2011学年第一学期期中考试高二数学答题卷

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。

河北安国中学2011—2012学年第一学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟；分值：150分；命题人：王涛）一、选择题（共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、下列问题的算法适宜用条件结构表示的是（ ） A ．求点)5,2(P 到直线:l 0123=+-y x 的距离 B ．由直角三角形的两条直角边求斜边 C ．解不等式0>+b ax （其中0≠a ） D ．计算100个数的平均数2、右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15 3、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 4、某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内位（ ）A.?4>kB.?5>kC.?6>kD.?7>k 5、某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样6、有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.457、下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率。

2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α=，则β=_________.3.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.4.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.9.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222ba -=，333b a -=．若数列{}na 唯一，则a =______.二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.上2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）【答案】∈【解析】【分析】由点线面的位置关系判断即可.【详解】点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ∈α，故答案为：∈2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，则β=_________.【答案】60o 或120 【解析】【分析】由等角定理求解即可.【详解】角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，由等角定理可知，βα=或180βα+= ，则60β= 或120 ，故答案为：60o 或1203.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.【答案】5【解析】【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解.【详解】设截得的棱台的高为h ，由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得2932(9162h -=，解得5h =，所以截得的棱台的高为5.故答案为：54.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.【答案】外【解析】【分析】设侧棱与底面所成角为θ，则tan SO SO SOOA OB OCθ===，故OA OB OC ==，从而判断即可.【详解】三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为θ，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，所以tan SO SO SOOA OB OCθ===，所以OA OB OC ==，故O 是ABC V 的外心.故答案为：外5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.【答案】816π+【解析】【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积.【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径2πr =，所以该圆柱的表面积282π1616πS r =+=+.故答案为：816π+6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.【答案】245【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由11//B C 平面11A BCD ，所以棱11B C 与平面11A BCD 的距离即为1B 到平面11A BCD 的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可.【详解】11//B C BC ，11B C ⊄平面11A BCD ，⊂BC 平面11A BCD ，所以11//B C 平面11A BCD ，所以1B 到平面11A BCD 的距离即为棱11B C 与平面11A BCD 的距离，如图：建立空间直角坐标系，8AB =，16AA =，设AD a =，所以()1,0,6A a ，(),8,0B a ，()0,8,0C ，()10,0,6D ，()1,8,6B a ，()10,8,6A B =- ，(),0,0BC a =-，设平面11A BCD 的法向量为 =s s ，则10m A B m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故8600y z ax -=⎧⎨-=⎩，则0x =，令6y =，8z =，故()0,6,8m =，()10,0,6BB = ，所以1B 到平面11A BCD的距离为：1245m BB m ⋅==，故答案为：2457.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得1DBC ∠或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果.【详解】如图所示：不妨设1222BD CD AA ===，则由长方体性质可得3BC =，易知直线1BC 与直线11B D 所成的角即为直线1BC 与直线BD 所成的角，即为1DBC ∠或其补角；在1BDC 中，可得1122,2,B BC D D C ===由余弦定理可知22211114423cos 22224BD C B C D DBC BD C B +-+-∠===⨯⨯⨯⨯.故答案为：348.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.【答案】(2【解析】【分析】利用等比数列前n 项和的极限，得到关于1a 的代数式，进而求得1a 的取值范围.【详解】各项均为正数的等比数列中，设其公比为q ，首项为1a ，则1lim 1n n a S q∞→+=-，01q <<，则1112a q a =-，则()121a q =-，由01q <<，可得011q <-<，()0212q <-<，则()0212q <-<，则1a 的取值范围是(2.故答案为：(29.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．【答案】1k +##1k +【解析】【分析】根据题意，依次分析(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f 的值，由此类推，归纳可得答案.【详解】1条直线把平面分成2个区域，2条直线把平面分成224+=个区域，则有(2)(1)2f f =+，同理，3条直线把平面分成2237++=个区域，则有(3)(2)3f f =+，4条直线把平面分成223411+++=个区域，则有(4)(3)4f f =+，5条直线把平面分成2234516++++=个区域，则有(5)(4)5f f =+，依次类推，第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即(1)()1f k f k k +=++．故答案为：1k +.10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________【解析】【分析】由斜二测画法的特点可知平行于x 轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出O C ''，然后求出原图中OC 的长度即可求解.【详解】由于ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' ，则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边为A B AB ''=，在O A C ''' 中1A C ''=，45A O C '''∠= ，60C A B '''∠=o ，所以120C A O '''∠=o ，由正弦定理得：sin sin C O A C C A O C O A''''=''''''∠∠，所以2222O C ''==，所以原图ABC V 中AB边上的高为：22OC =⨯=，.11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC ，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，求解即可.【详解】由题意知，1PA 在几何体内部，但在面11A C B 内，把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，而11AC ⊂平面111AB C ，则111A C CC ⊥，因为90ACB ∠=︒，则11190A C B ∠=︒，即1111A C B C ⊥，又1111111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂平面11BB C C ，则11A C ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111A C BC ⊥，即190AC B ∠=︒，因为1BC CC ==，易知1CC BC ⊥，所以140CC B ∠=︒所以114590135CC A ∠=︒+︒=︒，而116A C =，1CC =所以在11C CA 中，22211111112cos13550A C A C CC A C CC =+-⋅︒=，所以1AC =，即1CP PA +的最小值为故答案为：12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=．若数列{}n a 唯一，则a =______.【答案】13【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，依题意可得24310aq aq a -+-=，且2440a a ∆=+>，由于数列{}n a 唯一，则公比q 的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，∵()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，∴11b a =+，22b aq =+，233b aq =+．∵1b ，2b ，3b 成等比数列，∴()()()22213aq a aq+=++，整理得24310aq aq a -+-=.∵0a >，∴2440a a ∆=+>，∴关于公比q 的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为13a-．又数列{}n a 唯一，公比q 的值只能有一个，故这两个q 的值必须有一个不满足条件．∵公比q 的值不可能等于0，∴方程24310aq aq a -+-=必有一根为0，把0q =代入此方程，解得13a =．故答案为：13二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱【答案】B 【解析】【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于A ，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故A 不正确，对于B ，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B 正确，对于C ，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C 不正确；对于D ，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故D 不正确.故选：B.14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【详解】对于A ，若1l ∥α，2l ∥α，则有1l ∥2l 或1l 与2l 相交或1l 与2l 异面，故A 错误；对于B 、C ，如果1l ⊥2l ，2l ⊥α，则有1l ∥α或1l ⊂α，故B 、C 错误；对于D ，如果1l ⊥α，则1l 垂直α内的所有直线，又2l ∥α，则过2l 与α相交的平面交α于a ，则2l ∥a ，∴1l ⊥2l ，故D 正确．故选：D ．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B【答案】B 【解析】【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A 选项：四边形11A D SP 是平行四边形，1A S 与1D P 相交，故A 错；C 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D R 与1DB 相交，故C 错；D 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D B 与1DB 相交，故D 错；利用排除法可得选项B 正确.故选：B.16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352【答案】C 【解析】【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果.【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列即为按照1,1,0成周期出现的数列，周期为3，易知202667531=⨯+，一个周期内的三个数字之和为2；所以数列的前2026项的和为675211351⨯+=.故选：C三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项n a ，前n 项和为n S ，再利用数学归纳法证明.【详解】等差数列中，1(1)n a a n d n =+-=，1()(1)22n n n a a n n S ++==，当1n =时，311a =，21n S =，原等式成立；假设当N ()n k k *=∈时，原等式成立，即321kk i ka S==∑，321(1)[2ki k k k =+=∑，则133233311121((1)[]21)(1)k kk i i k k ak a a k k k k +++===+=++++=+∑∑()()()()()()22222211112412442k k k k k k k k S +⎡⎤++++⎡⎤=⋅++=⋅+==⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即当1n k =+时，原等式成立，所以对一切N n *∈，等式321ni n i aS ==∑成立.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【答案】（1）2π；（2）36+﹒【解析】【分析】(1)设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积．(2)该几何体的体积()13BCD V S S AO =+⋅△半圆，由此能求出结果．【小问1详解】如图，设BD 的中点为O ，连接OA OC 、，A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，OA ∴⊥平面BCD ．2BD = ，1BC =，AC 与底面所成角的大小为3π，∴在Rt AOC 中，1OC =，3ACO π∠=，2AC =，AO =，∴圆锥侧面积为：2222r AC πππ⋅=⨯⨯=；【小问2详解】该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，AO = ，90BCD ∠=︒，CD ∴=∴该几何体的体积V =()11133133226BCD S S AO π+⎛⎫+⋅=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭半圆△．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.【答案】（1）3arcsin3（2）1【分析】（1）取BC 的中点O ，连接,OM OP ，易证得PA ⊥平面BMC ，,OM BC OP BC ⊥⊥，则POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，再解Rt POM 即可；（2）由PM ⊥平面BMC ，可得线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，即可得解.【小问1详解】取BC 的中点O ，连接,OM OP ，在正四面体P ABC -中，PA 的中点为M ，则,,3BM PA CM PA BM CM ⊥⊥==，因为O 为BC 的中点，所以,OM BC OP BC ⊥⊥，所以POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，因为,,BM CM M BM CM ⋂=⊂平面BMC ，所以PA ⊥平面BMC ，又OM ⊂平面BMC ，所以PA OM ⊥，在Rt POM 中，1,3PM OP ==，则3sin 3PM POM OP ∠==，所以二面角M BC P --的大小为3arcsin3；【小问2详解】由（1）知PM ⊥平面BMC ，所以线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，所以点P 到平面BMC 的距离为1.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）不共面，证明见解析（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）（i ）由线面垂直的性质可得1C O ⊥AD ，然后由面面垂直的判定可证，（ii ）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确；（2）利用面面平行的判定可得平面OMN ∥平面1ABC ，然后利用线面平行的定义得证.【小问1详解】（i ）由1C O ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则1C O ⊥AD ，又OE AD ⊥，1OE OC O = ，1,OE OC ⊂平面1OEC ，则AD ⊥平面1OEC ，因为AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）11,,,O E D C 不共面，假设11,,,O E D C 共面于α，由四棱柱1111ABCD A B C D -，得平面//ABCD 平面1111D C B A ，又平面ABCD OE α⋂=，平面11111A B C D C D α⋂=，所以11//OE C D ，又11//CD C D ，所以//OE CD ，又OE AD ⊥，即CD AD ⊥，又90ABC ∠= ，且90ADC ∠=︒，//AB CD ，从而四边形ABCD 为矩形，与AB CD >矛盾!所以11,,,O E D C 不共面；【小问2详解】取BC 的中点N ，连接CO 并延长交AB 于P ，因为90ABC ∠=︒，OB OC =，所以O 为CP 的中点，//ON AB ，因为ON ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，所以//ON 平面1ABC ，由M 是1CC 的中点，1//,MN BC MN ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以//MN 平面1ABC ，因为ON MN N ⋂=，,ON MN ⊂平面OMN ，所以平面//OMN 平面1ABC ，因为1AC ⊂平面1ABC ，所以1//AC 平面OMN .21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.【答案】（1）2nn a =()N,1n n ∈≥（2）244233n n n B =⨯++()N,1n n ∈≥.（3）3【解析】【分析】（1）直接给,m n 赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项；（2）通过n a 和前n 项和之间的关系求解通项即可；（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较1,n n c c -的大小即可.【小问1详解】对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅成立，12a =，所以令,1m n p ==，得11n n a a a +=⋅，N,1n n ∈≥，∴数列（N,1n n ∈≥）是首项和公比都为2的等比数列.∴2nn a =（N,1n n ∈≥）.【小问2详解】由()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，得()31121231N,221212121n n n b b b ba n n ---=++++∈≥++++ ，故()1N,221n n n n ba a n n --=∈≥+，所以()()121122122N,2n nn n n b n n ---=+=+∈≥，当1n =时，11121b a =+，16b =，于是，()()21122,N,26,1n n n n n b n --⎧+∈≥⎪=⎨=⎪⎩，当1n =时，116B b ==；当2n ≥时，()()35211211236222222n n n n B b b b b --=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()311221421261212n n ----=++--244233n n =⨯++又1n =时，12442633B =⨯++=，综上，有244233n n n B =⨯++，N,1n n ∈≥.【小问3详解】因为2n n n B c =，11116322B c ===，所以()24121,N,1332n n n c n n =⨯+⨯+∈≥，所以()111112412412121212,233233232n n n n n n n n c c n -----⎛⎫-=⨯+⨯+-⨯--=-≥ ⎪⎝⎭，数列{}()N,1n c n n ∈≥是单调递增数列，即数列{}n c 中数值最小的项是1c ，其值为3.。

2022-2023学年第一学期期中试题高二 数学（新人教A 版选择性必修第一册）范围：第一章《空间向量与立体几何》，第二章《直线和圆的方程》一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、已知平面αβ，的法向量分别为=(124)=(12)x ---,,,,,a b ，若αβ⊥，则x 的值为（ ）A 、 10B 、 10-C 、12D 、 12-2、直线1l 的斜率为34，且过点（1，12），直线2l ：6870x y --=，则1l 与2l 间的距离为（ ） A.12 B. 35 C. 65D ．1 3、如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若=OA a ，=OB b ，=OC c ，则AD 等于（ ）A 、-++a b cB 、 -+-a b cC 、11+22-+a b cD 、1122---a b c4、若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．11-5、在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点坐标分别为()22A -，，()66B ，，()06C ，.则边AB 上的高所在直线的方程为（ ）A 、260x y +-=B 、260x y -+=C 、2120x y -+=D 、2120x y +-=6、如图，在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 夹角的余弦值为()A 3B.10 C.25D. 357、点G 在圆()2222x y ++=上运动，直线30x y --=分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则MNG 面积的最大值是（ ） A. 10B.232C.92D.2128、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为（ ）A.3 B.13C.23D.3二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A 、a +b ，a -2b ，c B 、a -b ， a +3b ，2aC 、a ，2b ，b -cD 、a +c ，a -c ，c 10. 已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 与圆C 相切B. 直线l 与圆C 相离C. |PM |的最大值为322 D. |PM |的最小值为2211．设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（ ）A. 直线l 恒过定点()1,2B. 弦AB 长的最小值为4C. 当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-= D. 过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 1312、在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A . 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 可能垂直1CD B . 若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2π C . 当λμ=时，1||DP A P +的最小值为252+ D . 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为[62，2]三、填空题（每小题5分，共20分）13、直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是14、如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角均为3π，则1AC BD ⋅=________．15、如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点．若MN xAB yAC z AD =++，则x y z ++=____；直线MN 和CD 的夹角为____．NMB16、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为四 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）已知圆M ：2220x y x +-=与圆N ：2280x y x a +-+=外切.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线20x y --=与圆M 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =， E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：11D E A D ⊥； （Ⅱ）求点E 到平面1ACD 的距离；（Ⅲ）求平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值．D 1B 1C 1A 1DB19．（12分）已知直线1:220l x y -+=与直线2:20l x ay --=，a ∈R . （Ⅰ）若12l l ，求a 的值；（Ⅱ）求证：直线2l 与圆224x y +=恒有公共点；（Ⅲ）若直线2l 与圆心为C 的圆22()(1)4x a y -+-=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为直角三角形，求a 的值．20、（12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．21、（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==．（1）证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；（2）若60ABC ∠=︒，12AA AB =，且三棱锥11E A B F -的体积为439，求CE 与平面11A B F 所成角的正弦值．22、（12分）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面.（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若平面BDF 与平面ABG 15，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小.参考答案1、B2、A3、C4、C5、D6、C7、D8、A 8．解：11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--1,(0,2,),21,3m ta m t N t t t t tb t-=-⎧⎪-=+==⎨⎪=⎩，1111113(,,),3339993MN MN =-=++=9、AC 10、BD 11、BC 12、ABD12、【解析】ABD ；A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，0，1），C （1，1，0），1A （0，0，1），1C （1，1，1），1D （0，1，1），所以()11,0,1CD =-，11B P BC CP =+11B C CD CC λμ=++(),1,1λμ=--，易知平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =，若1B P //平面，则10n B P ⋅=，即λμ=，则当12λμ==时，1110B P CD λμ⋅=+-=，即P 为1CD 中点时，有1B P //平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 正确；B 选项：若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为2π，故B 正确； C 选项：如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知122A D =+，故C 错误；D 选项：正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则A （0，0，0），C （1，1，0），1A （0，0，1），P （0，1，t ），所以()1,0,PC t =-，()11,1,1AC =-，11PC AC t ⋅=+，21PC t =+，13AC =，所以点P 到直线1A C 的距离为2222111||13PC AC t d PC t AC ⎛⎫⋅+⎛⎫ ⎪=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22223t t -+，于是当12t =时，1PA C ∆的面积取最小值，此时截面面积为62；当0t =或1时，1PA C ∆的面积取最大值，此时截面面积为2，故D 正确．13、2或12 14、0 15、12-；4π 16、6316、【解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1111(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)B D A C D B C A ，设(,,)P x y z ，设111(1,1,1)(1,0,1)([0,1])11x B P B C x y z y z λλλλλ=-⎧⎪=⇒---=--∈⇒=⎨⎪=-⎩，即(1,1,1)P λλ--.设平面11AC D 的法向量为000(,,)m x y z =，1(1,0,2)C P λλ=--，所以有0011001100(1,1,1)00x z m DA m DA m y z m DC m DC ⎧⎧+=⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⇒⇒=--⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎪⎪⎩⎩⎩， 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：11(1mC P m C P⋅===⋅因为[0,1]λ∈，所以当1λ=2=，所以直线1C P 与平面11AC D3=。