∠DCE,∠CDE=∠AED,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=5,∴AD=5.又∵EA=3,ED=4,∴EA 2+ED 2=AD 2,∴∠AED=90°,∴∠CDE=90°.又CD=AB=3+5=8,∴CE=√DE 2+DC 2= √42+82=4√5.故选C.13.(2,-1) ∵▱ABCD 对角线的交点O 为坐标原点,∴点A 与点C 关于原点O 中心对称.又点A 的坐标为(-2,1),∴点C 的坐标为(2,-1).14.61 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,DC ∥AB.∵∠ADC=119°,DF ⊥BC, ∴∠ADF=∠DFC=90°, ∠EDH=29°.∵BE ⊥DC,∴∠DEH=90°,∴∠BHF=∠DHE=90°-29°= 61°. 15.30 如图,由题意可知α+∠BCD=180°.过点B 作BF ∥CD,则BF ∥AE,∴∠ABF=180°-∠A=110°, ∴∠CBF=140°- ∠ABF=30°,∴∠BCD=180°-∠CBF=150°,∴α=180°-∠BCD=30°.综合提升练1.B ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD,AB ∥CD.∵E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,∴EH ∥AD,EH=12AD,EF ∥AB,EF=12AB,FG ∥BC,FG=12BC,GH ∥CD,GH=12CD,∴EH ∥FG,EF ∥HG,∴四边形EFGH 是平行四边形,故B 中的说法正确.∵AB=2,AD=4,∴EH=2,HG=1,故A 中的说法错误.∵AB ≠AD,∴平行四边形ABCD 不是菱形,故AC 与BD 不垂直,故C 中的说法错误.由EF ∥AB,得△OEF ∽△OAB,∴S △ABO S △EFO=(ABEF )2=4.故D 中的说法错误.2.略3.略 全国视野创新练9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG,EF ∥CG,∴△DOE ∽△COG,∴OE OG =DECG .又∵DF=14DE,∴DE CG =45,即OE OG =45,∴OE EG =49,即EG=94OE,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.第三节 矩形、菱形、正方形 课时一:矩形的性质与判定基础分点练1.B AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形;AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形;AC ⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;由AC 平分∠BAD,可推得平行四边形ABCD 是菱形.故选B.2.略3.C 由四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,得OA=OB=OC=OD,故S △AOB =S △COB =S △COD =S △AOD =2,所以矩形ABCD 的面积为4S △AOD =8,故选C.4.C 由折叠可得∠ABE=∠A'BE,∠BA'E=∠A=90°.∵∠DBC=24°,∴∠ABA'=90°-24°=66°,∴∠A'BE=33°, ∴∠A'EB=90°-33°=57°.5.A 如图,连接AE,设AC,EF 交于点O,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵直线EF 垂直平分AC,∴OA=OC,AE=EC,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF ≌△COE,∴AE=CE=AF=5,∴BC=BE+EC=8.在Rt △ABE 中,AB=√AE 2-BE 2=√52-32=4.在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5,故选A.6.43 根据矩形的性质得到AB ∥CD,AB=CD.∵点E 为CD 的中点,∴DE=12CD=12AB.易得△ABP ∽△EDP,则PB PD =ABDE =2,∴PB BD =23.易得△BPQ ∽△BDC,则PQ CD =BP BD =23,∴PQ=23CD=43. 7.3√17 在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,根据勾股定理,可得BD=13.∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8,∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB ∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3.在Rt △BCQ 中,BC=AD=12,CQ=3,根据勾股定理,得BQ=3√17.8.略全国视野创新练1.D ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.设AB=CD=x,由折叠的性质可知,PA'=AB=x,PD'=CD=x.易证△A'EP ∽△D'PH,∴A'P 2∶D'H 2=8∶2,∴A'P ∶D'H=2∶1,∴D'H=12x.∵S △D'PH =12D'P·D'H=12·x·12x=2,∴x=2√2(负值已舍去),∴D'P=A'P=2√2,DH=D'H=√2,∴A'E=2D'P=4√2,∴PE=√(4√2)2+(2√2)2=2√10,PH=√(2√2)2+(√2)2=√10,∴AD=4√2+2√10+√10+√2=3√10+5√2. 2.43√3,4√3或(8-4√3) ①如图(1),当∠ABE=30°时,在Rt △ABE 中,AB=4,tan ∠ABE=AE AB ,∴AE=AB·tan ∠ABE=4×tan 30°=43√3.②如图(2),当∠AEB=30°时,在Rt △ABE中,tan ∠AEB=AB AE ,∴√33=4AE,∴AE=4√3.③如图(3),当∠ABA'=30°时,∠DEA'=30°,由折叠的性质可知,AE=A'E, A'B=AB=4,过点A'作FG ⊥BC 于点G,交AD 于点F,则FG=AB=4.∵AB ∥FG,∴∠BA'G=∠ABA'=30°, ∴BG=12A'B=2.∵tan ∠BA'G=BG A'G =√33,∴A'G=2√3,∴A'F=FG-A'G=4-2√3.在Rt △A'EF 中,sin ∠FEA'=A'F A'E =12,∴AE=A'E=8-4√3.综上所述,AE 的长为43√3,4√3或(8-4√3)cm.图(1) 图(2)图(3)课时二:菱形的判定与性质基础分点练 1.AD=DC(答案不唯一)2.是 如图,∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.过点A 作AE ⊥BC 于点E,AF ⊥DC 于点F,∵两张纸条等宽,∴AE=AF,又S ▱ABCD =BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴四边形ABCD 是菱形.3.略4.C 由四边形ABCD 是菱形,得AB=AD,∠B=∠D.选项A 中,由∠BAF=∠DAE,得∠BAE=∠DAF,故△ABE ≌△ADF.选项B 中,由EC=FC,得BE=DF,∴△ABE ≌△ADF.选项C 中,添加条件AE=AF,不能保证△ABE 和△ADF 一定全等.选项D 中,由BE=DF,易得△ABE ≌△ADF.故选C.5.B 如图,∵菱形ABCD 的周长为16,高为2,∴AB=4,AH=2.在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=12,∴∠B=30°. ∵AB ∥CD,∴∠C=150°,∴∠C ∶∠B=5∶1.6.A ∵四边形ABCD 是菱形,OA=6,∴AC=2OA=12,OB=OD.又DH ⊥AB,∴OH=12BD.∵S 菱形ABCD =48,∴12AC·BD=48,∴BD=8,∴OH=4. 7.B ∵四边形ABCD 是菱形,O 是对角线BD 的中点,∴AO ⊥BD,AD=AB=4,AB ∥DC.又∵∠BAD=120°, ∴∠CDB=∠ABD=∠ADB=30°,∴AO=12AD=2,∴DO=√AD 2-AO 2=2√3.又OE ⊥CD,∴OE=12OD=√3, DE=√32OD=3, ∴四边形AOED 的周长为AO+OE+DE+AD=2+√3+3+4=9+√3.8.B ∵四边形ABCD 是菱形,∴OC=12AC=4,OD=12BD=3,∠COD=90°.在Rt △OCD 中,根据勾股定理可知,CD=√OD 2+OC 2=5.∵∠EOC=∠ECO,∠EOC+∠EOD=90°,∠ECO+∠EDO=90°,∴∠EOD=∠EDO,∴DE=OE.又OE=CE,∴DE=OE=CE,∴OE=12CD=52.9.B 方法一:如图(1),连接OE.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO, ∴S △BOC =S △AOB =S △AOD = S △DOC = 14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点, S △BOE = S △COE =12S △BOC ,∴S △OEF =12S △BOE ,S △OEG =12S △COE ,∴S 四边形EFOG = S △OEF +S △OEG =12S △BOE +12S △COE =12S △BOC =18S,故选B.图(1) 图(2)方法二:如图(2),连接FG.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO,∴S △BOC =S △AOB =S △AOD =S △DOC =14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点,∴FG 是△OBC 的中位线,∴FG ∥BC,FG=12BC,∴△OFG ∽△OBC,∴S △OFG =14S △OBC =116S.易知S △OFG =S △EFG =12S 四边形EFOG ,∴S 四边形EFOG =2S △OFG =18S.故选B.10.45° 设尺规作图所作直线与AB 交于点F,由尺规作图可知,EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠A=∠EBA=30°.由菱形的性质可知AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°. 11.2√7 在线段BC 上取点F,使CF=AE=2,如图,则EF 平分菱形ABCD 的面积,理由:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD ∥BC,AD=BC=AB=6,∴DE=BF=6-2=4.过点A 作AG ⊥BC 于点G,过点E 作EH ⊥BC 于点H,则四边形AGHE 是矩形,∴AG=EH,GH=AE=2.∵S 梯形ABFE =12(AE+BF)·AG,S 梯形EFCD =12(CF+DE)·EH,∴S 梯形ABFE =S 梯形EFCD ,即EF 平分菱形ABCD 的面积.∵在Rt △ABG 中,AG=ABsin B=6×√32=3√3,BG=ABcos B=6×12=3, ∴EH=AG=3√3, CH=BC-BG-GH=1,∴FH=CF-CH=1,∴在Rt △EFH 中,EF=√FH 2+EH 2=√12+(3√3)2=2√7.12.略全国视野创新练B 连接AC,由对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,点E 在运动过程中,四边形AECF 始终为平行四边形.特殊地,当EF ⊥AC 时,四边形AECF 为菱形,当点E 与点B 重合时,四边形AECF 是矩形.故四边形AECF 的形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.故选B.课时三:正方形的性质和判定基础分点练1.A 由作图痕迹可知MA=MB=NA=NB,∴四边形MANB 是菱形,故可添加条件AB=MN 或AO=MO.2.D 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不是正方形.故选D.3.D ∵点O 为BD 的中点,∴OB=OD.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴DC ∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,∴△FDO ≌△EBO,∴OE=OF,∴四边形DEBF 为平行四边形,故选项A 中的结论成立.对于选项B,当AE=3.6时,∵AB=10,AD=6,∴AE AD =35,AD AB =35,∴AE AD =AD AB ,又∵∠DAE=∠BAD, ∴△DAE ∽△BAD,∴∠AED=∠ADB=90°,∴∠DEB=90°,∴▱DEBF 为矩形.故选项B 中的结论成立.对于选项C,当AE=5时,∵AB=10,∴BE=5,又∵∠ADB=90°,∴DE=12AB=5,∴DE=BE,∴▱DEBF 为菱形.故选项C 中的结论成立.对于选项D,当AE=4.8时,∠DEB ≠90°,∴四边形DEBF 不是正方形.故选D.4.B 根据题意可知菱形ABC'D'的AB 边上的高等于AB 的一半,所以菱形ABC'D'的面积为12AB 2,正方形ABCD 的面积为AB 2,故菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD 的面积之比是12.故选B.5.C ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵△ABE 是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°, ∴AD=AE.在△ADE 中,AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=12(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.6.A 连接BD,在等腰直角三角形ABD 中,BD=√2AB=6√2.根据点M,N 分别是DQ,BQ 的中点可得,MN 是△BDQ 的中位线,所以MN=12BD=3√2.故选A.。

中考数学专题复习六四边形一、教学目标二、知识点归纳考点一：多边形有关概念1. n边形的内角和为．外角和为．2.如果一个多边形的边数增加一条，则这个多边形的内角和增加，外角和增加．3.n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条．4.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形. 只用一种正多边形铺满地面，你能写出多少个这样的正多边形．例1、多边形基础题（1）、若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是 .（2）、内角和为1440°的多边形是．（3）、一个正多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是 .（4）、若多边形的边数增加2，则该多边形的内角和增加。

（5）、若一个多边形的每个内角都为钝角，则边数最少是。

（6）、四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四个角中最小的一个为度。

（7）、某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有种.（8）、已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．（9）、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案.例2、在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．例3、写出从正三角形到正八边形的各个内角的度数.正三角形正四边形正五边形正六边形正七边形正八边形例4、求下图中x的值．例5、一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．考点二：平行四边形及特殊平行四边形1、平行四边形的性质（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线___ ___；邻角______.（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）2．平行四边形的判定（1）定义法：________________________.（2）边：________________________或_______________________．（3）角：________________ ________．（4）对角线：_______ _________________．3. 特殊的平行四边形的判别条件ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ___ _ .4. 特殊的平行四边形的性质边角对角线矩形菱形正方形例1、平行四边形基础题（1）、在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的组合是（2）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（） A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3（3）、以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（4）、如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（） A．1＜m＜11；B．2＜m＜22；C．10＜m＜12；D．5＜m＜6（5）、平行四边形一组对角的平分线（）A．在同一条直线上；B．平行；C．相交； D．平行或在同一直线上（6）、已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，则AB=___________㎝.（7）、顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（）A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形例2、特殊平行四边形基础题（1）、下列四个命题中，假命题是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．菱形的一条对角线平分一组对角C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 D．等腰梯形的两条对角线相等（2）、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直（3）、正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为。

知识必备08四边形方法1：中点四边形模型一．选择题（共2小题）1．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件是()A ．AC BDB ．AC BD C ．AC BD 且AC BD D ．不确定【分析】满足的条件应为：AC BD ，把AC BD 作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG 平行且等于AC 的一半，EF 平行且等于AC 的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF 平行且相等，所以EFGH 为平行四边形，又EH 等于BD 的一半且AC BD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相等，所以四边形EFGH 为菱形．【解答】解：满足的条件应为：AC BD ．理由如下：E ∵，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，在ADC 中，HG 为ADC 的中位线，所以//HG AC 且12HG AC ；同理//EF AC 且EF AC ，同理可得12EH BD ，则//HG EF 且HG EF ，四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD ，所以EF EH ，四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．2．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF 各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF 上，则飞镖落在阴影区域的概率为()A ．14B ．12C ．34D ．32【分析】通过题目可以容易的得出阴影部分是一个正六边形，要想计算飞镖落在阴影区域的概率，只要计算阴影部分的面积占总面积的比例即可．【解答】解：∵六边形A B C D E F ∽六边形ABCDEF ，120B ∵，A B A B，A ∵是AB 的中点，2AB A B ，2A B AB ， 34A B C D E F ABCDEF S S六边形六边形，故选：C ．【点评】本题主要考查了概率的应用，运用几何面积的比来表示概率．二．填空题（共1小题）3．（2023•东莞市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，6BC ．E 是边CD 的中点，F 是平行四边形ABCD 内一点，且90CFD ．连接AF 并延长，交BC 于点G ．若//EF AD ，AFD FCG ，则AF 的长为【分析】根据题意构造出包含AF 的图形，通过推断证明该图形的特征，利用四边形及三角形的相关性质进行计算得出答案．【解答】解：如图所示，延长EF 交AB 于点H ．ABCD ∵ 中，10AB ，6BC ，E 是CD 的中点（已知），11522DE DC AB ，6AD BC ；//DC AB 即//DE AH ，//AD BC ．（平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等）．//EF AD ∵即//EH AD ，四边形AHED 是平行四边形（平行四边形的判定）；//EH CB （平行的传递性），5AH DE ，6HE AD ．90CFD ∵，且E 是CD 的中点，152EF CD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），651HF HE FE ．//EH CB ∵，FCG CFE ．AFD FCG ∵（已知），AFD CFE ．90CFD CFE EFD ∵，90AFE AFD DFE ，18090AFH AFE ，即AFH 是一个直角三角形．222AF HF AH ，即22215AF ，AF ．故答案为【点评】本题考查了几何构图的能力，平行四边形的性质，三角形勾股定理的运用．三．解答题（共1小题）4．（2023•乐清市模拟）如图，O 是ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当90DEF ，6AB ，4BC 时，求四边形DEFG 的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行证明．（2）分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出EF 的值，然后通过构造DE 延长线段所在的三角形间接求出DE ，从而算出周长．【解答】（1）证明：E ∵，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，OAB 中，//EF AB 且12EF AB （三角形中位线定理）；12DG DC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ，DC AB （平行四边形的对边平行相等），1122DG DC AB EF ，////DG AB EF ， 四边形DEFG 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）解：如图所示，90DEF 时，延长DE 交AB 于点H ．AC ∵、BD 分别是平行四边形ABCD 的对角线，4BC ，12DO OB DB （平行四边形对角线相互平分），4AD （平行四边形对边相等）．∵点E 、F 分别是OA 、AB 的中点，6AB ，OAB 中，//EF AB 且132EF AB （三角形中位线定理）；∵点F 是OB 的中点，1124OF OB DB ，113244DF DO OF DB DB DB， 34DF DB ．90DEF ∵即DE EF ，//EF AB ，DH AB 即90DHB DHA ，EFD HBD ，DEF DHB ∽（两个直角三角形中，有一个锐角对应相等，这两个直角三角形相似），34EF DE DF HB DH DB ，即334DE HB DH ，4HB ，34DE DH，642AH AB HB ，直角DHA 中，22224223DH AD AH ，333323442DE DH ， 四边形DEFG 的周长332()2(3)6332EF DE．答：四边形DEFG 的周长是633 ．【点评】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理．方法2：正方形中的十字架模型一．选择题（共5小题）1．（2023•宜城市模拟）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，分别交BD ，EF 于O ，P 两点，M ，N 分别为BO ，DO 的中点，连接MP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB 是菱形；③四边形EFNB 的面积占正方形ABCD 面积的58．正确的有()A ．①③B ．①②C ．只有①D ．②③【分析】首先根据正方形的性质可判定ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，再判定EF 是BCD 的中位线，FN 为OCD 的中位线，MP 为OBC 的中位线，据此可判定DFN 、OMP 均为直角三角形，据此可对说法①进行判定；根据三角形的中位线得12MP BC ，12EP OB ，由BC OB 可得MP EP ，据此可对说法②进行判定；设ON a ，则4BD a ，NF a ，2EF a ，3BN a ，然后分别求出正方形的面积和四边形EFNB 的面积即可对说法③进行判定．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AO BD ，OA OB OD ，AB AD BC CD ，90BAD BCD ，ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，∵点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF 是BCD 的中位线，CEF 为等腰直角三角形，//EF BD ，AO EF ，连接PC ，则点A ，O ，P ，C 在同一条直线上，∵点N 为OD 的中点，点F 为CD 的中点，FN 为OCD 的中位线，//FN OC ，90ONF ，又45BDC ，DFN 为等腰直角三角形，∵点F 为CD 的中点，//FP OD ，点P 为OC 的中点，又∵点M 为OB 的中点，MP 为OBC 的中位线，//MP BC ，12MP BC ，45OMP OBC ，OMP 为等腰直角三角形，综上所述：说法①正确；//MP BC ∵，12MP BC ，//EP OB ，12EP OB ， 四边形MPEB 是平行四边形，又BC OB ，MP EP ，四边形MPEB 不是菱形，故说法②不正确；设ON a ，则4BD a ，NF a ， 122EF BD a ，3BN a 21822S BD a正方形，//EF BD ∵，四边形EFNB 为梯形，21522EFNB S EF BN FN a 四边形， 说法③不正确．综上所述：说法正确的只是①．故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的边AD 、BC 、AB 上的点，连接DG ，EF ，GF ．且EF DG ，2DE AG ，ADG 的度数为 ，则EFG 的度数为()A ．B ．2C ．45D ．45【分析】点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，易通过HL 证明Rt FHE Rt DAG ，得到EH AG ，HFE ADG ，根据2DE AG 可得EH DH AG CF ，于是得到BG BF ，则BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，由90BFG EFG HFE 即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ，90A B C ADC ，如图，过点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，FH CD ，DH CF ，90FHE ，FH AD ，在Rt FHE 和Rt DAG 中，FH AD EF DG，Rt FHE Rt DAG(HL) ，EH AG ，HFE ADG ，DE AG ∵，2DE EH ，即点D 为DE 中点，EH DH AG CF ，AB AG BC CF ，即BG BF ，BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，90904545EFG BFG HFE ．故选：C ．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2023•天山区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B ，C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是()①线段AM 长度的最小值为5；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当ABP ADN 时，4BP ；④当P 为BC 中点时，AE 是线段NP 的垂直平分线．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【分析】①设BP x ，则4PC x ，首先证CMP 和BPA 相似得1(4)4MC x x，再过点M 作MG AB 于点G ，由勾股定理得AM ，据此得当AG 为最小时，AM 为最小，然后求出AG 的最小值即可得到AM 的最小值，进而可对结论①进行判断；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，然后将1(4)4MC x x ，4AB BC 代入构造二次函数即可求出S 的最大值，进而可对结论②进行判断；③先证ABP AEP AEN ADN ，从而得22.5PAB PAE NAE NAD ，然后在AB 上取一点K ，使AK PK ，则PKB 为等腰直角三角形，则BP BK x ，继而可得出PK ，最后由4AB AK BK 可求出x 的值，进而可对结论③进行判断；④设NE y ，由③可知ADN AEN ，从而得DN EN y ，则4CN y ，2PN y ，然后利用勾股定理求出x 的值，进而可对结论④进行判断．【解答】解：①∵四边形ABCD 为正方形，边长为4，90B C ，4AB BC CD AD ，设BP x ，则4PC x ，由折叠知：APB APE ，MPC MPN ，∵点C 、P 、B 三点在通一条直线上，90MPN APE ，即：90APM ，90CPM APB ，又90APB PAB ∵，CPM PAB ，又90C B ∵，CMP BPA ∽，MC PC PB AB ， 44MC x x ， 1(4)4MC x x，过点M 作MG AB 于点G ，则四边形BCMG 为矩形，4MG BC ，1(4)4GB MC x x ，在Rt AMG 中，由勾股定理得：AM ，当AG 为最小时，AM 为最小，AG AB BG AB MC ∵， 2114(4)(2)344AG x x x ， 当2x 时，AG 为最小，最小值为3，即当3AG 时，AM 为最小，此时5AM ，故结论①正确；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，由①可知：1(4)4MC x x ，4AB BC ， 211[1/4(4)4]4(2)1042S x x x ， 当2x 时，S 为最大，最大值为10， 四边形AMCB 的面积最大值为10．故结论②正确；③由翻折的性质可知：ABP AEP ，AB AE AD ，90AEN D ，在Rt AEN 和Rt ADN 中，AE AD ，AN AN ，Rt AEN Rt ADN(HL) ，又ABP ADN ∵，ABP AEP AEN ADN ，22.5PAB PAE NAE NAD ，在AB 上取一点K ，使AK PK ，22.5KPA KAP ，45PKB KPA KAP ，PKB 为等腰直角三角形，BP BK x ，由勾股定理得：22PK PB BK ，AK PK ，4AB AK BK ，4x ，解得：4x ，4BP ，故结论③正确；④∵点P 为BC 的中点，2BP PC PE ，设NE y ，由③可知：ADN AEN ，DN EN y ，4CN CD DN y ，2PN PE NE y ，在Rt PCN 中，由勾股定理得：222CP CN PN ，即：2222(4)(2)x x ，解得：43x，即：43NE ，PE NE ，AE 不是线段NP 的垂直平分线，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：A ．【点评】此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，二次函数的最值等知识，解答此题的关键是构建二次函数解决最值问题，难点是正确的添加辅助线，构造矩形、等腰直角三角形．4．（2023•浙江模拟）如图，正方形ABCD 中，AE DF ，AF 与BE 相交于点H ，点O 为BD 中点，连结OH ，若DG OG ，则OH BH 的值为()A ．23B ．817C ．715D 10【分析】先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设DF k ，然后根据勾股定理表示出OH 、BH 的长度即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB ，90ADC DAB ，又DF AE ∵，()DAF ABE SAS ，BE AF ，EBA EAH ，90EAH HAB ∵，90EBA HAB ，90AHB ，∵点O 为BD 中点，DG OG ， 13DG GB ，//AB CD ∵，DFG BAG ∽， 13DF DG AG GB ，设DF k ，则3AB k ，AE k ，在Rt AEB 中，10EB k ， 10k AH AE AB ，解得10AH ，在Rt AHB 中，根据勾股定理223(3)()1010BH k k ，过点O 作OP AB 于点P ，过H 作HN AB 于点N ，过O 作OM NH 交NH 的延长线于点M ，如图：则四边形OMNP 为矩形，OM NP ，1322OP MN AD k，在Rt AHB中，3k HN AH BH ，910HN k ，3932105MH k k k ，又EBA AHN ∵，HNA EAB ，HNA BAE ∽， 13BN EA HN AB ，310AN k ，3362105NP OM k k k ，根据勾股定理可得5OH，59OH BH ，故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，关键是作辅助线，用参数表示出OH 、BH 的长度．5．（2023•双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，连接AE ，DF 交于点O ，将ABE 沿AE 翻折，得到AGE ，延长EG 交AD 的延长线于点H ，连接CG ．有以下结论：①AE DF ；②AH EH ；③//CG AE ；④:4AOF BEOF S S 四边形．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】①根据正方形的性质可得AD AB BC ，90DAB B ，从而可证DAF ABE ，进而可得BAE ADF ，然后可得90BAE AFD ，即可解答；②根据正方形的性质可得//AD BC ，从而可得DAC AEB ，再利用折叠可得AEB AEG ，进而可得DAE AEG ，即可解答；③由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC ，GE GC ，从而可得1(180)2EGC ECG GEC ，进而可得AEB GCE ，即可解答；④在Rt ABE 中，利用勾股定理求出AE ，然后证明AOF ABE ∽，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB BC ，90DAB B ，90ADF AFD ，∵点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，12AF AB ，12BE EC BC ，AF BE ，()DAF ABE SAS ，BAE ADF ，90BAE AFD ，180()90AOF BAE AFD ，AE DF ，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，//AD BC ，DAE AEB ，由折叠得：AEB AEG ，DAE AEG ，AH EH ，故②正确；由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC，GE BE ，GE EC ，1(180)2EGC ECG GEC ，AEB GCE ，//AE CG ，故③正确；90B ∵，4AB ，2BE，AE ，90B AOF ∵，FAO BAE ，AOF ABE ∽，221()5AOF ABE S AF S AE ，:4AOF BEOF S S 四边形，故④正确；所以，以上结论，正确的有4故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共3小题）6．（2023•金东区二模）如图，点G 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连结CG ，过点C 作CE CG ，交AD 的延长线于点E ，过点E 作EF CE ，过点G 作GF CG ，EF 和GF 交于点F ，延长CD 交EF 于点H ，连结GH ，以HD 和DA 为边作矩形ADHI ．记CEH 的面积为1S ，GHF 的面积为2S ，矩形ADHI 的面积为3S ，若4AB ，1233S S S ，则CE【分析】先证四边形GCEF 为矩形，再证ECD 和GBC 全等，从而得CE CG ，进而可判定矩形GCEF 为正方形，然后设CE x ，HD a ，则4CH a ，据此可求出 21224GHC GCEF S S S S x a 正方形，34S a ，根据已知条件1233S S S 得22(4)43x a a ，整理得26110x a ，再证CDE 和CEH 相似得2416x a ，据此可求出a 的值，进而可求得CE 的长．【解答】解：CE CG ∵，EF CE ，GF CG ，四边形GCEF 为矩形，∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ADC B ，4CD BC ，90BCG DCG ，CE CG ∵，90ECD DCG ，ECD BCG ，90ADC ∵，90CDE B ，在ECD 和GBC 中，904CDE B CD BC ECD BCG，()ECD GBC ASA ，CE CG ，矩形GCEF 为正方形，设CE x ，HD a ，4CH CD HD a ，1242GHC GCEF S S CH BC a 正方形，12GHC GCEF S S S S ∵正方形，2122(4)S S x a ，又34S HD BC a ∵，21232(4)43S S S x a a ，整理得：26110x a ，90CDE CEH ∵，DCE ECH ，CDE CEH ∽，CE CD CH CE，即：2CE CD CH ，24(4)x a ，将24(4)x a 代入26110x a 之中得： 2.5a ，24164 2.51626x a ，CE x ．．【点评】此题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的全等及性质，相似三角形的判定和性质，三角形、矩形、正方形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，难点是设置适当的辅助未知数，利用面积公式和相似三角形的性质找出相关线段之间的关系．7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的一点，且CE DF ，AF 、DE 相交于点O ，BO BA ，则OC 的值为5．【分析】过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，先证ADF DCE 得DAF CDE ，进而得90AOD ，再证BAH ADO 得AH DO ，进而得AH OH DO ，2AO DO ，据此可求出5DO ，5AO，然后证ADF AOD ∽得112DF AD ，据此可求出AF ，5OF ，再利用三角形的面积公式求出25OG ，继而可求出45DG ，65CG ，进而可得OC 的长．【解答】解：过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，AD DC BA ，90ADC DCA BAD ，在ADF 和DCE 中，90AD DC ADF DCE DF CE，()ADF DCE SAS ，DAF CDE ，90CDE ADO ADC ∵，90DAF ADO ，90AOD ，BO BA ∵，BH AO ，AH OH ，90BHA ，90ABH BAH ，又90BAH DAO BAD ∵，ABH DAO ，又90BHA AOD ，在BAH 和ADO 中，90ABH DAO BHA AOD BA AD，()BAH ADO AAS ，AH DO ，AH OH DO2AO AH OH DO ，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222AO DO AD ，即：222(2)4DO DO ，5DO，5AO ，90ADF AOD ∵，FAD DAO ，ADF AOD ∽， 12DF DO AD AO ；112DF AD ，在Rt ADF 中，4AD ，2DF ，由勾股定理得：AF ，55OF AF AO ，90AOD ∵，OG CD ，由三角形的面积公式得：1122ODF S DF OG OD OF ，即：11222OG 45OG ，在Rt DOG 中，5DO ，45OG ，由勾股定理得：85DG ，812455CG CD DG ，在Rt OCG 中，45OG ，125CG ，由勾股定理得：OC．故答案为：5．【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等，相似三角形的对应边成比例．8．（2023•雁塔区校级三模）如图，在正方形ABCD 中，6AB ，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF ，连接EF ，DE ，DF ，过点D 作DN DF ，DM DE ，且DN DF ，DM DE ，连接CN ，MN ，CM ，则线段CN 长度的最小值为3 ．【分析】首先证明NDM 和FDE 全等，从而得出DM DE ，3MN EF ，过点M 作MP CD 于点P ，再证DMP 和EDC 全等，从而6MP CD ，3DP CE ，然后利用勾股定理求出CM ，最后根据“两点之间线段最短”得出CN MN CM ，据此即可求出CN 的最小值．【解答】解：DN DF ∵，DM DE ，90EDM FDN ，即：90EDN NDM FDE EDN ，NDM FDE ，在NDM 和FDE 中，DN DF NDM FDE DM DE，()NDM FDE SAS ，DM DE ，3MN EF ，∵四边形ABCD 为正方形，6AB ，6CD BC ，90DCE ，∵点E 为BC 的中点，3CE BE ，过点M 作MP CD 于点P，则90MPD DCE ，90DMP CDM ，DM DE ∵，90CDM CDE ，DMP CDE ，在DMP 和EDC ，90DMP CDE MPD DCE DM DE，()DMP EDC AAS ，6MP CD ，3DP CE ，633CP CD DP ，在Rt CPM 中，3CP ，6MP ，由勾股定理得：CM ，由线段的性质得：CN MN CM ，即：3CN3CN ，CN 的最小值为3 ．故答案为：3 ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是根据“两点之间线段最短”构造不等式CN MN CM ，从而求出CN 的最小值．三．解答题（共3小题）9．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边BC ，AB ，CD 上，GF AE ．请判断AE 与GF 的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形ABCD 中，34BC AB ，将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连结AE 交GF 于点O ．则GF 与AE 之间的数量关系为43AE GF ．【拓展应用】在（2）的条件下，若4sin 5EFB ，GF ，则CE 的长为．【分析】【问题提出】AE GF ，过F 作FM DC ，然后证明ABE FGM 即可；【类比探究】过F 作FM DC ，证明ABE FMG ∽即可解答；【拓展应用】由4sin 5EFB 可设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，由（2）可得43AE FG ，从而可得AE ，在Rt ABE 中根据勾股定理即可求出BE 的长，BC ，从而求出CE ．【解答】解：【问题提出】AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90ABE FMG ，AB BC FM ，//DC AB ，MGF AFG ，GF AE ∵．EAF GFM ，()ABE FGH ASA ，AE GF ；【类比探究】43AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：GF AE ∵，EAF GFM ，90ABE FMG ∵，ABE FMG ∽， AE AB GF FM，∵34BC AB ，BC FM ， 43AE AB AB GF FM BC ，故答案为：43AE GF ．【拓展应用】∵4sin 5EFB，45BE BF ，由折叠性质可知AF EF ，设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，8AB x ，由（2）可知43AE GF ，∵GF ，AE 在Rt ABE 中，222(4)(8)x x ，解得1x 或1 （舍去），4BE ，8AB ，∵34BC AB ，6BC ，642CE BC BE ．故答案为：2．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．10．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且AE DF ，求证：AE DF ．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD 中，3AB ，4BC ，点E 在边AD 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，且BE MN ，求BE MN的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，当EFC 与MNC 的度数之间满足什么数量关系时，有?EF m MN n 试写出其数量关系，并说明理由．【分析】【问题探究】利用ASA 证明ADE DCF ，得AE DF ；【知识迁移】过点N 作NO AB 于点O ，利用ABE ONM ∽，得AB BE ON MN ，即可得出答案；【拓展应用】作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，说明ABG NHM ∽，得AG AB m MN HM n，且四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，进而解决问题．【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD 是正方形，AD DC ，90ADC BCD ，90AED DAE ，AE DF ∵，90AED CDF ，DAE CDF ，在ADE 与DCF 中，ADC BCD AD DC DAE CDF，()ADE DCF ASA ，AE DF ；【知识迁移】解：如图，过点N 作NO AB 于点O，90BMN MNO ，BE MN ∵，90BMN MBE ，MNO MBE ，BMN AEB ，在ABE 与MNO 中，MNO MBE ，BMN AEB ，ABE ONM ∽， AB BE ON MN，ON BC ∵， 34BE MN ；【拓展应用】解：当EFC MNC 时，EF m MN n ，作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，则EFC AGC ，180MNC BMN ，MHN ABC ，180AGB AGC ∵，AGB NMH ，ABG NHM ∽， AG AB m MN HM n，//HN BC ∵，//AB CD ，//AG EF ，//AD BC ，∵四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，AG EF ，MN BC ，当EFC MNC 时，EF m MN n．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．11．（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD 中，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，且AF BG 于点P ，求证AF BG ；【知识迁移】如图2，矩形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，且EG FH 于点P ．求EG HF的值；【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，90ABC ，120BDC ，DB DC ，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且CE DF 于点P ．请直接写出CE DF 的值．【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA 证明ABF BCG ，得AF BG ；（2）作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N ，证明Rt EMG Rt HNF ∽，得EG EM BC HF HN AB，可得答案；（3）过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M ，首先说明CBE DHF ∽，得CE BC DF DH ，再利用BDC 是等腰三角形，得出CH ，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，90ABC C ，AB BC ，290ABP ，AF BG ∵，190ABP ，12 ，在ABF 和BCG 中，12AB BC ABC C，()ABF BCG ASA ，AF BG ；（2）解：作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N，则////EM AD BC ，////HN AB DC ，EM HN ，EM AD BC ，HN AB DC ，又EG HF ∵，GEM FHN ，Rt EMG Rt HNF ∽， EG EM BC HF HN AB，即EG n FH m ；（3）解：过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M，则90DHF ABC ，90CMH BCE ，CE DF ∵，90PDM PMD ，PMD CMH ∵，BCE PDM ，CBE DHF ∽， CE BC DF DH，BD CD ∵，120BDC ，30DCH ，2BC CH ，在Rt CHD 中，90CHD ，tan 30DH CHCH ，BC ，CE DF DH．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．方法3一．解答题（共3小题）1．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD 中，180B D ，对角线AC 平分BAD ．（1）如图1，若120DAB ，且90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系为AD AB AC ；（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若90DAB ，若3AD ，7AB ，求线段AC 的长和四边形ABCD 的面积．【分析】（1）先证Rt DAC Rt BAC 得出AD AB ，再求DCA 的度数，得出12AD AC ，进而求出AD AB AC ；（2）先画辅助线：以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，作出辅助线后证明ACE 为等边三角形，根据四边形内角和为360 和，180B D 求出60DCB ，进而证明CAD CEB ，得出AD BE ，最后得出AD AB AC ；（3）先证ACE 为等腰直角三角形，再证明ADC EBC 得出AD BE ，进而求出AC 求四边形ABCD 的面积可以转化为求ACE 的面积．【解答】解：（1）180B D ∵，90B ，90D B ，∵对角线AC 平分BAD ，DAC BAC ，AC AC ∵，Rt DAC Rt BAC(AAS) ，AD AB ，120DAB ∵， 1602DAC DAB ，30DCA ， 12AD AC ， 12AD AB AC，AD AB AC ．故答案为：AD AB AC ．（2）（1）中结论成立，理由如下：，以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，由（1）可得：60CAB ，60BAC ∵，60AEC ，CAB BAC AEC ，ACE 为等边三角形，AC AE CE，CBE ABC，∵，180D ABC180，D CBE，120DAB，D ABC∵，180360ABC D DAC DCB，DCB60，DCB ACE，DCB ACB ACE ACBDCA BCB，CAD CEB AAS，()，AD BE∵，AC AE AB BE．AC AD AB（3）过点C作CE AC交AB延长线于点E，，，90∵对角线AC平分BAD，BAD，CAE DAC45∵，CE AC，ACE90，E ACE CAE18045，，E DACE CAE，AC CE180，∵，180ABC CBEABC D，D CBE，ADC EBC AAS()，AD BE，AE AB BE AB ADAB ，∵，7AD310AE ，在Rt ACE 中：222AC CE AE ，AC CE1252ACE S ，ADC EBC ∵，ADC EBC S S ，25ADC ACB EBC ACB ACE ABCD S S S S S S 四边形．【点评】本题主要考查了四边形的知识、全等三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度．2．（2023•雨花区校级二模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若1tan 3CAB ，且B 是CE 的中点，O 的直径是，求DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP 于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD ∵平分ACB ，ACD BCD ，AD BD ，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，//AB DE ∵，OD DE ，DE 是O 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC 于点F ，2BOC BAC ，OB OC ∵，OF BC ，12COF COB CAB ，1tan tan 3CF COF CAB OF ，设CF x ，3OF x ，O ∵ ，OC ，222OC OF CF ∵，222()(3)2x x ，解得：12x ，12CF ，32OF ，1BC ，B ∵是CE 的中点，1BE BC ，32EF ，222OE OF EF ∵，2223318((224OE ，222OD DE OE ∵，DE （3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP ，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A ∵，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB ，AP PQ ∵，Q QAP ，1902Q ACB ，DE ∵是O 的切线，OD DE ，//DE AB ∵，OD AB ，K 是AB 的中点，DH BH ∵，90BHD ，90BKD ∵，B ，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB ，BOD ACB ∵，OB OD ，1902ODB ACB ，ODB Q ，BHK Q ，//AQ HK ， 12BH BK BQ AB ，BQ BP QP ∵，QP AP ，BQ BP AP ， 12BH BP AP ．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP ，连接DM ，BD ，DP ，AD ，∵弦CD 平分圆周角ACB ，AD BD ，∵ PDPD ，PAD PBD MBD ，()APD BMD SAS ，DP DM ，AP BM ，DH BP ∵，DH 为PDM 的中线，HP HM ，2BP BM PM BM HM ，BH BM HM ∵， 122BH BM HM AP BP BM BM HM ．解法三：如图：连接DA ，DB ，DP ，CD ，将APD 沿PD 翻折得到△A PD ，180APD ACD ∵，AD BD ，BPD ACD ，180BPD APD ，由翻折得APD △A PD ，A PD APD ，AD A D ，180A PD BPD ，A ，P ，B 三点共线，∵ BD AD ，AD BD ，A D BD ，又DH A B ∵，12A H HB A B ，12AP PH AP PB ， 比值不变，恒为12．【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．3．（2023•肥城市校级模拟）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A ，B ，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点D ，连接AD ，CD ．求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，连接AC ，AC 是否平分BCD ？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，其外角EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ，10CD ，5AF ，求DF 的长．【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知180A C ，180ABC ADC ，再证AD CD ，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，证ABE ADF ，得到AE AF ，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC ，先证EAD BCD ，推出FCA FAD ，再证ACF DAF ∽，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF 的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，180A C ，180ABC ADC ，BD ∵平分ABC ，ABD CBD ，AD CD ，AD CD ，四边形ABCD 是等补四边形；（2）AC 平分BCD ，理由如下：如图2，过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，则90AEB AFD ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180B ADC ，又180ADC ADF ，B ADF ，AB AD ∵，()ABE ADF AAS ，AE AF ，AC 是BCF 的平分线，即AC 平分BCD ；（3）如图3，连接AC ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180BAD BCD ，又180BAD EAD ，EAD BCD ，AF ∵平分EAD ，12FAD EAD ，由（2）知，AC 平分BCD ，12FCA BCD ，FCA FAD ，又AFC DFA ，ACF DAF ∽， AF CF DF AF，即5105DF DF ，5DF ．【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．一．多边形内角与外角（共2小题）1．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是五边形．【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．【解答】解：设此多边形的边数为n，则(2)180540n ，解得：5n ，即此多边形为五边形，故答案为：五．【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60 ，那么这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数是：360606，这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360 是解题关键．二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）3．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到ABC，．则tan ACB的值是3【分析】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而906030DEB，，即有90DBE DBH，60BDE EDG BDG。

中考数学中的三角形与四边形性质总结在中考数学中，三角形和四边形是重要的几何概念。

它们具有不同的性质和特点，理解和掌握它们的性质对于解题和应用几何知识都非常重要。

下面将对中考数学中的三角形和四边形的性质进行总结。

一、三角形的性质总结1. 三角的角度性质：- 三角形的内角和等于180度，即三个内角的和为180度。

- 直角三角形的两个锐角之和为90度。

2. 三角形的边长性质：- 三角形的任意两边之和大于第三边。

- 等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两边相等。

- 在一般三角形中，较长边对应较大的角，较短边对应较小的角。

3. 三角形的相似性质：- 两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

- 两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

二、四边形的性质总结1. 平行四边形的性质：- 对角线互相平分，即对角线的交点是对角线的中点。

- 对边相等，即平行四边形的对边长度相等。

- 对角线等分平行四边形的内角。

2. 矩形的性质：- 二对相对边平行。

- 二对相对边相等。

- 二对相对角相等，且为直角。

3. 菱形的性质：- 对角线互相垂直且互相平分。

- 对边相等。

4. 正方形的性质：- 矩形的所有性质都满足。

- 对角线相等且垂直。

总结：通过以上对三角形和四边形的性质总结，我们可以发现几何知识中的基本规律和特点。

掌握三角形和四边形的性质对于应用和解题非常重要。

在解决各种与三角形和四边形相关的问题时，我们可以利用这些性质来推导和证明，帮助我们更好地理解和解决问题。

在数学中，几何是一个重要的分支，而三角形和四边形是其中重要的基本图形。

了解和掌握三角形和四边形的性质，对于中考数学的学习和考试都是至关重要的。

通过不断练习和巩固，我们可以更加熟练地应用这些性质，解决各种与三角形和四边形相关的问题。

总之，通过对中考数学中的三角形和四边形性质的总结，我们可以更好地理解和应用这些知识，提高数学解题的能力。

在学习中，我们要善于总结和归纳，将所学的知识应用到实际问题中，不断提高自己的数学水平。

专题23 平行四边形【考查题型】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行四边形的判定定理：1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的面积公式：面积=底×高平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；2）两条平行线间的任何平行线段都相等；3）等底等高的平行四边形面积相等。

考查题型一添加一个条件成为平行四边形典例1．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）A．B．C．D．变式1-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．变式1-2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）变式1-3．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．考查题型二平行四边形的证明典例2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．变式2-1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．变式2-2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．变式2-3．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．变式2-4．（2022·江西·统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．（参考数据：）变式2-5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）探究四边形的形状，并说明理由；（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．变式2-6．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．考查题型三利用平行线的性质求解典例3．（2022·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（）A．B．C．D．变式3-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（）A．96B．C．192D．变式3-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A．4B．3C．D．2变式3-3．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（）A．B．C．D．变式3-4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（）A．B．C．D．变式3-5．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．D．变式3-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（）A．5B．10C．15D．20变式3-7．（2021·天津·统考中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）A．B．C．D．变式3-8．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4变式3-9．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（）A．B．C．D．变式3-10．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．变式3-11．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．变式3-12．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．变式3-13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．变式3-14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB 的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．考查题型四利用平行线的性质证明典例4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：ABE≌CDF．变式4-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．变式4-2．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．变式4-3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．变式4-4．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．考查题型五利用平行线的性质与判定求解典例5．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形周长不变B．C．四边形面积不变D．变式5-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1变式5-2．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（）A．5.5B．5C．4D．3变式5-3．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．变式5-4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC 上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．变式5-5．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．知识点二 三角形中位线三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。

中考数学四边形总复习篇一：中考分类复习《四边形》2016中考分类《四边形》复习一、知识点回顾1．四边形的内角和与外角和定理：A（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. B2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：D ADC B （）两组对边分别平行；?1?（?2）两组对边分别相等；? 因为ABCD是平行四边形?（?3）两组对角分别相等；?4）对角线互相平分；（??（?5）邻角互补. D C A B 4.平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行?? （2）两组对边分别相等? ? （3）两组对角分别相等?ABCD是平行四边形. （4）一组对边平行且相等? ??（5）对角线互相平分? D C A B 5.矩形的性质：（）具有平行四边形的所有通性;?1? 因为ABCD 是矩形?（?2）四个角都是直角; ?3）对角线相等.（? A D BC 6. 矩形的判定：（1）平行四边形?一个直角? ? （2）三个角都是直角??四边形ABCD是矩形. （3）对角线相等的平行四边形?? AD BC A D BC 7．菱形的性质：因为ABCD是菱形（）具有平行四边形的所有通性；?1??（?2）四个边都相等；?3）对角线垂直且平分对角.（? AB D A C B 8．菱形的判定：（1）平行四边形?一组邻边等? ? （2）四个边都相等??四边形四边形ABCD是菱形. （3）对角线垂直的平行四边形?? D A O C 9．正方形的性质：因为ABCD是正方形（）具有平行四边形的所有通性；?1??（?2）四个边都相等，四个角都是直角；?3）对角线相等垂直且平分对角.（? C B C A B （1）AB （2）（3）10．正方形的判定：（1）平行四边形?一组邻边等?一个直角? ? （2）菱形?一个直角??四边形ABCD是正方形. ?（3）矩形?一组邻边等?C (3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形A B 二、例题精讲1.（2015广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A. 【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。

中考数学知识整理平行线与平行四边形的性质中考数学知识整理：平行线与平行四边形的性质平行线和平行四边形是中考数学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和关系。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解几何图形的性质和运用它们解题。

本文将对平行线和平行四边形的性质进行整理和总结。

一、平行线的性质在平面几何中，如果两条直线在同一个平面内，且不相交，那么它们被称为平行线。

平行线的性质有以下几个重要点：1. 平行线的判定：平行线有多种判定方法，常见的有以下两种：(1) 两条直线的斜率相等且不重合，即斜率相等的两条直线是平行线。

(2) 同一条横线的两条平行线上，二者任意一线与另一条的全部交点，都与另一条外一侧的交点全等。

即同位角相等。

2. 平行线之间的关系：(1) 平行线上的任意一组对应角都相等。

(2) 平行线上的任意一组同位角都相等。

(3) 平行线上的内错角（相交线的内错角）互补，即和为180度。

(4) 平行线上的外错角（相交线的外错角）相等。

3. 平行线和其他几何图形之间的关系：(1) 平行线和平行线之间相交的直线叫做平行线的转角线。

(2) 平行线和平行线之间的转角线与平行线上的对应角、内错角、外错角之间均有特定的关系。

二、平行四边形的性质平行四边形是指有四边且对应边都平行的四边形，平行四边形的性质如下：1. 平行四边形的基本性质：(1) 对边平行：平行四边形的对边是两两平行的。

(2) 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线相交于各自的中点。

2. 平行四边形的特殊性质：(1) 相邻边的对角线分割成的小三角形全等。

(2) 对角线的长度关系：平行四边形的两条对角线的长度相等。

(3) 内角和：平行四边形的内角之和为360度，即四个内角之和等于360度。

(4) 体对角线的性质：平行六面体的对棱都是平行四边形。

三、应用举例在中考数学中，平行线和平行四边形的性质经常与解题相结合。

以下是一些常见的平行四边形的应用举例：1. 根据平行四边形的性质证明图形的性质。

新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==，∴13AC=，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB =BC B ．AC 垂直BD C ．∠A =∠C D ．AC =BD2．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等 C ．一组邻边相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长cm，∴以=2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD =45°，且∠GDC =90°，∴∠GCD =∠CGD =45°，∴CD =GD ﹣4，∵AF =AD ，AG =AG ，∴Rt △AGF ≌Rt △AGD （HL ），∴FG =GD ﹣4，∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣，故选D ．5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH 为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有A．2条B．4条C．5条D．6条3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是A．108°B．72°C．90°D．100°6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF 交于点G．下列结论错误的是A．AE=BF B．∠DAE=∠BFCC．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．1．下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于AB．C．D．203．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．84．如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1655．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．6．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 点，D点的对称点为D点，若FPG，A EP90△的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4，D PH7．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．8．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．9．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．11．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．1．【答案】D【解析】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．2．【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°<∠EOD <75°时，四边形AFCE 为平行四边形， 当∠EOD =75°时，∠AEF =90°，四边形AFCE 为矩形， 当75°<∠EOD <105°时，四边形AFCE 为平行四边形，故选A ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF =∠BCD =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），故①正确；∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF ，∴∠DFB =∠BCD =90°，∴BF ⊥ED ， 故②正确，过点D 作DM ⊥CF ，交CF 的延长线于点M ，∵∠ECF =90°，FC =EC =1，∴∠CFE =45°，∵∠DFM +∠CFB =90°，∴∠DFM =∠FDM =45°，∴FM =DM ，∴由勾股定理可求得：EF ，∵DE ，∴由勾股定理可得：DF =2，∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2，∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ，∴S △BCE =S △DCF ，∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B ． 6．【答案】C【解析】在正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABE =∠C =90，又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE =BF ，∠BAE =∠CBF ，∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ．故A 、B 正确； ∵CF =2FD ，∴CF :CD =2:3，∵BE =CF ，AB =CD ，32AB BE ∴=， ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°，∴∠EBG =∠BAG ， ∵∠EGB =∠ABE =90°，∴△BGE ∽△ABE ，32BG AB GE BE ∴==，故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ，∴S △ABE =S △BFC ，∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ，∴S 四边形CEGF =S △ABG ， 故D 正确．故选C ．7．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 8．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，1．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OA =OC ，∠BAD =90°， ∵∠ADB =30°，∴AC =BD =2AB =8，∴OC =AC =4．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵AC =16，四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB ，BO =DO =12BD ，AO =OC =12AC =8，BD =AC ， ∴BO =OD =AO =OC =8，∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =AO =8，∴DC =8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得． 在中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5．12．AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选B ．4．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ，OA =AC =4 cm ，OB =BD =3 cm ，根据勾股定理，（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm ．故选B ． 5．【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6．【答案】CRt △AOF 158，OF =，OE OF =154．EF=8cm 6cm AC BD ==，，12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE ⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°．故答案为：50°．8．【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP，∵PC=3，∴CP，∴AP=CP′=1，故答案为1．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ABE，∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BEBD=BE﹣DE1．11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4=11802⨯︒=90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．1．【答案】A【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），∴AO=2，OB=1，AC⊥BD，∴由勾股定理知：AB==，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为：C．【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3．【答案】D【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，又∵AE=EF=AE′=4，∴PE+PF的最小值为E′F=，∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4．【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC =4， ∴BC =CD =AD =4，∠BCE =∠CDF =90°， ∵AF =DE =1，∴DF =CE =3，∴BE =CF =5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ， ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE ， cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG =125，∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135， 故选A ．【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键． 5．【答案】4913【解析】如图，令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中，∠BAD =∠D =90︒，∴∠BAM +∠FAM =90︒， 在Rt ADE △中，13==A E ，∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△， ∴AB =BG ，∠FBA =∠FBG ， ∴BF 垂直平分AG ， ∴AM =MG ，∠AMB =90︒， ∴∠BAM +∠ABM =90︒， ∴∠ABM =∠FAM ，∴ABM EAD △∽△，∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =，∴AM =6013，∴AG =12013，∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6．【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A =∠A '=90°，∠D =∠D '=90°，∴∠A '=∠D '，∴△A 'EP ～△D 'PH ， 又∵AB =CD ，AB =A 'P ，CD =D 'P ，∴A 'P = D 'P ， 设A 'P =D 'P =x ，∵S △A 'EP ：S △D 'PH =4：1，∴A 'E =2D 'P =2x ，∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==， ∵0x >，∴2x =，∴A 'P =D 'P =2，∴A 'E =2D 'P =4，∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===，∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==，∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7．【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD ，BO =DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD =2OE =2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．。

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。