北师大版九上第3章 证明(三)

北师大九年级证明三知识点回顾一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定条件：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、对角相等的四边形是平行四边形5、邻角互补的四边形是平行四边形；6、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

性质定理：1、对边平行；2、对边相等；3、对角相等；4、邻角互补；5、对角线互相平分；6、是中心对称图形，两条对角线的交点为对称中心；7、平行四边形的面积S=底×高周长=邻边之和的2倍。

常见的题型：证明某四边形是平行四边形证线段相等直线平行角相等二、矩形定义：1、四个角都是直角的四边形是矩形； 2、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理：1、四个角都是直角的四边形是矩形 2、有一个角是直角的平行四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形4、对角线相等且平分的四边形是矩形。

性质定理（具有平行四边形的一起性质）1、矩形四个角都是直角2、对角线相等3、是轴对称图形（有两条对称轴）4、是中心对称图形（两条对角线的交点为对称中心）常见题型：证明某四边形是矩形证明直角三角形证明线段的垂直关系证明线段的相等结合直角三角形命题等等三、菱形定义：1、四条边都相等的四边形是菱形；2、领边相等的平行四边形是菱形判定定理：1、四条边都相等的四边形是菱形2、领边相等的平行四边形是菱形、3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

性质定理（具有平行四边形的一切性质）：1 菱形四条边都相等 2、菱形的对角线互相垂直3、菱形对角线平分对角4、菱形是轴对称图形（对角线所在的直线就是他的对称轴）5、菱形是中心对称图形（两对角线的交点就是他的对称中心）6、菱形的面积S=底×高=21（两条对角线的乘积） （任何一个对角线互相垂直的四边形都可以用对角线乘积的一半来求面积）常见题型： 证某四边形是菱形 证明线段相等 证明角相等 结合直角三角形的一些性质命题等等四、正方形判定定理：1、邻边相等的矩形是正方形 2、有一个角是直角的菱形是正方形3、对角线相等的菱形是正方形4、对角线互相垂直是四边形是正方形、5、对角线互相平分 垂直 且相等的四边形是正方形性质定理：1、四条边都相等2、四个角都相等且都等于90度3、对角线平分 垂直 且相等4、对角戏平分对角为45度5、是轴对称图形6、是中心对称图形7、面积S=边长的平方=21（两条对角线的乘积） 常见题型：证某四边形是正方形 证线段相等 证角相等 证垂直关系 求面积等等五、梯形定义：一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形面积S=21（上底+下底）×高 常见辅助线作法：1、作高构造直角三角形2、平移一腰作平行四边形3、平移对角线作平行四边形4、延长两腰作三角形等六、等腰梯形定义：两腰相等的梯形是等腰梯形判定条件：1 、两腰相等的梯形是等腰梯形 2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3、对角线相等的梯形是等腰梯形。

教学过程：一、引入新课本章的内容已经全部学完，这节课我们来进行复习回顾．二、回顾与思考分小组讨论1．说说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．2．“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角相等”的证明过程有什么联系？矩形、菱形、正方形都是平行四边形．但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而已是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形．它们的包含关系如图：在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：归纳、类比、转化等．1.性质结构；2.判定结构“矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．”回答下列问题：①将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中．如下图．②要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是_________；③如下图，某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面1a2，对此结论，你认为是否正确，若正确，给予证明，若不正确，举一个反积是2例说明．三、课堂练习1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形．四、课时小结本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法在几何证明中的应用．五、课后作业（一）课本P92复习题A组，1～9．（二）复习总结《证明》（一）、（二）、（三）的知识内容，并梳理知识体系．（三）完成一份小结，用白己的语言梳理本章的内容．第三章《证明三》随堂测试班级 姓名 学号1、 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接E 、F 、G 、H 。

第三章 证明（三）一、选择题1．如图3-99所示，在 ABCD 中，AD ＝5，AB =3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长分别为 ( )A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和42．如图3-100所示，在平面直角坐标系中， 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是 ( )A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)3．如图3-101所示，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF ，GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有 ( )A.3对 B ．4对 C.5对 D ．6对4．如图3-102所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，F ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ．小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN =EF ，你认为 ( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 各边的中点，下列条件能使四边形''''D C B A 是正方形的条件是 ( )A ．四边形ABCD 中，AC ＝BDB ．四边形ABCD 中，AC ⊥BDC ．四边形ABCD 对角线交于点O ，且OA ＝OB ＝OC ＝ODD ．四边形ABCD 中，AC ＝BD 且AC ⊥BD6．下列命题中不成立的是A ．矩形的对角线相等B ．三边对应相等的两个三角形全等C ．等腰梯形的对角线相等D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．7．如图3-103所示，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使AE ＝AB ，过E 作EF ⊥AC 交BC 于点F ，则下列关系中，成立的是 ( )A ．BF ＝ECB ．BF ＞ECC ．BF ＜ECD ．BF ＝FC8．如图3-104所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，AC，BD相交于O点，且∠B O C＝60°，顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的周长是( ) A．24 B．20 C．16 D．129．如图3-105所示，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC等于( )A．35°B．45°C．50°D．55°10．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14 CM，则这个梯形的上、下底长分别为( )A．4cm，10 cm B．8 cm，20 cmC．2 cm，5 cm D．14 cm，28 cm二、填空题11．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是．(填上一个正确的结论即可)12．如图3-106所示，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P 为对角线AC上一动点，连接PB，PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．(结果不取近似值)13．如图3-107所示，BD是ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是．14．如图3-108所示，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于15．如图3-109所示，正方形ABCD中，AB＝l，P是对角线AC上一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形周长的和是．16．如图3-110所示，已知任意直线l把ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，则直线l所在位置需满足的条件是．(只需填上一个你认为合适的条件)17．在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，如图3－111所示，已知CD＝8cm，BE＝5 cm，则AD＝cm．18．如图3-112所示的是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为mm．三、解答题19．如图3-113所示，AB=CD，AD＝BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．(1)根据以上条件，你能得出哪些等式?至少写出可得到的等式中的任意三个(不同于DE＝BF)；(2)证明你写出的关于线段相等的一个结论．20．如图3-114所示，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证OE＝OF．21．如图3-115所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AC，AB的中点，点F 在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A．求证四边形DECF是平行四边形．22．如图3-116所示，已知E为平行四边形ABCD中DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接O F，求证AB＝2OF．23．如图3-117所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且∠DAF＝∠BCE．(1)求证△DAF≌△BCE(2)若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度数．24．如图3-118所示，将正方形沿图中虚线(其中x＜y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)．(1)画出拼成的矩形的简图；(2)求xy的值．25．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD．(1)如图3-119(1)所示，E，F分别在AD，CD上，DE＝CF，AF与BE交于点P，当∠DCB=60°时，通过测量并猜想BE与AF满足的数量关系是，∠BPF的度数为．(2)当图3-119(1)中的∠DCB＝n°(0＜n＜90)时，猜想BE与AF满足的数量关系是，∠BPF的度数为．(3)如图3-119(2)所示，当E，F分别在AD，DC的延长线上，DE＝CF，BE与AF交于点P，当∠DCB＝60°时，猜想(1)中的结论能否成立，并证明你的猜想．参考答案1．B 2．C3．C4．C 5．D6．D7．A8．C9．D10．B11．对角线相等且互相垂直(答案不唯一)12．(22)13．BE＝DF(答案不唯一)14．30°15．416．直线l 过AC 与BD 的交点(或经过AD 和BC 的中点或经过A ，C 两点等)17．10 18．15019．提示：(1)AE ＝CF ，AF ＝CE ，∠ADE =∠CBF 等． (2)如AE ＝CF ．证明如下： ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF ．又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°，∴△ADE ≌△CBF ，∴AE =CF ．20．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，即∠A O B ＝∠B O C ＝90°，BO ＝OC.又∵∠O CF ＝∠O BE ，∴△O CF ≌△O BE ，∴O E ＝O F ．21．证明：∵D ，E 分别是AC ，AB 的中点，∴DE ∥BC ．∵∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠A ＝∠ECA ．∵∠CDF ＝∠A ，∴∠CDF ＝∠ECA ，∴DF ∥CE ，∴四边形DECF 是平行四边形． 22．证明：连接BE ，如图3-121所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，A O ＝O C ．∵CE ＝CD ，∴AB CE ，∴四边形ABEC 为平行四边形， ∴BF ＝FC ，O F ＝12AB ，即AB ＝2O F ． 23．(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠EBC ＝∠ADF ，BC ＝AD ．又 ∠BCE ＝∠DAF ，所以△BCE ≌△DAF ． (2)解：因为AN ∥BC ，所以∠ANB ＝∠NBC ．因为BN 平分∠ABC ， ∠ABC =60°，所以∠NBC ＝∠ABN ＝30°．又由(1)得∠DAF ＝ ∠ECB ＝20°，所以∠AMN ＝180°－30°－20°＝130°．24．解：(1)如图3-122所示． (2)由拼图前后的面积相等得y ＝(x ＋y)2．因为y ≠0，整理得2()10x x y y +-=，解得x y ＝5-1510,22x y ⎛⎫--=< ⎪ ⎪⎝⎭舍去． 25．解：(1)BE ＝AF 120° (2)BE ＝AF 180°－n °(3)成立．证明过程如下：因为梯形ABCD 中，AD ＝CD ，DE ＝CF ，所以AE ＝DF ．又因为AB ＝CD ，∠BAE =∠ADF ，所以△BAE ≌△ADF ，所以BE ＝AF ，∠ABE =∠DAF ．因为∠BPF ＝∠ABE ＋∠BAP ， ∠BAE =∠DAF ＋∠BAP ，所以∠BPF =∠BAE ．因为AD ∥BC ，所以∠BAE ＋∠ABC ＝ 180°．又因为∠DCB ＝60°，所以∠BPF ＝∠BAE ＝120°．。

第三章证明（三）3.1平行四边形（一）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的过程．过程与方法目标：能适用综合法征明平行四边形的性质定理，及其他相关结论．情感态度与价值观目标：体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握平行四边形的性质定理．2．难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的教学思想。

3．关键：充分应用合情推理与演绎推理获得结论．教学过程：问题：1．平行四边形有哪些性质？2．平行四边形有哪些判别条件？3．如何运用公理和已有的定理证明它们？讲解证明过程注意：1．利用三角形全等证明．2．利用定理“平行四边形对边相等”。

相关认知：1．平行四边形是一类特殊的四边形，即两组对边分别平行的四边形，平行四边形是中心对称图形。

它的对角线的交点为对称中心．2．平行四边形的主要性质有：时边相等、对角线等，对边平行，对角线互相平分。

3．平行四边形是一种特殊的四边形，它的一些性质是进行有关证明或计算的基础．如，应用边的性质，可以求解边长、周长、对角线长，以及平行等问题；应用角的性质，可求解角的问题，应用对角线的性质，可证明两个三角形全等，再通过三角形全等研究角或线段之间的关系。

4．由平行四边形的性质可以得出一些角与线段的相等关系，特别地说，可知：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等．随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：引导学生探索证明的不同思路和方法、并进行适当的比较和讨论，以开阔学生的视野，培养学生的思维能力。

作业：课本习题3．11、23.1平行四边形（二）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．过程与方法目标：能够用综合法证明平行四边形的判定定理．情感态度与价值观目标：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握证明平行四边形的方法。

2．难点；运用综合法证明问题的思路。