新高考数学考点01 集合的概念与运算考点分类讲义练习题附解析3

第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N +Z Q R说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = ．（2）A A A = ，A A ∅= ，A B B A = ．（3）()U A C A =∅ ，()U A C A U = ，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆ ．（4）()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = ．第三部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个()【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个，故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合()【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合.故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.()【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个.故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M x x x =+=∣，则1M -∈.()【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣所以1M-∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3()【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥ .故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（）A ．{}1,2,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-，当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意；当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a \=，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R ð，()R A B ð.【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-ð或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥ð．故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（）A ．(UB ð⋂)A B ．(UA ð⋂)BC ．()U A B ⋂ðD ．(UðA B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ，故阴影部分为() U B A ⋂ð，故选：A.第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---，{}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈，则1x =或21x =，解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去），所以1x =-.故答案为：1-3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B因为x A ∈，y A Î，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．16B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =<故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-= ，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__.【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件．故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，则实数m 的值是________.【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题.4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆Ü的集合M 的个数为________；【答案】7满足{}{},,,a M a b c d ⊆Ü的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤.故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂ð：（2）若B C C = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣ð；（2）52m ≤.（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B x x x ⋂=≤≥或∣ð（2）因为B C C = ，所以C B ⊆.当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤；当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若 4a =，求A B ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤ ；（2）{|2a a ≤或}4a >.（1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤ 或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤ .（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆，若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题.重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆ ．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B = （）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<，故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A ．{|11}x x -<<B ．{|11}x x -<≤C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()A B =R ð（）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞解：由()214x -≥，即()()310x x -+³，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-ð，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=ð；故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（）A ．(]0,2B ．()2,eC ．()0,2D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B = ，故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A = ，则实数n 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ；当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，，满足A B A = .选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，，{}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=.故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A =ð__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z {}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴=故{1,6,7,8,9}U A =-ð故答案为：{1,6,7,8,9}-集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U B A ðC ．()U A B I ðD ．()U A BI ð【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂ð.故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,201x A x y B xx x x ⎧===--<⎨-⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx <<∣【答案】C 解：由题意得：{10}{1}1x A x y x x x x x ⎧==->=<⎨-⎩∣∣∣{}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是()U M P S ⋂⋂ð.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B 表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn 图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C把学生50人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ，选择化学科的人数组成集合B ，选择生物颗的人数组成集合C ，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()U A B -ð中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=，又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U 1,0,1,3A B -=-ð.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I ．已知{|A x y ==，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（）A ．[0,1](2,)+∞UB ．[0,1)(2,)⋃+∞C ．[0,1]D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤，解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，，又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=，则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞.故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（）A ．2B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =U ，A B =∅ ；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5；若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5；若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5.综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈，则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈；反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”.故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确.故选：ABD .第五部分：高考真题感悟1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（）A ．{}1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A = ，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B .故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =所以{}1,3A B = ，故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N = ，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B因为{}1,2,3M N = ，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（）A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.第六部分：第01讲集合（精练）一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B中元素的个数为3.故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（）A ．1-B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立，∴1m =-.故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．MB ．NC ．∅D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n +表示奇数，故M N N = ，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m的取值范围是（）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =-A B A ⋃=，则有：B A⊆当0m =时，B =∅，满足题意；当0m ≠时，则有：1x m=-则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x ==，则A B = （）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞- C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃，故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（）A ．{-2，-1，0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤，所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--，所以A B = {}1,0,1-.故选：B二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________.【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a Ü{},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a Ü{},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：{}a Ü{},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围是___________.【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ()R A B A =⋂ ð，R A B∴⊆ð{}2280B x x x =--≤ ，{2R B xx ∴=<-∣ð或4}x >当A =∅时，123,4a a a -+- ，满足R A B⊆ð当A ≠∅时，要使得R A B ⊆ð，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅ð，则a 的取值范围是___________.【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >，因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+ð，若()R A B ⋂=∅ð，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-.所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M ÜN ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=- M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞(1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=- M N ，(,3)(5,)=-∞-+∞ R M ð，(,1)(1,)=-∞-+∞ R N ð，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞ R R M N .(2)由题可知M N Ü，所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ，解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<.(1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈ ，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A = ；②()R A B ⋂=∅ð；③()R B A R ⋃=ð.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈ ，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭.集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+.若选择①A B A = ，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩ð，若选择③()R B A R ⋃=ð，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=.(1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-.因为{}{}24303,1A x x x =++==--，所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意；当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-.综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< ，∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<- ，∴T k ≥，∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈，1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A = 时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++ ，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++ ，{}0,1,2,,2020T m =- ，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2020A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。

重要知识点（一）集合含义问题1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。

4.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

5.元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．6.集合的表示常见的方法有列举法与描述法：注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。

如：英才中学的所有团员组成一个集合。

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

如：常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N或(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)（4）有理数集(5)实数集R7.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（二）集合的基本关系1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3.某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。

专题01集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在详细情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能运用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础学问融会贯穿1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋) Z Q R2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【学问拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.重点难点突破【题型一】集合的含义【典型例题】下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满意集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．【再练一题】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．【解答】解：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清晰集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性经常简洁忽视，求解问题时要特殊留意．分类探讨的思想方法常用于解决集合问题．【题型二】集合的基本关系【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：A＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2，3}；又A⊆B；∴m＝3．故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|3x﹣a≥0}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，12）D．（12，+∞）【解答】解：∵3x﹣a≥0，∴x，∴A＝[，+∞），∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【题型三】集合的基本运算命题点1 集合的运算【典型例题】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{6，9} B．{6，7，9} C．{7，9} D．{7，9，10}【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A＝{4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B＝{7，9}，故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，故选：B．命题点2 利用集合的运算求参数【典型例题】已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B＝∅，故A∩B≠∅，则实数a的取值范围a＜3，故选：C．【再练一题】已知集合M＝{x|3x2﹣5x﹣2≤0}，N＝[m，m+1]，若M∪N＝M，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：M＝{x|x≤2}，由M∪N＝M可得N⊆M，则，解得m≤1，故选：B．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．(2)运算过程中要留意集合间的特殊关系的运用，敏捷运用这些关系，会使运算简化．【题型四】集合的新定义问题【典型例题】设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对随意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a的时候，不存在满意得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对随意的a，都存在x（事实上随意比a小得数都可以），使得0＜|x|a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于随意的a＞0，存在n，使0＜|x|a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对随意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不行能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．【再练一题】已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2＝0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必需在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即解除A，B，C．故选：D．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素．基础学问训练1．已知集合，则以下正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得．所以．故选B．2．已知集合A． B．(－1，2) C． D．【答案】C【解析】集合解不等式得集合,，所以即所以选C3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C4．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选：B．5．已知全集，则A． B．C． D．【答案】C【解析】解：全集，则故选：C．6．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得到，由，则，故选B．7．已知集合，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,,,故选D.8．集合，则的元素个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】为小于的整数，所以.故选B.9．已知全集，集合1，2，3，4，5，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【答案】C【解析】集合1，2，3，4，5，图中阴影部分表示的集合为2，．故选C．10．若集合A＝{x|x2＜2，B＝{x|}，则A∩B＝( )A．（0，2） B．（，0） C．（0，） D．（－2，0）【答案】B【解析】集合A＝{x|x2＜2, B＝{x|A∩B＝（，0）。

第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

专题01：集合精讲温故知新一、集合的含义与表示 1.集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2.常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.3.集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4.集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5.集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). 例1：1．（2022·全国·高考真题（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A 【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可 【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误 故选:A2．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,yC z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题意写出集合C 的元素，可得答案.【详解】由题意，当1x =时，1y z x == ，当2x =，2y =时， 4y z x == ， 当2x =，4y =时， 16y z x == ， 即C 中有三个元素， 故选：C3．已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（4）【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断． 【详解】集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B 举一反三：1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.5．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2 D ．[]1,2【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系求解. 【详解】 因为2A ∉，所以()()2220a a --≥， 解得12a ≤≤． 故选：D ．例2：1．已知集合{1,0}M =，则与集合M 相等的集合为（ ） A ．1(,)1x y x y x y ⎧-=-⎧⎫⎪⎨⎨⎬+=⎩⎭⎪⎩B ．{(,)x y y =∣C ．(1)1,2n x x n N ⎧⎫--⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．sin ,2n y y n N π*⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出. 【详解】对A ，(){}1(,)0,11x y x y M x y ⎧-=-⎧⎫⎪=≠⎨⎨⎬+=⎩⎭⎪⎩，故A 错误；对B ，(){}{(,)1,0x y y M ==≠∣，故B 错误； 对C ，{}(1)1,1,02n x x n N M ⎧⎫--⎪⎪=∈=-≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭，故C 错误；对D ，{}sin ,1,02n y y n N M π*⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭，故D 正确. 故选：D.2．设集合{}13A x x =-≤≤，集合{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．3a ≥ B ．13a -≤≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-【答案】D 【分析】直接由A B ⊆求解即可. 【详解】由A B ⊆可得1a ≤-.故选：D. 举一反三：1．已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B 【分析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解. 【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>， 所以N 中有两个元素，且乘积为-2， 又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-， 所以211a -=-+=-．即a ＝1． 故选：B.2．已知集合{}1,4,M x x =，{}21,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（ ）A ．{}0B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．2,0,1,2【答案】C 【分析】若N M ⊆，所以2x x =或24x =，解出x 的值，将x 的值代入集合，检验集合的元素满足互异性. 【详解】因为N M ⊆，所以2x x =，解得0x =，1x =或24x =，解得2x =±， 当0x =时，{}1,4,0M =，{}1,0N =，N M ⊆，满足题意. 当1x =时，{}1,4,1M =，不满足集合的互异性. 当2x =时，{}1,4,2M =，1,4N，若N M ⊆，满足题意.当2x =-时，{}1,4,2M =-，1,4N ，若N M ⊆，满足题意.故选：C.3．已知集合ππ,42k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，ππ,24k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M ND ．M N ⋂=∅【答案】A 【分析】利用集合的基本关系求解 【详解】解：因为()2πππ,,424k k M x x k x x k ⎧⎫+⎧⎫⎪⎪==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ，()21π,4k N x x k ⎧⎫+⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z ， 当k ∈Z 时，21k +是奇数，2k +是整数，所以N M ⊆． 故选：A ．三、子集与元素之间的关系已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.例1：1．若集合{|ln(2)1}A x Z x =∈-≤，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，求得集合{3,4}A =，进而求得集合A 的子集个数，得到答案. 【详解】由ln(2)1x -≤，可得202x x e ->⎧⎨-≤⎩，解得22x e <≤+，所以集合{|22}{3,4}A x Z x e =∈<≤+=，所以集合A 的子集个数为224=. 故选：B.2．设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．8D ．7【答案】D【分析】求出集合M 中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=，因此其真子集个数为3217-=． 故选：D ． 举一反三：1．已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（ ） A ．16 B ．7 C ．4 D ．3【答案】A 【分析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解. 【详解】因为{}{}{}293310123B x|x x|x ,A ,,,,,=<=-<<=- 所以{}1012M A B ,,,,==-所以M 的子集共有42=16（个）. 故选：A2．已知集合{}23,A x x x =<∈N ，则A 的真子集共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．7个【答案】C 【分析】求出集合{}01A ,=可得集合A 的真子集. 【详解】集合{}{}23,0,1=<∈=A x x x N ，所以集合A 的真子集有{}{}0,1,∅. 故选：C.四、集合的基本运算；；2.集合的包含关系:；；3.识记重要结论： AB A =⇔A B ⊆; A B A A B =⇔⊇;()U U U A B C C A C B =; ()U U U A B C C A C B =例1：1．（2022·浙江·高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】{}1,2,4,6A B =，故选：D.2．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--【答案】D 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】 由补集定义可知：{|32UA x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．3．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B 【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =， 故选：B. 举一反三：1．设全集U =R ，集合{}{}21,11xA xB x x =≥=-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >-D ．{}0x x ≥【答案】C 【分析】求出集合A ，由图可知阴影部分表示的集合为A B ，根据并集的定义即可得解. 【详解】解：{}{}210xA x x x =≥=≥，{}11B x x =-<<，图中阴影部分表示的集合为A B ，且{}1A B x x ⋃=>-. 故选：C.2．(2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】 1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163MN x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D3．已知全集{}{}1,2,3,,2,3U A U B =⊆=，若A B ⋂≠∅，且A B ⊆/则集合A 有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据题意，列举出符合题意的集合. 【详解】因为全集{}{}1,2,3,,2,3U A U B =⊆=，若A B ⋂≠∅，且A B ⊆/， 所以{}1,2,3A =或{}1,2A =或{}1,3A =. 故选：C精练巩固提升一、单选题1．设集合{}25A x x =-<<，{}3,4,5,6B =，则A B =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4C ．{}3,4,5D ．{}3,4,5,6【答案】B 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】解：因为{}25A x x =-<<，{}3,4,5,6B =，所以{}3,4A B =. 故选：B.2．已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠-C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x xx x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭， 所以{}34A B x x ⋃=-<≤， 故选：D.3．设{}{}21230A x x B x x x =>=--<，，则=（ ）A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}31x x -<<D ．{}13x x <<【答案】B【分析】 根据一元二次不等式的解法，结合集合交集和补集的定义进行求解即可.【详解】因为{}1A x x =>，所以{}R 1A x x =≤，又因为{}2230B x x x =--<(1,3)=-， 所以()R A B ⋂={}11x x -<≤，故选：B4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）A ．70B ．75C ．80D ．85【答案】B【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多会有75325÷=人没有奖品，由此可求得答案.【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，故最多会有75325÷=人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．故选：B.5．已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【分析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】 因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B =，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C6．已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【分析】由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为{}0,1,2A =，a A b A ∈∈,，所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =， 故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=，即集合B 中含有4个元素；故选：C7．已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}4a a ≤B ．{}4a a ≥C ．{}4a a ≤-D ．{}4a a ≥-【答案】C【分析】 结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C8．已知集合{|04,}P x x x Z =<<∈，且M P ⊆，则M 可以是（ ）A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,2}D ．{3,4}【答案】A【分析】化简集合P ，根据集合的包含关系确定M .【详解】因为{|04,}={1,2,3}P x x x Z =<<∈，又M P ⊆，所以任取x M ∈，则{1,2,3}x ∈， 所以M 可能为{2,3}，A 对，又 0M ∉，4M ∉，∴ M 不可能为{2,4}，{0,2}，{3,4}，B ，C ，D 错，故选：A.二、多选题9．下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C QD ．0∈Z 【答案】AC【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.【详解】A 选项由于符号∈用于元素与集合间，∅是任何集合的子集，所以应为{0}∅⊆，A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间，C 错误；D 选项Z 是整数集，所以0∈Z 正确.故选：AC.10．设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【分析】先求出集合A ，再由A B B =可知B A ⊆，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案.【详解】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =， 解得12a =或17a =， 综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD三、填空题11．已知集合{|1}A x ax =，B =，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是__. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由B A ⊆可知集合B 中的元素都在集合A 中，即把集合B 中的元素带入集合A 应该满足1ax ≤，从而得到a 的取值范围.【详解】解：B A ⊆，2A ∴∈A ， ∴211a ≤⎧⎪≤，解得12a ≤， 故a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 12．设集合12|3A x N y N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 的子集个数为________ 【答案】16【分析】先化简集合A ，再利用子集的定义求解.【详解】解：{}0,1,3,9=A ，故A 的子集个数为4216=8，故答案为：1613．集合()(){}2140,A x x x ax x R =-++=∈中所有元素之和为3，则实数=a ________． 【答案】2-【分析】由()()2140x x ax -++=得1231x x x a ++=-，即可求解参数．【详解】由()()2140x x ax -++=得10x -=或240x ax ++=所以11x =或23x x a +=-依题意得12313x x x a ++=-=，得2a =-故答案为：2-．14．若{}}{1020x ax x x +=⊆-=，则=a __________．【答案】0或12-##12-或0 【分析】由题，先求出}{20x x -=所代表集合，再分别讨论{}10x ax +=作为子集的可能情况即可.【详解】由}{20x x -=得集合为{}2，故{}10x ax +=为空集或{}2， 当{}10x ax +=为{}2时，可得12a =-； 当{}10x ax +=为空集时，可得0a =，故答案为：0或12-。

第01讲 集合的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点 1 集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点 2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，读作a 属于A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ，读作a 不属于A ．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。

考点01 集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn图法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}0C ．{}5D ．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=. 故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12U B x x =-≤≤， 由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则（ ） A ．{}0B ．{}2,4C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,4【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =， 所以，所以.故选：A 二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A B ＝ _______ . 【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴A B ＝{﹣1，0，2}， 故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A ，B 满足：A B =R ，A B =∅，函数()3,,32,x x A f x x x B⎧∈=⎨-∈⎩对于下列结论：①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数； ②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数； ③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解． 其中正确结论的序号为_________． 【答案】①③【分析】通过求解332x x =-可以得到在集合A ，B 含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x 与x -都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程()0f x =判断③是否正确【详解】①若x A ∈，x A -∈，则3()f x x =，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x B -∈，则()32f x x =-，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x A ∈，x B -∈，则3()f x x =，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x A -∈，则()32f x x =-，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 综上不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数 ②若332x x =-，则1x =或2x =-，当{}1B =，时，(1)312f =⨯-满足当1x =时31x =，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数 当{}2B =-，A B =R时，(2)3(2)28f -=⨯--=-满足当2x =-时38x =-，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数所以存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数，且不唯一 ③30x =解的0x =，320x -=解的23x =，当非空集合对(,)A B 满足0A ∉且23B ∉，则方程无解，又因为AB =R ，AB =∅，所以存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对x 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(,)A B 使得函数()f x 为偶函数 ②观察可以发现3x 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式32x -归并到3x 当中，使得()f x 成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案 2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数n ，令1{(n a a Ω==，2a ，⋯，)|{0n i a a ∈，1}，1i =，2，3，⋯，}n ．对任意的1(x x =，2x ，⋯，)n x ，1(y y =，2y ，⋯，)n n y ∈Ω，定义x 与y 的距离1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合{(,)|D d x y x y =≠，x ，}∈y A 中的最小值称为A 的特征，记作χ（A ）．（Ⅰ）当3n =时，直接写出下述集合的特征：{(0A =，0，0)，(1，1，1)}，{(0B =，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，{(0C =，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．（Ⅱ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）2=，求A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）3=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）22019；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明A 中元素个数至多有2 2019 个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为2 2019 个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）设1{A x =，2x ，}m x ⋯，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω，先证明对任意的1i m ，()i N x 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以202020212m ，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）χ（A ）3=，χ（B ）2=，χ（C ）1=；（Ⅱ）（a ） 一方面：对任意的1(a a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a A ∈， 令f （a ）1(a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a ， 则(d a ，f （a ）2020)1212a =-=<，故f （a ）A ∉， 令集合{B f =（a ）|}a A ∈，则A B =∅，2020()A B ⋃⊆Ω 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω 中共有20202 个元素，其中至多一半属于A ， 故A 中至多有2 2019 个元素．（b ）另一方面：设1{(A a =，2a ，⋯，20202020122020)|a a a a ∈Ω++⋯+ 是偶数}，则A 中的元素个数为024********20202020202020202C C C C +++⋯+= 对任意的1(x x =，2x ，⋯，2020)x ，1(y y =，2y ，⋯，2020)y A ∈，x y ≠，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++ 奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，由x y ≠，得(,)0d x y >，故(,)2d x y ，注意到(0，0，0，0，⋯，0，0)，(1，1，0，0，0⋯，0)A ∈ 且它们的距离为2， 故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019．（Ⅲ）当2020n = 时，设2020A ⊆Ω 且χ（A ）3=， 设1{A x =，2x ，}m x ⋯，任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω， （a ） 对任意的，()i N x 中恰有 2021 个元素，事实上①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上，()i N x 中恰有2021个元素， （b ） 对任意的，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，1(j x x ='，2x '，⋯，2020)x '， 则20201(,)i j k k k d x x x x ==-'∑20201(||)kk k xa a x =-+-'∑20202020112k k k k x a a x ===-+-'∑∑，这与χ（A ）3=，矛盾，由 （a ） 和 （b ），12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素， 所以，注意到m 是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于202022021．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}232A x y x x ==+-，{}22B x x k =-+>．若A B A =，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()7,+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,7-D ．()(),17,∞∞--⋃+【答案】D【分析】求出集合,A B ，再根据A B A =，知A B ⊆，列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：解不等式2320x x +-≥，得13x -≤≤，即{}13A x x =-≤≤， {}{22B x x k x x k =-+>=>或}4x k <-，由A B A =，知A B ⊆，所以43k ->或1k <-，解得7k >或1k <-. 故选：D ．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()2,3C ．[]1,3D ．[]2,3【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合B ，然后由题意得B A ⊆，从而建立不等式组求得a 的范围. 【详解】解不等式2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，所以{}1B x a x a =≤≤+. 由A B B =，得B A ⊆，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|4B x y x ==-{}，则=（ ）A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】D【分析】化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解. 【详解】2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|4B x y x ==-{}{|4}x x =≤， 所以{|0}A B x x =<， 所以 ={|0}x x ≥，即()UA B ⋂[0,)=+∞.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合{}1A x y x ==-，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．R B ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答. 【详解】由1y x =-1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-， 所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C .二、填空题4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.【答案】[1,3]【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .5．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=， 故答案为：()3,4.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______. 【答案】{}|02x x <<【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以A B ={}|02x x <<. 故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合{}0,1,2A =，集合{}2|20B x x =-<，则A B =________．【答案】{}0,1【详解】{}0,1,2A =，{}{}220=02B x x x x =-<<<，所以{}01A B =，． 【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U ＝R ，A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则＝_____．【答案】{|3x x ≥或1}x <- 【分析】先化简集合,A B ,再求UB ，最后求UAB 得解.【详解】解：A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则UB ＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}，则UA B ＝{|3x x ≥或1}x <-，故答案为：{|3x x ≥或1}x <-．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 3M x y x ==-，{}xN y y e ==，则() RM N ⋂=（ ） A ．()3,0- B ．(]0,3 C ．()0,3 D ．[]0,3【答案】B【分析】由题知{}3M x x =>，{}0N y y =>，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为(){}{}ln 33M x y x x x ==-=>，{}{}0xN y y e y y ===>，所以{} R3M x x =≤，所以() RM N ⋂={}(]030,3x x <≤=故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x M y y x ==>，{}22N x y x x =-，则M N ⋃等于（ ） A ．∅ B ．{}2C ．[)1,+∞D ．[)0,∞+【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合M ，根据二次根式的意义求出集合N ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】{}112222x x y M y y >∴=>=∴=>.{}2200202x x x N x x -≥∴≤≤∴=≤≤.因此[0,)M N =+∞.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}34x x -≤≤ B ．{}33x x -≤≤ C ．{}14x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】D【分析】先化简集合B ，再去求A B . 【详解】{}{}333B x x x x =≤=-≤≤则{}{}{}143313A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂-≤≤=≤≤ 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}62A x x =-≤≤，{}3,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}12x x ≤≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B ，然后根据集合的交集运算法则求得结果. 【详解】当62x -≤≤时，133x ≤-≤，则{}13B y y =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合{}2,1x A y y x ==≥，(){}2lg 9B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3,2B ．()3,2-C ．(]3,2-D ．[)3,2-【答案】B【分析】先求出集合A 、B ，由韦恩图分析，求UB A ⋂.【详解】由1≥x ，得22x ≥，则[)2,A =+∞，所以()U,2A =-∞.\由290->x ，得33x -<<，则()3,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为()U3,2B A ⋂=-.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}22A x x =-≤≤，{}2230B x N x x =∈--<，则A B =（ ） A ．{}12x x -<≤ B ．{}21x x -≤< C ．{}1,2 D ．{}0,1,2【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合B ，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】解不等式2230x x --<得13x ，又x ∈N ，所以{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =，故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 10A x x =-≤，{}20B x x x =-≥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ≠⊂ C ．[)1,A B ⋂=+∞D ．A B R =【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，进而得到结果. 【详解】{}{}[)011010,1A x x x x =<-≤=≤<=，{}[]010,1B x x =≤≤=，[)0,1A B A ∴==，[]0,1A B B ==，A B ≠∴⊂.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,0x A y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(),-∞+∞【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】由已知{}2,0[1,)xA y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，∴[1,2)A B ⋂=．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可 【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥， 所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞. 故选：D .11．（2022·全国·高三专题练习）设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴. 故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}44A x y x x x ==-=≤，{}1,2,3,4,5B =， 所以A B = {}1,2,3,4， 故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ） A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅【答案】A【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤，所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12RA x x ⎧=≤⎨⎩或，由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由Venn 图得到()AM A B =⋂求解.【详解】如图所示()AM A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=- 又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}AA B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集2,1,0,1,2U，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】{2,1,2}UA =-，(){1}U BA =．故选：C ． 二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意,a b E ∈，()0,1t ∈，均有()1ta t b E +-∈，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．A ．(){},e x x y y ≥B ．(){},ln x y y x ≥C ．(){},210x y x y +-≥D ．(){}22,1x y x y +≤【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E 是“凸”的意义判断作答. 【详解】设OA a =，OB b =，()1OC ta t b =+-，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A BC D 观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，ACD 符合题意. 故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（ ） A ．][(),12,-∞⋃+∞ B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x -⎧⎫=<=--<=⎨⎬-⎩⎭，所以][()()(){},12,|210UA x x x ∞∞=-⋃+=--≥，故AB 正确，CD 错误， 故选：AB.18．（2022·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =-<<，{}250N x x x =-<，则（ ）A ．[]lg2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51-+=D ．{}15M N x x ⋃=-≤<【答案】ABD【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg2lg3lg51lg30,1-+=-∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误.【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确；对于C ，()()lg2lg3lg5lg2lg5lg31lg30,1-+=+-=-∈，[]lg2lg3lg50∴-+=，C 错误； 对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =-<<=-≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=-≤<，BD 正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则abM ，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误． 故选：ABD ． 三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =___________ 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<， 所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}.。

第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。