关于矩阵的可逆性探讨(1)(可编辑修改word版)

矩阵可逆性总结矩阵的可逆性摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。

关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵正文：一、逆矩阵的定义：因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。

只要能求出除数a 的倒数a ?1使aa ?1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a ?1。

而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。

在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。

如果能找到一个A ?1满足条件A ?1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A ?1就得到A ?1AX =A ?1B 从而X =A ?1B 。

如果这个A ?1还满足条件AA ?1=I ,则A (A ?1B )=B ,X =A ?1B 就是AX =B 的唯一解。

类似地，如果上述A ?1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA ?1。

所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。

表示成B=A 1-二、矩阵可逆的等价条件:1、A 可逆?F ∈?B ,使得I AB =;（定义法）2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;3、若0≠A ，则方阵A 可逆;4、n 级矩阵A 可逆?矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；5、n 级矩阵A 可逆?A 的行向量组线性无关;6、n 级矩阵A 可逆?A 的列向量组线性无关;7、n 级矩阵A 可逆?A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆?齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.三、逆矩阵的性质：1、逆的唯一性：假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。

矩阵可逆和不可逆的条件《矩阵可逆和不可逆的条件》话说我有个朋友叫小李，他在大学学线性代数的时候，被矩阵可逆和不可逆这事儿搞得晕头转向的。

有一天，他拿着书本跑到我跟前，一脸愁苦地跟我说：“哥们儿，这矩阵的可逆不可逆到底咋判断啊？感觉就像和一个神秘对手下棋，完全不知道对方的底细。

”这就引出了咱们今天的主题——矩阵可逆和不可逆的条件。

首先呢，从最基本的概念说起。

对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）来说，如果存在一个同阶的方阵，使得这两个矩阵相乘，不管是按哪种顺序乘起来结果都得到单位矩阵，那这个矩阵就是可逆的。

能找到这样的一个“搭档”的矩阵可不容易。

比如说一个二阶矩阵，如果它的行列式的值不为零，那它就是可逆的。

这里行列式可就像一个矩阵的“身份证”，行列式的值等于矩阵主对角线元素之积减去副对角线元素之积。

以矩阵\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)为例，如果\(ad -bc\neq0\)，那\(A\)就是可逆矩阵。

那要是行列式等于零呢？这矩阵就不可逆了。

为什么会这样呢？咱们可以想象每个矩阵都是一个特定的线性变换。

可逆矩阵对应的线性变换是可以“还原”的，就好像把东西打乱了又能按照规则重新整理好一样。

而不可逆矩阵对应的线性变换就像是把东西弄丢了一部分，再也还原不回去了。

再深入一点，如果一个矩阵是奇异矩阵（也就是不可逆矩阵），那它的列向量或者行向量是线性相关的。

啥是线性相关呢？就好比一个足球队里有好几个队员，结果其中一个队员总是和其他队员有某种固定的组合关系，他自己单独的作用不大，有点像“多余”的人一样。

比如矩阵\(B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\)，第二行就是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍，这列向量或者行向量就线性相关了，这个矩阵就是不可逆的。

《一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性》篇一一、引言在矩阵理论中，Toeplitz矩阵是一种特殊的方阵，其每一主对角线上的元素都是常数或者满足某种特定规律。

在各种科学和工程领域中，带状无穷Toeplitz矩阵作为一种重要的数学模型，经常被用来描述某些物理现象或过程。

本文主要研究一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性，这对于许多需要运用此类矩阵的领域具有实际意义。

二、带状无穷Toeplitz矩阵的描述带状无穷Toeplitz矩阵是指一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素按照某种规律排列，且该规律具有带状特性。

这类矩阵在数学建模和数值计算中有着广泛的应用。

我们主要研究的是一类具有特定结构的带状无穷Toeplitz矩阵，其主对角线上的元素不仅具有带状特性，还满足一定的数值条件。

三、可逆性的基本概念及性质在矩阵理论中，如果方阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的。

可逆矩阵在数学和工程领域中具有广泛的应用，如线性方程组的求解、控制系统设计等。

对于带状无穷Toeplitz矩阵而言，其可逆性是研究其性质和应用的重要基础。

四、一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性分析（一）一般情况下的可逆性分析对于一类带状无穷Toeplitz矩阵，其可逆性受到许多因素的影响，如矩阵的元素分布、元素值的大小等。

在一般情况下，如果这类矩阵的元素满足一定的条件，如所有元素均不为零或具有特定的数值关系，则其可逆性可以通过一定的数学方法进行验证和分析。

（二）特殊情况下的可逆性分析在特殊情况下，一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性可能受到更严格的限制。

例如，当矩阵的某些元素为零或元素间的数值关系不满足一定条件时，其可逆性可能受到影响。

此时，需要采用更复杂的数学方法进行深入的分析和研究。

五、可逆性的应用及实例分析（一）应用领域一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性在许多领域都有广泛的应用，如信号处理、控制系统设计、图像处理等。

在这些领域中，带状无穷Toeplitz矩阵被用来描述某些物理现象或过程，其可逆性对于解决实际问题具有重要意义。

《一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性》篇一一、引言Toeplitz矩阵作为一种特殊的矩阵形式，在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

其中，带状无穷Toeplitz矩阵作为Toeplitz矩阵的一种特殊形式，其可逆性研究具有重要的理论意义和应用价值。

本文将重点探讨一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性，并对其进行深入研究。

二、带状无穷Toeplitz矩阵的定义及性质带状无穷Toeplitz矩阵是一种特殊的矩阵，其元素在某条带状区域内呈周期性分布。

具体地，对于一类带状无穷Toeplitz矩阵，其上三角（或下三角）部分的元素呈现出特定的周期性变化规律。

这种矩阵具有独特的数学性质，如循环性、周期性等。

三、可逆性的基本理论在讨论带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性之前，我们需要了解一些基本理论。

可逆矩阵是指存在逆矩阵的方阵。

一个矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为零。

对于带状无穷Toeplitz矩阵，由于其特殊的结构，其行列式的计算相对复杂。

然而，我们可以通过分析其元素的变化规律，结合相关数学理论，推导出其可逆性的条件。

四、一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性分析针对一类带状无穷Toeplitz矩阵，我们首先分析其元素的变化规律。

根据其特殊的带状结构，我们可以将矩阵划分为若干个小的块状区域。

然后，通过分析这些块状区域内元素的周期性变化规律，我们可以推导出矩阵可逆的条件。

具体地，我们需要考虑矩阵的行列式是否为零，以及矩阵是否满足其他可逆性的条件。

在分析过程中，我们可以利用一些已知的数学结论和定理，如行列式的计算方法、矩阵的秩等。

同时，我们还需要结合具体的矩阵形式和元素变化规律进行推导和分析。

五、结论与展望通过对一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性进行分析，我们可以得出以下结论：在一定条件下，这类带状无穷Toeplitz矩阵是可逆的。

这些条件包括元素的周期性变化规律、行列式不为零等。

同时，我们还发现这类矩阵的可逆性与元素的分布和取值密切相关。

矩阵的可逆性摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。

关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文：一、逆矩阵的定义：因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。

只要能求出除数a 的倒数a −1使aa −1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a −1。

而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。

在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。

如果能找到一个A −1满足条件A −1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A −1就得到A −1AX =A −1B 从而X =A −1B 。

如果这个A −1还满足条件AA −1=I ,则A(A −1B)=B ,X =A −1B 就是AX =B 的唯一解。

类似地，如果上述A −1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA −1。

所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。

表示成B=A 1-二、矩阵可逆的等价条件:1、A 可逆⇔F ∈∃B ,使得I AB =;（定义法）2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;3、若0≠A ，则方阵A 可逆;4、n 级矩阵A 可逆⇔矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；5、n 级矩阵A 可逆⇔A 的行向量组线性无关;6、n 级矩阵A 可逆⇔A 的列向量组线性无关;7、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆⇔齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.三、逆矩阵的性质：1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。

《一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性》篇一一、引言在矩阵理论中，Toeplitz矩阵是一类特殊的方阵，其元素具有特定的模式，即每条对角线上的元素具有相同的索引。

而在众多的Toeplitz矩阵中，带状无穷Toeplitz矩阵因其独特的结构和性质，在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将重点探讨一类带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性，分析其可逆的条件和性质。

二、带状无穷Toeplitz矩阵的定义带状无穷Toeplitz矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其元素按照一定的规律排列，且在无穷多个维度上延伸。

这类矩阵通常在信号处理、概率论、微分方程等领域中有所应用。

三、可逆性的基本概念在矩阵理论中，一个方阵A可逆，当且仅当存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

此时，我们称B为A的逆矩阵。

一个可逆的矩阵通常具有良好的数学性质和实际意义，例如它能够描述线性方程组的解的存在性和唯一性。

四、带状无穷Toeplitz矩阵的可逆性对于一类带状无穷Toeplitz矩阵，其可逆性取决于多种因素。

首先，这类矩阵的元素应满足一定的规律性，以确保其具有良好的数学性质。

其次，这类矩阵的阶数或大小（即维数）对于其可逆性也具有重要影响。

另外，还需考虑其他相关因素，如矩阵的系数等。

四、一、可逆性的基本条件针对一类带状无穷Toeplitz矩阵，其可逆性的基本条件主要包括以下几点：1. 元素规律性：矩阵的元素应按照一定的规律排列，以确保其具有稳定的数学性质。

这种规律性通常与矩阵的生成方式、系数等因素有关。

2. 阶数和大小：对于方阵而言，其阶数或大小对于可逆性具有重要影响。

然而，对于带状无穷Toeplitz矩阵，由于其是无穷维的，因此阶数和大小的概念需重新定义和考虑。

一般来说，当矩阵在足够大的维度上满足一定条件时，可保证其可逆性。

3. 系数条件：除了元素规律性和阶数大小外，矩阵的系数也是影响其可逆性的重要因素。

有关求可逆矩阵的讨论逆矩阵的定义：对于数域P 上的矩阵A ，如果有数域P 上的矩阵B ，使得AB =AB =E ，则称A 为可逆的（或非奇异的），而B 是A 的逆矩阵。

求逆矩阵的方法： 方法一用伴随矩阵法求逆矩阵，即若A ≠0,则A 可逆，且A AA*11=-例：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 。

问当a,b,c,d 满足什么条件时A 可逆？当A 可逆时，求A 1-， 解 A 可逆，当且仅当A =ad-bc ≠0.设ad-bc ≠0,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-AA A A AA 2212211111 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1。

这个方法在理论上很有用，在实际计算中常用于2阶方阵。

方法二设A ,B P n n ⨯∈，若AB =En，则A 与B 都可逆，并且A 1- = B ，B1- = A ，（设A,B 是数域P 上的n 阶方阵，则AB 为退化的充分必要条件是A ，B 至少有一个是退化的。

）例 已知A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---7600054000320001，且B = ()()A E A E -+-414,求()B E +-41。

解E 4+B = E4+()()A E A E -+-414= ()()A E A E ++-441+()()A E A E -+-414=()E A E 4124+- = 2()A E +-41，故()B E +-41=21()A E +4 =21⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡76000540003200011000010********1= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4300032000210001. 方法三 初等变换法。

这是最常用的求矩阵的方法，与这个方法有关的定理为：可逆矩阵经过初等变换所得到的行简化阶梯矩阵一定是单位矩阵。

例 设A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213324，求A 1-解 不必先求A 的行列式A ，直接对 []E A 3作初等行变换。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.预备知识 (1)2.可逆矩阵的定义及性质 (1)2.1 可逆矩阵的定义 (1)2.2 可逆矩阵的性质 (2)3.可逆矩阵的判别方法及求逆矩阵的方法 (3)3.1 可逆矩阵的判别方法 (3)3.2 求逆矩阵的方法 (5)3.2.1 公式法 (5)3.2.2矩阵分块法 (6)3.2.3行（列）初等变换法 (7)参考文献 (7)对可逆矩阵的探讨学生姓名：郭来鹏 学号：20085034009 数学与信息科学学院 信息与计算科学专业 指导教师：杨金根 职称：讲师摘 要:本文给出了可逆矩阵的定义和性质,讨论了可逆矩阵的判定方法,并结合例题分析了可逆矩阵求逆的方法.关键词:可逆矩阵;伴随矩阵;单位矩阵Study on the Invertible MatrixAbstract : In this article, we give the definition and the properties of the invertible matrix ,discuss the decision methods that a matrix is invertible matrix or not, and analysis the methods of calculating the inverse matrix combined with some examples. Key Words: invertible matrix; adjoint matrix; unitary matrix前言在复数域中有加、减、乘、除四种运算,并且加与减、乘与除互为逆运算;在矩阵中我们已经学习了矩阵的加法、减法、乘法,而且知道加法与减法在矩阵中也互为逆运算,那么矩阵的乘法是否也存在逆运算呢?这就是本文我们要探讨的.1.预备知识定义 1 设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211中元素的ij a 代数余子式,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A212222111211*称为的矩阵A 伴随矩阵,且有E A A A AA ==**,(按一行展开即可得).2.可逆矩阵的定义及性质2.1 可逆矩阵的定义设矩阵A 是n 阶方阵,若存在n 阶方阵B 使得E BA AB ==,则称A 为可逆矩阵,B 为A 的逆矩阵.记作B A =-1. 2.2 可逆矩阵的性质性质1 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵1-A 可逆,且A A =--11)(.证明 因为矩阵A 可逆,所以A A E AA 11--==,所以矩阵1-A 可逆.设1-=A B 则E B A =-1,A B =-1,即A A =--11)(.性质2 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,当0≠k 时,则kA 可逆,且111)(--=Ak kA .证明 因为矩阵A 可逆，所以存在矩阵B 使E BA AB ==，即1-=A B ，又因为0≠k ,所以kE kBA kAB ==,所以11()()()()kA B B kA E kk⨯=⨯=,所以kA 可逆,且1111)(--==AkB kkA .性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵T A 可逆,且11()()T T A A --=. 证明 因为矩阵A 可逆,且11()()T T T T A A A A E E --===,所以矩阵T A 可逆 且11()()T T A A --=.性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,则11A A --=.证明 因为矩阵A 可逆,所以1A A E -=,所以111AA A A E --===, 所以11AA-=,即11A A --=.性质5 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若0A B =,则0B =.证明 因为矩阵A 可逆,所以它的逆矩阵1-A 存在,使0A B =两边都左乘1-A 可得1100A AB A --==,又因为1AA E -=,所以0E B =,即0B =.性质6 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若A B A C =,则B C =.证明 因为矩阵A 可逆,所以1-A 存在,因为使A B A C =两边都左乘1-A 可得11A AB A AC--=,所以E B E C =,即B C =.性质7 若矩阵A B 、均为可逆矩阵,则矩阵A B 可逆且111()AB B A ---=.证明 因为矩阵A B 、为可逆矩阵,所以它们的逆矩阵11A B --、均存在,又由于1111111()()()()BA AB BA AB B A A B B B E-------====111111()()()()AB B A AB B A A B B A AA E ------====.所以1111()()()AB B A B A E ----==,所以矩阵A B 可逆且111()AB B A ---=.推论 若矩阵12k A A A 、、、均为n 阶可逆矩阵,则矩阵12k A A A 可逆,且11111221k kA A A A A A ----= （）.性质8 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,则矩阵A 的逆矩阵是唯一的.证明 假设矩阵B C 、均为矩阵A 的逆矩阵,则有E BA AB ==,A C C A E ==.于是有()()B BE B AC BA C EC C =====,所以矩阵A 的逆矩阵唯一.3.可逆矩阵的一些充要条件及求逆矩阵的方法3.1 可逆矩阵的充要条件定理1设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得E BA AB ==.定理2 设矩阵A 为n 阶矩阵,则以下几个命题是等价的: (1)矩阵A 可逆;(2)矩阵A 的行列式0A ≠; (3)矩阵的A 伴随矩阵*A 可逆;(4)矩阵的A 伴随矩阵*A 的行列式*0A ≠.证明 (1)(2)⇒ 因为矩阵A 可逆,所以存在n 阶矩阵使E BA AB ==,因此1A B A B E ===,所以0A ≠.(2)(1)⇒ 当0A ≠时,因为**AA A A A E==,所以**||AAAE A A A==,所以存在||*A A使得**||AAAE A A A==,所以矩阵A 可逆.(2)(3)⇒ 因为**AA A A A E==,所以**nAA A A A E A ===,又因为0A ≠,所以0nA≠,所以*0A ≠,由(2)(1)⇒的过程可知矩阵A 的伴随矩阵*A 可逆.(3)(2)⇒ 因为矩阵*A可逆,所以*0A ≠,且存在*1()A -使**1()A A E -=成立,则一定有0A ≠(否则假设0A ≠,因为[]0)()()(1*1**1**=====---A E A A AAA A A AE A ,由此可以推得矩阵A 为零矩阵,从而可得*A 也为零矩阵,则*0A =.这与*0A ≠相矛盾,所以0A ≠.(3)(4)⇒和(4)(3)⇒与(1)(2)⇒和(2)(1)⇒的证明方法一样.定理3 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得)(E BA E AB ==. 证明 (必要性)矩阵A 可逆时,由定义可知存在n 阶矩阵B 使得E BA AB ==,所以存在n 阶矩阵B 使得E AB =.(充分性)由E AB =两边同时取行列式可得1===E B A AB ,所以0A ≠,由定理2可知矩阵A 可逆.定理4 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 为满秩矩阵(即n A rank =)(). 证明 因为矩阵A 为满秩矩阵等价于0A ≠,而由定理2知0A ≠又等价于矩阵A 可逆,因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可逆.定理5 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 等价(对矩阵A 施行初等变换可以使矩阵A 转化为单位矩阵E ).证明 (必要性)因为矩阵A 可逆,所以0A ≠.由定理4知n A rank =)(,又因为n E rank =)(,所以n E rank A rank ==)()(,即矩阵A与单位矩阵E 是等价的.(充分性)由矩阵A 与单位矩阵E 等价可得n E rank A rank ==)()(,所以由定理4知矩阵A 可逆.定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组B AX =的解唯一.证明 齐次线性方程组B AX =的解唯一等价于0A ≠,又等价于矩阵A 可逆. 定理7 矩阵A 可逆的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方B AX =的解唯一.本命题的方法和道理与定理7是一样的.定理8 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 可表示为一些初等矩阵的乘积. 证明 实行初等行变换相当于在矩阵的左边或右边上一个初等矩阵,所以定理4也可以修改为:矩阵A 可逆的充要条件是存在一些初等矩阵l T T T 、、 21和k F F F 、、 21使得EF F AF T T T k l = 2121.又因为初等矩阵都存在可逆矩阵,所以1112111211------=F F F T T T A kl ，因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，所以矩阵A 可表示为一些初等矩阵的乘积.即矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 可表示为一些初等矩阵的乘积.定理9 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的特征值均不为0.证明 (必要性)假设矩阵A 有一个特征值为01=λ,则01=-A E λ,又因为A A A E n)1(1-=-=-λ,所以0A =,由此可得矩阵A 不可逆这与矩阵A 可逆相矛盾,所以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不为0.(充分性)设矩阵A 的全部特征值为n λλλ、、、 21(其中),,2,10(n i i =≠，λ),因为A n =λλλ 21,而021≠n λλλ ,所以|A|≠0,因此矩阵A 可逆. 3.2 求逆矩阵的方法 3.2.1 公式法 若0A ≠,则||*1A AA=-.利用*A 和A 即可求出1-A .例1 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011102321A ,求出矩阵A 的逆矩阵. 解 用)3,2,1;3,2,1(==j i a ij 表示矩阵A 中的各个元素,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则10110)1(1111-=-=+A 10112)1(2112-=--=+A 21102)1(3113=--=+A30132)1(1221=-=+A 3131)1(2222=--=+A 31121)1(3223-=--=+A2132)1(1331=-=+A 51231)1(2332=-=+A 4221)1(3333-=-=+A且3=A而伴随矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=432531231*A ,所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-341323513132131*1A A A . 3.2.2 矩阵分块法对某一类矩阵作适当的分块,可以将高阶矩阵的求逆转化为低阶矩阵的求逆,从而简化计算,但要本着分块后的矩阵越简单越好的原则对矩阵进行分块.例2 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B CAD 0,其中B A 、分别是k 级、r 级的可逆矩阵,C 是kr ⨯级矩阵, 0是零矩阵,求1D -.解 因为,0≠=B A D 所以D 可逆.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222112111X X X X D,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r kE E X X X X B C A00022211211这里k E 和r E 分别表示k级和r 级单位矩阵,乘出后比较两边等式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==rk E BXCXBX CX AX E AX 22122111121100由一式、二式得,00,112111===--A X A X 代入四式后得122-=B X . 再代入三式可得11121--=-=CACXBX ,所以1121---=CA B X ,因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110B CA B A D. 3.2.3 行（列）初等变换法任何一个可逆矩阵A ,可经过一些行（列）初等变换转化为单位矩阵,即)(2112E Q Q AQ E A P P P t l == 其中)),,2,1()(,2,1(t i Q l i P i i ==都是初等矩阵,于是112112()l t A P P P A Q Q Q --== 即()()()11212-=−−−−→−AEE P P P AP P P E Al l 一些初等变换)(12121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-A E QQ EQ Q Q AQ E A t t 一些初等变换. 例3 我们仍然采用例1的题目. 解⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-143214300125400013211013300125400013211011010102001321⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→14321430324340403213100114321430320434040431021 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→34132103513101032131001,所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-3413235131321311A . 通过对以上三种方法的介绍,可以得知针对第一种方法,当矩阵的阶数≤3时,采用本方法比较容易,然而当阶数比较大时就比较麻烦了;对于第二种方法,当分块后矩阵较为简单时,可以采用;与前两种方法相比第三种方法较为容易,而这种方法正是我们求逆矩阵时通常用的方法.参考文献:[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,2003.[2] 田孝贵 等. 高等代数[M]. 首都师范大学出版社,1994. [3] 陈维新. 线性代数[M]. 北京:科学出版社,2004.[4] 杨奇、田代军、韩维信. 线性代数与解析几何[M]. 天津大学出版社,2002. [5] 唐亚楠. 高等代数同步辅导[M]. 中国矿业大学出版社,2006. [6] 王向东、周士藩. 高等代数常用方法[M]. 北京:科学出版社,1989.。