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上海交通大学附属中学2019-2020学年度第一学期
高一数学期中考试试卷
一、填空题
1.
函数y =的定义域是____________
2. 已知{}|12A x x =-<<，{}2|30,R x x x x -<∈，则A B ⋂=____________
3. 当0x >时，函数()1f x x x -=+的值域为____________
4. 设{|52U x x =-≤<-或25,}x x Z <≤∈，{}
2|2150A x x x =--=，{}3,3,4B =-则U A C B ⋂=____________
5. 已知集合{}{}2,1,|2A B x ax =-==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为____________
6. 满足条件{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7,9⋃=的所有集合A 的个数是____________个
7. 已知不等式2202x x x a
+≤+解集为A ，且2,3A A ∈∉，则实数a 的取值范围是____________ 8. 若函数(
)f x a 的取值范围为____________
9. 已知,a b 是常数，且0ab ≠，若函数(
)33f x ax =+的最大值为10，则()f x 的最小值为 ____________
10. 设正实数,a b 满足324a ab b ++=，那么1ab
的最小值为____________ 11. 设()()2,043,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩
，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为____________ 12. 若方程()
22420ax a x --+=在（0,2）内恰有一解，则实数a 的取值范围为____________ 二、选择题
13. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 4x x +的最小值是4
B. 的最小值是2
C. 如果,a b c d >>，那么a c b d ->-
D. 如果22ac bc >，那么a b >
14. 设甲为“05x <<”，乙为“23x -<”，那么甲是乙的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15. 非空集合A,B 满足，{}{}
,|,|A B P x x A Q x x B ⊂⋂=∅=⊆=≠，则下列关系一定成立的是（ ）
A. A B P Q ⋃=⋃
B. P Q ⋂=∅
C. {}P Q ⋂=∅
D. A B P Q ⊂⋃≠⋃ 16. 已知函数()1y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）
A. ()()f x f x =-
B. ()()11f x f x +=-+
C. ()()11f x f x +=--
D. ()()1f x f x -+=
三、解答题
17. 已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭
，集合{}
22|210,B x x ax a x R =-+-≤∈. （1）求集合A ； （2）若集合U=R ，()U B C A B ⋂=，求实数a 的取值范围.
18. 已知函数()f x x a x b =-++.
（1）若1,2a b ==，求不等式()5f x ≤的解；
（2）对任意0,0a b >>，试确定函数()y f x =的最小值M （用含,a b 的代数式表示），若正数,a b 满足
42a b ab +=，则,a b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每1厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()[],0,1035k C x x x =
∈+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.
设总费用()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.
20. 已知函数()()0x a
f x a x -=>，且满足112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （1）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数()()
f x
g x x =，求()g x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程()22220x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取
值范围.
21. 已知函数()3f x mx =+，()22g x x x m =++.
（1）求证：函数()()f x g x -必有零点；
（2）设函数()()()1G x f x g x =--.
①若()G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；
②是否存在整数,a b ，以及实数m ，使得不等式()a G x b ≤≤的解集恰好是[],a b ? 若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、填空题
1. ()0,+∞
2.（0,2）
3. [)2,+∞
4.{}5
5.{}1,0,2-
6. 16
7. 3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
8. ()1,+∞ 9.4- 10.112 11. [0,4] 12.(]3,1-
二、选择题
13. D 14. A 15. B 16. B
三、解答题 17.（1）(]1,2- （2）(][),23,-∞-⋃+∞
18.（1）[]3,2- （2）M a b =+，33,2a b ==时，92M = 19.（1）k=40，()()800601035
f x x x x =+≤≤+ （2）()min 5,70x f x ==（万元）
20.（1）单调递增，证明略
（2）()max 2g x =
（3）10,16m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
21.（1）证明略
（2）①0m ≤或2m ≥ ②存在，12a b =-⎧⎨=⎩或24
a b =⎧⎨=⎩
