【人教A版】高中数学 1.1.1正弦定理练习 新人教A版必修5

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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。

在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。

在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。

正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2， 故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

第一章解三角形1.1 正弦正理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】基础巩固1.在三角形ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则错误!未找到引用源。

的值为( A )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由正弦定理得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

, 得sin C=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,且C为锐角,所以cos C=错误!未找到引用源。

.因为A+B+C=π,所以sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,故选A.2.在△ABC中,若A=错误!未找到引用源。

,sin B=错误!未找到引用源。

cos C,则△ABC为( D )(A)直角非等腰三角形(B)等腰非直角三角形(C)非等腰且非直角三角形(D)等腰直角三角形解析:由A=错误!未找到引用源。

,sin B=错误!未找到引用源。

cos C ⇒错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

⇒错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

tan C=错误!未找到引用源。

⇒tan C=1,又C∈(0,π),则C=错误!未找到引用源。

,所以B=错误!未找到引用源。

,△ABC为等腰直角三角形.故选D.3.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3错误!未找到引用源。

,则AC等于( B )(A)4错误!未找到引用源。

(B)2错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由正弦定理得错误!未找到引用源。

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课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA =bcosBB.ab=sinAsinBC.a sin B=b cos AD.a=b sin A 答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√3∶2∶1C.√3∶√2∶1D.2∶√3∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=π6,故A=π2,B=π3,C=π6.∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶√32∶12=2∶√3∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于() A.8√3 B.2√39C.28√3D.2√3答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+c sinA+sinB+sinC =asinA=3sin60°=32=2√3.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√2,b=√3,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sin A=√22,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√3,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√3,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴AB sin30°<BC<4.∴2<BC<4,故选B.7.在△ABC中,a=√3,b=√2,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=√32.∵a>b,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理asinA =bsinB,得b=asinB=5×sin120°=5√6.9.在△ABC中,已知a=2,c=√6,C=π3,求A,B,b.解:∵a=c,∴sin A=asinC=√2.∵c>a,∴C>A.∴A=π.∴B=5π12,b=csinBsinC=√6×sin5π12sinπ3=√3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵b cos C+c cos B=a sin A,∴由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A,即sin(B+C)=sin A sin A,可得sin A=1,故A=π2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c cos A,c=2b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2c cos A,根据正弦定理,得sin B=2sin C cos A,∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,代入上式,可得sin A cos C+cos A sin C=2sin C cos A,即sin A cos C-cos A sin C=sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵asinA =bsinB=csinC,∴acos A2=bcos B2=ccos C2,可化为sinAcos A2=sinBcos B2=sinCcos C2,即sin A2=sin B2=sin C2.∵A,B,C均为三角形的内角, ∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若A=30°,B=45°,BC=√2,则AC 等于( )A.2√33 B.2 C.1D.√32答案:B解析:由正弦定理可得AC sinB =BCsinA ,从而有AC=BCsinBsinA =√2×sin45°sin30°=2,故选B .2.在△ABC 中,已知a=5√2,c=10,A=30°,则B 等于 ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理csinC =asinA ,得10sinC=5√2sin30°,sin C=√22.∵a<c ,∴A<C ,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=b sin B ,则sin A cos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA =bsinB =2R 得,a=2R sin A ,b=2R sin B ,∴a cos A=b sin B 可化为sin A cos A=sin 2B. ∴sin A cos A+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.在△ABC 中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,C=2A ,cos A=34,则ca 的值为( ) A.2 B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosA sinA =2cos A=32. 5.在△ABC 中,b=2√2,a=2,且三角形有解,则A 的取值范围是( ) A.0°<A<30°B.0°<A ≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤√22.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√3,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,从而32=√3sinB,即sin B=12,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√3a sin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√3a sin B化为3sin B=2√3sin A sin B.∴sin A=√32.∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3.又∵cos B=cos C,0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.a sin B cos C+c sin B cos A=12b,且a>b,则B=.答案:π6解析:由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R,得2R sin A sin B cos C+2R sin C sin B cos A=12×2R sin B.由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=12,即sin(π-B)=sin B=12.因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=π6.9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.解:由已知得a 2sinBcosB =b2sinAcosA,由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B(R为△ABC的外接圆半径),∴4R 2sin 2AsinB cosB=4R 2sin 2BsinAcosA. ∴sin A cos A=sin B cos B. ∴sin2A=sin2B.又A ,B 为三角形的内角,∴2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,且b=6,a=2√3,A=30°,求ac 的值. 解:由正弦定理asinA=bsinB得 sin B=bsinA a=2√3=√32.由条件b=6,a=2√3,知b>a ,所以B>A.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在Rt △ABC 中,C=90°,a=2√3,b=6,则c=4√3,∴ac=2√3×4√3=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C ,则有a=c=2√3.∴ac=2√3×2√3=12.。

一、本节学习目标1．理解正弦定理，并能初运应用它解斜三角形； 2. 熟练运用“向量”的方法解决有关几何问题． 二、重难点指引1.重点：正弦定理的探究过程；渗透“数学地”发现问题的方法.2.难点：正弦定理的探究过程. 三、学法指导处理三角形问题要注意与三角形全等的判定相结合，要从几何图形、三角函及三角形的边角关系等去分析三角形解的情况． 4．熟练应用定理．四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ． 2．一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 ． 3．你能得到正弦定理的哪些变式?4．ABC ∆的面积公式：=∆ABC S __________=__________=_________ ▲ 二读教材1．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，ο30=C ，10=c ，解此三角形．2．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形．▲ 三读教材1．用正弦定理可解决下列那种问题(1)已知三角形三边； (2)已知三角形两边与其中一边的对角；(3)已知三角形两边与第三边的对角； (4)已知三角形三个内角；(5)已知三角形两角与任一边； 6)已知三角形一个内角与它所对边之外的两边．2．在ABC ∆中,分别根据所给条件，指出解的个数：(1)︒===30,5,4A b a ； (2)︒===60,4,5A b a ； (3)︒===120,2,3B b a ； (4)︒===60,6,3A b a .五、典型例析例1 在ABC ∆中，︒===60,10,15A b a ，则B cos =A ．－223 B ．223C ．－63D ．63 例2 在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状.例3 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？六、课后自测 ◆ 基础知识自测 1．已知ABC △中，2a =，3b =，60B =o ，那么角A 等于（ ）DCBA北A ．135oB ．90oC ．45oD ．30o2．在ABC ∆中，若bBa A cos sin =，则B 的值为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο90 ３．在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形 ４．已知ABC ∆，根据下列条件，求相应的三角形中其它边和角的大小：（１）10,45,60=︒=︒=a B A ；（2）︒===120,2,5B b a ；（3）︒===120,6,63B c b ．5．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155o 的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为125o．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（答案保留最简根号）．◆ 能力提升自测1．如图：B C D ,,三点在地面同一直线上,a DC =,从D C ,两点测得A 点仰角分别是αβ,(βα<),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．︒===30,3,7C c b B ．︒===45,24,5B c bB AC北北155o 80 o125o ABCDβαC ．︒===60,36,6B b aD ． ︒===30,30,20A b a 3．在ABC ∆中，若B c b sin 2=，则C ∠＝_____________ 4．已知c b a ,,分别是的三个内角C B A ,,所对的边，若3,1==b a ，B C A 2=+,则C sin = .5.在ABC ∆中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 ◆ 智能拓展训练１．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．２．在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=． （Ⅰ）证明C B =；（Ⅱ）若cos A =－13，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+34sin πB 的值．３．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，已知1cos 24C =- (Ⅰ)求C sin 的值；(Ⅱ)当2=a ，C A sin sin 2=时，求c 的长．1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理参考答案：教材多维研读 ▲ 一读教材1．正弦，Csin cB sin b A sin a == ；2．元素，解三角形； 3．(1)2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；(2)RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； (3)::sin :sin :sin a b c A B C =；4． 111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===．▲ 二读教材1．解： ,180,30,45︒=++︒=︒=C B A C A Θ ()︒=+-︒=∴105180C A B又∵sin sin sin a b ck A B C=== ()625sin sin ,210sin sin +=⋅==⋅=∴CcB bC c A a2．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形.解： ∵sin sin sin a b ck A B C=== 23sin sin =⋅=∴a A c C ，∴︒︒=12060或C 当︒=60C 时，31,75+=︒=b B ； 当︒=120C 时，13,15-=︒=b B▲ 三读教材1．②⑤； 【解析】(1),30,185sin ,sin sin B A b a B A a B b <︒=∴<<==Θ两组解； (2),60,1532sin ,sin sin B A b a B A a B b >︒=∴><==Θ一组解；(3),120423sin ,sin sin A B a b A A a B b <︒=∴<==Θ无解； (4)126sin ,sin sin >==B A a B b ，无解.课后自测◆ 基础知识自测1．C 2．B ３．A ４．(1)C=︒75，b=1063,c=152563+ (2)无解（3）C=450，A=150，a ≈2.25．解：在ABC ∆中，ABC ∠＝155°－125°＝30°，BCA ∠＝180°－155°＋80°＝105°，BAC ∠＝180°－30°－105°＝45°， BC ＝5021⨯＝25， 由正弦定理，得︒=︒45sin 30sin BCAC ∴AC ＝222545sin 30sin =︒︒⋅BC （海里） 答：船与灯塔间的距离为2225海里． ◆ 能力提升自测１．A ２．C ３．︒︒15030或 ４．１ 5．B ◆ 智能拓展训练１．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos sin 22A A A =++3sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<， 所以13sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有333sin 3232A π⎛⎫<+<⨯ ⎪⎝⎭，所以，cos sin A C +的取值范围为3322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．２．解：（Ⅰ）证明：在ABC △中，由正弦定理及已知得sin B sin C =cosBcosC.于是0sin cos cos sin =-C B C B ，即()0sin =-C B .因为B C ππ-<-<，从而C B C B ==-所以,0.（Ⅱ）解：由π=++C B A 和（Ⅰ）得B A 2-=π,故B 2cos =()B 2cos --π=A cos -=13. 又π<<B 20,于是3222cos 12sin 2=-=B B . 从而9242cos 2sin 24sin ==B B B ，972sin 2cos 4cos 22-=-=B B B . 所以4273sin(4)sin 4coscos 4sin33318B B B πππ-+=+=.３．（Ⅰ）解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ，及π<<C 0 所以410sin =C .（Ⅱ）解：当2=a ，C A sin sin 2=时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 .。

第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理双基达标 限时20分钟1．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )． A.53B.35C.37D.57解析 在△ABC 中，C ＝120°，故A ，B 都是锐角．据正弦定理sin A sin B ＝a b ＝53.答案 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且角A ＝75°，则b ＝ ( )．A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析 如图所示．在△ABC 中，由正弦定理得 bsin 30°＝6＋2sin 75°＝6＋2sin 45°＋30°＝4.∴b ＝2.3．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )．A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B . 答案 A4．在△ABC 中，若AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝________. 解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角． ∴A ＝45°.∴C ＝75°. 答案 75°5．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解．解析 ①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解． 答案 ④6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．解 由正弦定理知cos A cos B ＝sin B sin A ＝43，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.又∵ba>1，∴B >A ，∴△ABC 为直角三角形．综合提高 限时25分钟7．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )．A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析 由正弦定理知sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，∴A ＝90°，故选A. 答案 A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sinA )，若m ⊥n ，且a cosB ＋b cos A ＝c ·sinC ，则角A ，B 的大小为( )． A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3解析 ∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴tan A ＝3，∴A ＝π3，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1，∴C ＝π2，B ＝π6.答案 C9．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析 由已知A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，asin A＝2.∴a sin A ＝2b 2sin B ＝c sin C ＝a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝2. 答案 210．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ， 化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 答案 30°11．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状． 解：设方程的两根为x 1、x 2， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B .∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π，0＜B ＜π，－π＜A －B ＜π. ∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形． 12．(创新拓展)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的取值范围． 解 (1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，根据正弦定理得 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得：a ＋b a ＝b b －a， ∴b 2－a 2＝ab .①∵cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ， ∴cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ， ∴sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，∴ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2， 即a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是直角三角形． (2)由(1)知B ＝π2，∴A ＋C ＝π2，∴C ＝π2－A .∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，a ＋cb ＝sin A ＋sin Csin B＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵0<A <π2，∴π4<A ＋π4<3π4.∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，∴1<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤ 2，即a ＋cb的取值范围是(1， 2 ]．。

1.1.1 正弦定理(二) 课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B.一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C.∴0<c≤403.4．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析 由a ＝2bcos C 得，sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B －C)＝0，∴B ＝C.5．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎨⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72kb ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C.12 D ．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR2＝π，得R ＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12absin C ＝43，∴b ＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －ccos Bb －ccos A ＝sin B sin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边．所以等式成立，即a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A .12．在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a2tan B ＝b2tan A⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A⇔sin Acos A ＝sin Bcos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为() A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12，∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.解 cos B ＝2cos2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．。