网络优化的数学模型—2解析

供应链网络优化的数学模型分析随着全球化的发展和市场竞争的加剧，供应链网络优化成为了企业提高效益和降低成本的重要手段。

供应链网络优化的目标是通过最优的资源配置和流程设计，实现供应链的高效运作和协同发展。

数学模型在供应链网络优化中起到了关键作用，能够帮助企业在复杂的供应链网络中做出合理的决策，提高供应链的效率和灵活性。

一、供应链网络的数学建模供应链网络是一个复杂的系统，涉及到多个环节和参与方。

为了对供应链网络进行优化，需要将其抽象为数学模型，并对模型进行分析和求解。

供应链网络的数学建模主要包括以下几个方面：1. 节点和边的建模：供应链网络可以看作是一个有向图，其中节点表示供应链的各个环节，边表示物流和信息流的流动。

通过对节点和边的建模，可以清晰地描述供应链网络的结构和关系。

2. 资源和需求的建模：供应链网络中的资源包括原材料、设备和人力资源等，需求包括市场需求和内部需求。

通过对资源和需求的建模，可以对供应链网络中的资源分配和需求满足进行量化和优化。

3. 运输和库存的建模：供应链网络中的运输和库存是影响供应链效率和成本的重要因素。

通过对运输和库存的建模，可以确定最优的运输路径和库存策略，实现供应链的快速响应和成本控制。

4. 成本和效益的建模：供应链网络优化的目标是降低成本和提高效益。

通过对成本和效益的建模，可以量化供应链网络的运作成本和效益，为决策提供依据。

二、供应链网络优化的数学方法供应链网络优化的数学方法主要包括线性规划、整数规划、动态规划和模拟等。

这些方法可以根据具体问题的特点选择合适的模型和算法，对供应链网络进行优化。

1. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，适用于供应链网络中的资源分配和生产计划等问题。

通过建立线性规划模型，可以确定最优的资源配置方案，实现供应链网络的高效运作。

2. 整数规划：整数规划是一种在线性规划基础上增加整数限制的优化方法，适用于供应链网络中的库存和运输等问题。

通过建立整数规划模型，可以确定最优的库存水平和运输路径，提高供应链网络的响应速度和成本效益。

网络优化模型与算法-V1网络优化模型与算法随着互联网技术的不断发展，网络优化问题变得越来越重要。

无论是商业领域还是科研领域，网络优化都在扮演着重要的角色。

本文将重点介绍网络优化模型与算法。

一、网络优化模型网络优化模型是指将网络中的各个元素和关系用数学模型表示出来，并根据所要优化的目标给出相应的优化模型。

常见的网络优化模型有最小生成树模型、最短路模型、网络流模型等。

1. 最小生成树模型最小生成树模型是指在一个网络中找到一棵生成树，使得这个生成树的总权值最小。

在最小生成树模型中，边的权值代表着连接两个节点的代价。

经典的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

2. 最短路模型最短路模型是指在一个网络中找到一条路径，使得这条路径的总权值最小。

在最短路模型中，边的权值代表着从一个节点到另一个节点的距离或代价。

经典的最短路算法有Dijkstra算法和Floyd算法。

3. 网络流模型网络流模型是指在一个网络中找到一种流量分配方式，使得流量的总和最大或成本最小。

在网络流模型中，节点之间的流量代表着信息传递的速度或物质的流动量，边的容量代表着流量的上限。

经典的网络流算法有最大流算法和最小费用最大流算法。

二、网络优化算法网络优化算法是指利用数学模型和算法求解网络优化问题的方法。

不同的网络优化问题需要不同的算法。

本节将介绍一些常见的网络优化算法。

1. Prim算法Prim算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。

它从一个起点开始，每次找到与当前最小生成树距离最近的节点，将这个节点加入最小生成树中。

2. Kruskal算法Kruskal算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。

它将所有边按照权值从小到大排序，依次加入最小生成树中。

如果加入一条边会形成环，则舍弃这个边。

3. Dijkstra算法Dijkstra算法是用于求解最短路的一种贪心算法。

它从起点开始，每次找到距离起点最近的节点，并更新其它与该节点相邻的节点的距离。

数学建模中的网络优化问题数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的过程，而网络优化问题是其中的一个重要研究方向。

网络优化是指在网络中寻找最优解的问题，在数学建模中起到了至关重要的作用。

本文将介绍数学建模中的网络优化问题及其应用。

一、网络优化问题的定义与分类网络优化问题主要涉及在网络中寻找某个目标的最优解。

通常，这些问题可以用图论的方法进行描述和解决。

下面将介绍几种常见的网络优化问题。

1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带有权重的连通图中，找到一个树，使得这个树包含了图中所有的节点，并且树的边的权重之和最小。

这个问题在电力、通信等领域中有着广泛的应用。

2. 最短路径问题最短路径问题是指在图中找到一条从起点到终点的路径，使得经过的边的权重之和最小。

这个问题应用广泛，如导航系统中求解最短路径。

3. 最大流问题最大流问题是指在一个网络中，找到一种分配网络中流量的方式，使得从源点到汇点的流量最大。

这个问题在电信、交通等领域有广泛的应用。

4. 任务分配问题任务分配问题是指在一个网络中，将任务分配给不同的资源或工人，使得任务完成时间最短或成本最小。

这个问题在进程调度、工程管理等方面有着重要的应用。

二、网络优化问题的求解方法网络优化问题的求解可以采用多种方法，下面将介绍两种常用的方法。

1. 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，可以用来求解网络优化问题。

该方法将问题转化为线性约束条件下的线性目标函数的最优化问题，并通过线性规划求解器来求解最优解。

2. 图算法图算法是一种常用的求解网络优化问题的方法，如最小生成树问题可以使用普里姆算法或克鲁斯卡尔算法进行求解，最短路径问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法进行求解。

三、网络优化问题的应用网络优化问题在各个领域中具有重要的应用价值，下面将介绍其中几个领域的应用。

1. 交通规划网络优化问题在交通规划中有着广泛的应用。

如通过最小生成树问题可以确定最优的道路建设方案，通过最短路径问题可以规划交通路径，通过最大流问题可以优化信号灯的配时方案。

2．3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[对应学生用书P33][读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.①推论1：设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，a n为n个正数；则当a1＋a2＋…＋a n＝nC时，a1a2…a n≤C n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(2)定理2：设a1，a2，…，a n为n个正数，则na1a2…a n≥n1a1＋1a2＋…＋1a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(3)定理3：设a1，a2，…，a n为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .推论：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 (a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )≥n 2.2．最值问题设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ，则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34]利用基本不等式求最值[例1] 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x ≥26，得－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ≤－26， 因此f (x )≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62.[例2] 已知x 为正实数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x 为正实数，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427.当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.利用平均值不等式解应用题[例3] 已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得 H －h H ＝rR ， ∴r ＝RH (H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0＜h ＜H )． 根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝⎛⎭⎫H 33＝427πR 2H . 当且仅当H －h 2＝h ，即h ＝13H 时，V 圆柱最大＝427πR 2H .(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ， 如图可知2h ＋3x ＝3，即h ＝32(1－x )， 所以V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y ＝3x ＋12x 2(x >0)的最小值是( )A ．6B ．6 6C ．9D ．12解析：y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时取等号．答案：C2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：∵2x >0,4y >0,8z >0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．答案：C3．设x ，y 为正实数，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：因为x ，y 为正实数，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：x ＋a x n ＝···n xn nx x x a++++n n n x 144424443相乘个≥(n ＋1)xn n相乘个＝(n ＋1)n ＋1an n，由推广结论知an n ＝1，∴a ＝n n .答案：A 二、填空题5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为______． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋2·4x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：96．若x ，y ∈R ＋且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎫y x ＋x 的最小值是________． 解析：∵x >0，y >0，xy ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎫y x ＋x ＝1＋x 2y ＋y2x＋xy ≥1＋33x 2y 2＝4，当且仅当x 2y ＝y 2x ＝xy ，即x ＝y ＝1时取等号． 答案：47．对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋pcos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t . 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴t ∈(0,1)． 不等式1sin 2x ＋pcos 2x≥16可化为 p ≥⎝⎛⎭⎫16－1t (1－t )， 而y ＝⎝⎛⎭⎫16－1t (1－t ) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋16t ≤17－21t·16t ＝9， 当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S . 则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12. ∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12. ∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx 时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18 ① 又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V小时，∴R ＝1V ⎝⎛⎭⎫3100V 3＋480＝3100V 2＋480V ＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V · 240V ＝36.当且仅当3100V 2＝240V，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小． 11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比．即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r ＝2cos θ， ∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0<θ<π2)，∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ即tan 2θ＝12，tan θ＝22时取等号，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2米时，E 最大．。