线性系统观测器(哈工大)
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自动控制理论_哈尔滨工业大学_6 第6章线性系统的校正_(6.3.1) 6.3串联超前校正
= 1− sin m 1+ sin m
求出α。
然后在未校正系统的L0(ω) 特性上查出其值等于-101g(1/α)所对应 的频率，这就是校正后系统新的剪切频率ωc′且
ωm =ωc′
4.确定校正网络的传递函数
根据求得的φm和α值 T = 1
得到T。
m
Ts +1
Gc (s) = Ts +1
40dB
[-20]
问题：相角裕度小，剪切频率小。
20dB -0dB -20dB -40dB
φ(ω)
0°
校正后系统要求： c = 4.4rad / s 45
[-40]
1 T
ω
ωm= ωc′=4.4
10 lg1/ = 6dB
L0 (c ) = −6dB
1 1T
10
100
= 0.25
一部分减小（不大于超前校正网络引入的正相角）； 4. 高频增益提高，降低系统对高频噪声的抑制能力。
γ1=-34.3°
γ1=-36.9°
超前校正使剪切频率提高，同时固有特性的相角减小，校正引入的 正相角不足以弥补相角减小量，使校正的相角裕度降低。
本节小结
1. 超前校正的原理和步骤； 2. 超前校正对系统性能产生的作用。
Go (s)
=
10 s(s +1)
首先进行稳态分析
给定系统是Ⅰ型系统，单位斜坡输入下的稳态误差为
ess
=
1 kv
=
1 K
0.1
K≥10可以满足稳态误差要求。
L(ω)/dB
Go (s)
=
10 s(s +1)
未校正系统：
40 lg c 1
auv控制系统中非线性观测器设计方法分析
Secondly, a nonlinear observer called nonlinear extended state observer (NESO) is introduced in details which does not depend on the standard model of controlled object. Based on the AUV horizontal model, we study the NESO design in speed and heading control. NESO can realize the observation for position, velocity and total interference of the controlled object. Therefore, it can improve the robustness of controlled system on the interference of environment through disturbance compensation. The simulation experiment validates the availability of the design of NESO for AUV constant speed and heading control system.
Thirdly, a nonlinear observer called nonlinear luenberger state observer (NLSO) is introduced which depends on the standard model of controlled object. We have also briefly analyzed its stability. NLSO can reconstruct the states with effective position information so as to estimate the external environment effecting on the system. What’s more, it can also reduce the high measurement noise introduced by the measurement elements. The function of
Thirdly, a nonlinear observer called nonlinear luenberger state observer (NLSO) is introduced which depends on the standard model of controlled object. We have also briefly analyzed its stability. NLSO can reconstruct the states with effective position information so as to estimate the external environment effecting on the system. What’s more, it can also reduce the high measurement noise introduced by the measurement elements. The function of
哈工大自控实验
自动控制理论实验报告院系：电气工程及自动化学院班级：________________________姓名：________________________学号：________________________实验名称：基干MATLAB/Simulink的控制系统分析同组人：______________________实验时间：2015年11月11日哈尔滨工业大学实验五线性系统的时域分析一、实验目的1、学会使用MATLAB^制控制系统的单位阶跃响应曲线；2、研究二阶控制系统中、对系统阶跃响应的影响3、掌握系统动态性能指标的获得方法及参数对系统动态性能的影响。
二、实验设备Pc 机一台，MATLAB^ 件。
三、实验内容1、已知二阶单位反馈闭环传递函数系统：求：（1）当及时系统单位阶跃响应的曲线。
① 时系统单位阶跃响应的曲线。
Time (sec on ds)■ I— l「I1.4 1.2 1ionseSystem: sysPeak amplitude: 1.31Overshoot (%): 3O.StepRespAt time (seco nds): 8.24i: sysime (sec on ds):3.48System: sysSettli ng Time (sec on ds):27.510 15 20 25 30 35 40 RiseSystem:^ Response Peak amplitude: 2.62 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 9.111.50.525 30Time (sec)System: sysSettli ng Time (sec): 20.2•—iSystem: s Rise Time ys(sec): 4.1t②时系统单位阶跃响应的曲线System: sys Peak amplitude: 1.31 Overshoot (%): 30.9At time (sec ］：25.69 1.2 System: sysPeak amplitude: 1.31Overshoot (%): 3(St ?p Response At time (sec): 16.6System: sysSystem: sysSettling Time (sec): 18.3 Settling Time (sec): 54.9System: sys Rise Time (sec): 2.33 System: sysRise Time (sec): 6.9510 20 30 40 50 Time (sec)60 70 80（2） 从图中求出系统的动态指标 ：超调量M 、上升时间t p 及过渡过程调节时间t s 。
哈尔滨工程大学答案自动控制原理A卷试题答案及平分标准-07A
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（2007~2008学年第一学期）课程编号：0400003 （1）课程名称：自动控制理论（一）二、线性系统的时域分析（共25分）1、设系统的特征方程为：s4+ 4s3+ 13s2+ 36s+k = 0试应用劳斯稳定判据确定欲使系统稳定的k的取值范围。
（5分）2、已知控制系统的结构图如下图所示，单位阶跃响应的超调量 a =9.5%,峰p值时间tp = 1s,试求：p（1）根据已知性能确定参数k和丁；（5分）2、已知控制系统结构图如下图所示。
绘制该系统的信号流图，并用梅森增益公式求系统的传递函数C（s）/R（s）。
（8分）1c ......................................当车刖入r（t）为单位加速度信亏时（即r（t） =；t ）,为使系统的稳态误差为0,试确定前馈环节的参数a和b。
（10分）三、线性系统的根轨迹（共15分）某系统的结构图如下图所示。
要求：1、绘制系统的根轨迹草图（10分）。
2、确定使系统稳定的kg值范围（2分）。
g3、确定使系统的阶跃响应不出现超调的最大k g值（3分）一、控制系统的数学模型（共20分）1、已知控制系统结构图如下图所示。
试通过结构图等效变换求系统的传递函数C（s）/R（s）。
（7分）（要求：有化简过程）。
R(s)（2）计算输入信号为r（t） = 1.5t时的稳态误差。
（5分）R(s)3、复合控制系统的结构图如下图所示，前馈环节的传递函数as2 bsG r(s)=『r ‘Rs^wj 一s2*5 _^suY (s+2)(s—0.5)3、求下图有源网络的传递函数U0（s）/U i（s）,并指出该网络届丁哪类典型环节?（5 分）。
第1页共2页第2页共2页第3页共4页 第4页 共4页四、线性系统的频域分析（共10分）1、已知最小相位系统的 Bode 图如下图所示。
求该系统的传递函数 G （s ）。
（5分）L()A 10 一 0__ 1六、非线性控制系统分析（共15分）非线性控制系统如下图所示。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
线性系统理论论文 ——永磁同步电机的全维状态观测器设计
永磁同步电机的全维状态观测器设计在环境污染和能源危机日益严重的今天，节能减排是大势所趋，而永磁同步电机高启动转矩、高效率、高功率因数和低惯性的优点正好可以满足节能减排的需求，因而有关永磁同步电机的研究越来越多，同时稀土永磁材料和微电子技术的快速发展，也使得永磁同步电机的飞速发展成为现实，它的使用范围也逐渐扩展至交通运输，航空，军事和民用等重要领域。
不同的电机控制策略对应着不同的控制效果，所以采用何种控制策略来使永磁同步电机具有高效、高节能、高稳定性的性能就成为了学者们的研究热点。
目前常见的电机控制方式为矢量控制(FOC)和直接转矩控制(DTC)。
对于永磁同步电机 DTC 来说，理想状况下转矩在全速范围内应该是稳定不变的。
然而受时滞现象和不同速度区域内工作状态的影响，实际中电机转矩并不是稳定的。
因此如何减小转矩脉动、提高全速范围内转矩的稳定性能是永磁电机DTC 研究的重点。
本文拟用降维状态观测器构建基于状态观测器的永磁同步电机直接转矩控制系统，并验证其准确性。
1. 永磁同步电机的分类和结构特点永磁同步电机与其他电机一样都是由定子和转子组成，其中定子是三相对称的绕组并且通常接成 Y 型，转子为永磁体结构。
当定子绕组中通以三相正弦交流电时会产生均匀旋转的磁场，这个磁场和转子永磁体磁场相互作用就会产生一个转矩来推动转子不断地旋转。
目前转子上的永磁体有三种安放方式,每一种安放方式都对应各自的电机制造工艺、适用场所、运行性能、控制方法，因此根据永磁体的安放方式可将电机分为以下三类：图 1 三种电机的内部结构其中a为插入式，b为表面式，c为内置式图1(a)描述的是插入式永磁同步电机。
插入式永磁同步电机，即永磁体插入或部分插入转子中，故而它的结构要比表面式永磁电机稳定。
从电磁性能上来说，其属于凸极式永磁电机，转子磁路不对称，有磁阻转矩且其交、直轴电感不同。
由于其磁通密度大，所产生的转矩也较大，比较适合有高转速需求的场合。
哈尔滨工程大学 随机信号分析04-01
R X (t1 , t2 )
h(t1 )
RYX (t1 , t2 )
h(t2 )
RY (t1 , t2 )
RYX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) ∗ h(t1 ) RY (t1, t2 ) = h(t2 ) ∗ RYX (t1, t2 )
RY (t1 , t2 ) = h(t1 ) ∗ h(t2 ) ∗ RX (t1 , t2 )
∫ X (ω ) = ∞ x ( t )e − jω t d t −∞
∫ H (ω Biblioteka = ∞ h(t )e − jω tdt −∞
s = σ + jω
Y (ω ) = H (ω ) ⋅ X (ω ) Y (s) = H (s)⋅ X (s)
3. 因果稳定系统
x(t)
y(t )
L [•]
物理可实现 因 果
证： RY (t1 , t2 ) = E ⎡⎣Y (t1 )Y (t2 )⎤⎦
∫ ∫ =
E
⎡ ⎢⎣
∞
0 h(u)X (t1 − u)du ⋅
∞ 0
h(v ) X
(t2
−
v)dv
⎤ ⎥⎦
∞∞
∫ ∫ = 0
0 h(u)h(v)E ⎡⎣X (t1 − u)X (t2 − v)⎤⎦dudv
∞∞
∫ ∫ = 0 0 h(u)h(v )RX (t1 − u, t2 − v )dudv
五、系统输出的高阶矩 系统输出随机过程的n阶矩
E⎡⎣Y(t1)Y(t2 )⋅⋅⋅Y(tn )⎤⎦
= E⎡⎣X(t1)X(t2)⋅⋅⋅ X(tn)⎤⎦∗ h( t1 ) ∗ h( t2 ) ∗⋅⋅⋅∗ h(tn )
哈尔滨工程大学 自动控制原理 第3章 线性系统的可控性与可观测性
A 4 A A 3 3 A 2 2 A 3 ( 2 A I ) 2 A 4 A 3 I
根据数学归纳法有
Ak kA (k1)I
所以：
A 100100A 99I 10 0 01 2 0 0 0 0 9 0 99 0 9
1 200
0
1
18
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：
W0,t1
t1eAtBBTeATtdt
则矩阵A满足其特征方程，即
( A ) A n n 1 A n 1 1 A 0 I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多
项式
n1
Ak rmAm，kn m0
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
16
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
4）秩判据（※）
线性定常系统
x ( t ) A x ( t ) B u ( t ) x ( 0 ) x 0t 0
完全可控的充分必要条件是
ra n k BA B A n 1B n
其中: n为矩阵A的维数，SBAB An1B称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
19
第3章 线性系统的可控性和可观测性
9
第3章 线性系统的可控性和可观测性
哈尔滨工程大学 自动控制原理 第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
In 0 [(s I − A) B ] = [(s I − A+ BK ) B ] ； −K I p
显然对于任意的K阵以及所有的 ， 显然对于任意的 阵以及所有的s，有 阵以及所有的
rank [(s I − A+ BK ) B ] = rank[(s I − A) B ] 根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在状 秩判据可知， 根据系统可控性的 秩判据可知 态反馈前后保持不变。 态反馈前后保持不变。
2) 将输出量反馈至状态微分 将输出量反馈至状态微分的系统结构图： 将输出量反馈至状态微分的系统结构图： u B + +
ɺ x
+
∫ A H
x
C
y
输出反馈(少见 系统的状态空间描述为 输出反馈 少见)系统的状态空间描述为： 少见 系统的状态空间描述为：
ɺ x = Ax + Bu − Hy = (A− HC ) x + Bu , y = Cx
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
第六章 线性定常系统的反馈结构 及状态观测器 6.1 线性定常系统常用的反馈结构 及其对系统特性的影响 6.2 系统的极点配置 6.3 全维状态观测器及其设计 6.4 分离特性
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
显然对于任意的K阵以及所有的 ， 显然对于任意的 阵以及所有的s，有 阵以及所有的
rank [(s I − A+ BK ) B ] = rank[(s I − A) B ] 根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在状 秩判据可知， 根据系统可控性的 秩判据可知 态反馈前后保持不变。 态反馈前后保持不变。
2) 将输出量反馈至状态微分 将输出量反馈至状态微分的系统结构图： 将输出量反馈至状态微分的系统结构图： u B + +
ɺ x
+
∫ A H
x
C
y
输出反馈(少见 系统的状态空间描述为 输出反馈 少见)系统的状态空间描述为： 少见 系统的状态空间描述为：
ɺ x = Ax + Bu − Hy = (A− HC ) x + Bu , y = Cx
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
第六章 线性定常系统的反馈结构 及状态观测器 6.1 线性定常系统常用的反馈结构 及其对系统特性的影响 6.2 系统的极点配置 6.3 全维状态观测器及其设计 6.4 分离特性
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
A:对 B:错答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
A:对 B:错答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
A:对 B:错答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
A:对 B:错答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
A:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法 B:随机系统理论中的Kalman滤波技术 C:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划 D:最优控制理论的产生答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术;最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
A:对 B:错答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
A:对 B:错答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
A:对 B:错答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
A:错 B:对答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
A:错 B:对答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
A:错 B:对答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
A:对 B:错答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
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（3）最后我们来求系统对下列初始条件的响应：
⎡1 ⎤ ⎡0.5⎤ x(0) = ⎢ ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦
系统对初始条件的响应可有下式确定：
⎡ x ⎤ ⎡ A + BK ⎢e⎥ = ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ − BK ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x(0) ⎤ ⎢ 0 ⎥ ，⎢ ⎥ = A + LC ⎥ ⎢ e ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ e(0) ⎦ ⎢0.5⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
sI − A − BK ⋅ sI − A − LC = ( s 2 + 3.6 s + 9)( s 2 + 16 s + 64) = s 4 + 19.6 s 3 + 130.6s 2 + 374.4 s + 576 = 0
由于闭环传递函数为：
Y ( s) 778.16 s + 3690.72 = 2 R ( s ) ( s + 19.6 s + 151.2)( s 2 − 20.6) + s 2 + 19.6 s + 151.2 778.16 s + 3690.72 = 4 s + 19.6 s 3 + 130.6 s 2 + 374.4 s + 576
K = [ −29.6 −3.6]
采用该状态反馈增益矩阵 K，可得控制信号 u 为
⎡x ⎤ u = Kx = [ −29.6 −3.6] ⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
假设采用观测器-状态反馈控制替代真实状态反馈控制，即
ˆ ⎡x ⎤ ˆ u = Kx = [ −29.6 −3.6] ⎢ 1 ⎥ ˆ ⎣ x2 ⎦
⎡1 ⎤ ⎡ 0.5⎤ ˆ x(0) = ⎢ ⎥ , e(0) = x(0) − x(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0 ⎦
（1） 观测器增益矩阵 L：
⎡ −16 ⎤ L=⎢ ⎥ ⎣ −84.6 ⎦
观测器方程为：
ˆ ˆ x = ( A + LC ) x + Bu − Ly ˆ u = Kx
ˆ ˆ x = ( A + LC + BK ) x − Ly
观测器控制器
• • • •
1控制器-观测器的传递函数 2控制器-降维观测器的传递函数 3带观测器的调节器系统设计 4带观测器的控制系统设计
考虑由
x = Ax + Bu y = Cx
1控制器-观测器的传递函数
定义的系统。
ˆ 假设该系统状态完全可观测，但 x 不能直接测量。又设采用观测器-状态反馈控制 u = Kx 于是观测器方程为：
1.5 1 x1 0.5 0 -0.5 x2 0 1 2 t(sec) 3 4
1 0 -1 -2 -3
0
1
2 t(sec)
3
4
0.6 0.4 e1 0.2 0 -0.2 e2
0
-0.5
-1
0
1
2 t(sec)
3
4
-1.5
0
1
2 t(sec)
3
4
2控制器-降维观测器的传递函数
降维观测器方程： = ( A22 + LA12 ) z + [−( A22 + LA12 ) L + A21 + LA11 ] y + ( B2 + LB1 )u z 定义：
z = Az + By u = Cz + Dy
U ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]Y ( s ) = −[C ( sI − A) −1 B + D][−Y ( s )]
控制器-降维观测器的传递函数为
U ( s) = −[C ( sI − A) −1 B + D] −Y ( s )
K ( sI − A − LC − BK ) −1 L
控制器-观测器的传递函数：
U (s) = K ( sI − A − LC − BK ) −1 L −Y ( s )
注意到控制器-观测器矩阵 A + LC + BK 可能稳定也可能不稳定，虽然 A + BK 和 A + LC 被选定为稳定矩阵。事 实上，在某些情况下，矩阵 A + LC + BK 可能是稳定性很差的甚至是不稳定的。
⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢0 ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
y(t)的最大超调量为 25%~35%， 调节时间约为 4 秒。 上式中的 x 为控制对象的状态向量，e 为观测器误差向量。 （假设我们采用的是 降维观测器，并设只有输出量 y 是可以测量的。 ）
带观测器的调节器系统的设计步骤如下： 1．推导系统的状态空间模型。 2．选择希望的闭环极点进行极点配置，同时选择希望的观测器 极点。 3．确定状态反馈增益矩阵 K 和观测器增益矩阵 L。 4．利用第 3 步中求出的增益矩阵 K 和 L，推导观测器控制器的 传递函数。如果控制器是稳定的，检验其对给定初始条件的响应。如 果响应不能令人满意，则应调整闭环极点的位置和（或）观测器极点 的位置，直到获得满意的响应为止。
其中我们选择观测器的极点为： s = −8, s = −8
（1）试求观测器增益矩阵 L，并画出观测器-状态反馈控制系统的方框图。 （2）然后求该控制器-观测器的传递函数
U (s) ，并且在前向通路中，以控制器-观测 −Y ( s )
器作为串联控制器，画出另一种方框图。 （3）最后求该系统对下列初始条件的响应：
ˆ A = A22 + LA12 ˆ ˆ B = − AL + A21 + LA11 ˆ F = B2 + LB1
于是下列三个方程定义了降维观测器：
ˆ ˆ ˆ z = Az + By + Fu ˆ x2 = z − Ly ˆ u = Kx
ˆ u = Kx = [ K1
⎡y⎤ ˆ K 2 ] ⎢ ⎥ =K1 y + K 2 x2 = K 2 z + ( K1 − K 2 L) y ˆ x2 ⎦ ⎣
设计步骤 1：导出系统的状态空间表达式。因为系统的传递 函数为：
Y ( s) 10( s + 2) = U ( s ) s ( s + 4)( s + 6)
所以相应的微分方程为：
y + 10 y + 24 y = 10u + 20u
定义状态变量如下：
x1 = y − β 0u x2 = x1 − β1u x3 = x2 − β 2u
ˆ ˆ x = ( A + LC ) x + Bu − Ly ˆ u = Kx
ˆ 取拉普拉斯变换，设初始观测状态为零，即 x (0) = 0 。可得
ˆ X ( s ) = −( sI − A − LC − BK ) −1 LY ( s ) U ( s ) = − K ( sI − A − LC − BK ) −1 LY ( s )
注意到这是一个稳定的控制器。 定义带这个观测器控制器的 系统为系统 2。求解系统 2 对下列给定初始条件的响应：
⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢0 ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
ˆ 将 u = Kx 代进系统的状态方程，得到
⎧ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎡x ⎤ ⎡ x ⎤ ˆ x = Ax + BKx = Ax + BK ⎢ 1 ⎥ = Ax + BK ⎢ 1 ⎥ = Ax + BK ⎨ x − ⎢ ⎥ ⎬ ˆ ⎣ x2 ⎦ ⎣ x2 − e ⎦ ⎩ ⎣e⎦ ⎭ ⎡0⎤ = Ax + BKx − B [ K1 K 2 ] ⎢ ⎥ =(A + BK ) x − BK 2 e ⎣e⎦
设计步骤 2：作为初次尝试，选择希望的闭环极点位于
s = −1 + j 2, s = −1 − j 2, s = −5
并且选择希望的观测器极点位于
s = −10, s = −10
设计步骤 3：
K = [ −1.25 −1.25 −0.19375] ⎡ −10 ⎤ L=⎢ ⎥ ⎣ 24 ⎦
设计步骤 4：确定观测器控制器的传递函数。观测器控制器 的传递函数为
9.1s 2 + 73.5s + 125 9.1( s + 5.6425)( s + 2.4344) Gc ( s ) = = s 2 + 17 s − 30 ( s + 18.6119)( s − 1.6119)
定义带这个观测器控制器的系统为系统 1。
9.1s 2 + 73.5s + 125 s 2 + 17 s − 30
3 带观测器的调节器系统设计
利用极点配置与观测器方法，讨论调节器系统的设计问题。 考虑图中表示的调节器系统（参考输入为零） 。控制对象的传递函数 为：
Y ( s) 10( s + 2) = U ( s ) s ( s + 4)( s + 6)
利用极点配置方法设计一个控制器，使得系统在下列初始条件下：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z = Az + By + Fu =Az + By + F [ K 2 z + ( K1 − K 2 L) y ] = ( A + FK 2 ) z + [ B + F ( K1 − K 2 L)] y
定义：
ˆ ˆ A = A + FK 2 ˆ ˆ B = B + F ( K1 − K 2 L) C = K2 D = K1 − K 2 L
10( s + 2) s ( s + 4)( s + 6)