中考数学总复习中档题精选3

中档专题常考相似模型相交弦定理和勾股定理1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为_________备注：1.设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．2.用相交弦定理，求出QD中利用勾股定理求出m与r的关系，即用r表示出m，即可3.在ODQ表示出所求比值．垂径定理及推论2．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（垂径定理推论）（2）求证：BD2＝AC•BQ；（相似三角形的判定）（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+16＝0的两个实根，且tan∠PCD＝，求⊙O 的半径．（三角函数及垂径定理）备注1.欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；2.连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD＝BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；3.根据题意得到AC•BQ＝16，得到BD＝4，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE＝3DE，根据勾股定理得到BE＝，设OB＝OD＝R，根据勾股定理即可得到结论；K型相似3．如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．已知DE•OB＝40，求AD•BC的值；备注：由DE•OB＝40可以想到比例式，由题意可以证明△DEC∽△OCB，由此得DE•OB＝OC•DC＝40，则OC＝2，再证△ADO∽△OCB即可；4．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B 作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．当t为何值时，BC+CA取得最小值．备注：证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t＝0时，值最小．直线与抛物线背景下的相似三角形5.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝x2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝x2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．∠AFB＝90°，求m的值；备注：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线交于A、B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；备注：作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；解直角三角形7.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE、CE，作DM⊥AG于M．若△BCE是等边三角形，连DE，△ADE 的面积为25，求BG长．备注：过点A作AF⊥BE，垂足为F．由（1）可知AG＝MD＝GE，然后依据三角形ADE 的面积为25可求得DM的长，然后再证明∠ABF＝30°，设AB＝BE＝a，则FB＝a，EF＝（+2）a，在Rt△AFE中，依据勾股定理可得到4a2＝100（2﹣），即AB2＝100（2﹣），最后，在Rt△ABG中，依据勾股定理求解即可．8.已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连结P A、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若P A＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是．销售利润问题某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？购买分配类问题湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？二次函数应用（分段函数，分类讨论）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：销售量n（株）n＝﹣x+50销售单价m（元/株）当1≤x≤20时，m＝当21≤x≤30时，m＝10+（1）①请将表中当1≤x≤20时，m与x间关系式补充完整；②计算第几天该果苗单价为25元/株？（2）求该基地销售这种果苗30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？压轴专题直线与抛物线相交（面积问题）1.若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c ﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”，已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．的值是定值．理由如下：解：不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△P AB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|B x﹣A x|＝•|4a|•4＝8•|a|，∴＝8，的值是定值．直线与圆（抛物线为背景）2．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝2x+m与直线BC交于点P，与抛物线交于点M、N，若以点P为圆心、MN为半径的圆恰与x轴相切，求m的值．备注：抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6，则C（0，6），易得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，解方程组得P（，），设M（x1，2x1+m），N（x2，2x2+m），作PH⊥x轴于H，如图，x1、x2为方程2x2﹣8x+6＝2x+m的两根，则x1+x2＝5，x1x2＝，利用完全平方公式变形得到MN＝＝，接着利用切线的性质得||＝，然后解方程即可得到m的值．3.含参的计算（分类讨论）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．备注：由条件可得出∠ADC＝∠ABC＝90°，求得D（0，2），代入A，D两点的坐标，可求出抛物线的解析式为y＝ax2+（2a+1）x+2，分两种情况考虑：在x＝2时，函数y＝ax2+（2a+1）x+2取得最大值为3，可求得a＝﹣，当﹣2≤x≤2时，在顶点处取得最大值，可求出a＝﹣1﹣．4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△F AB的面积为S，问是否存在点C使得2S1•S2＝a•S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．备注：1.构建一次函数，利用方程组求出点F坐标，再根据2S1•S2＝a•S，构建方程求出m 即可解决问题；2.参考答案设L1：y＝a（x+4）（x﹣m）＝ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y＝a（x﹣4）（x﹣m）＝ax2﹣（4+m）ax+4ma，∴D（，﹣a），E（，﹣a），∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a（m+4），直线BF的解析式为y＝﹣x+2a（m﹣4），由，解得，∴F（﹣m，），∵2S1•S2＝a•S，∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×＝a××8×[﹣a]，整理得：（m2﹣16）2＝64，∴m2﹣16＝±8，解得m＝±2或±2（舍弃），∴C（2，0）或（﹣2，0）；数形结合5．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是___________________备注：首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．6.已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为．备注：y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．要先画出函数的图象根据数形结合解题。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中，正确的是：A. a<0，b<0，c<0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a>0，b<0，c>02. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，且AD=6cm，AB=8cm，则BC的长度为：A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm3. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，-3）和（-1，5），则下列选项中，正确的是：A. k=2，b=-1B. k=2，b=1C. k=-2，b=-1D. k=-2，b=14. 若a，b，c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，则b的值为：A. 6B. 7C. 8D. 95. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为Q，则Q的坐标为：A. （3，2）B. （2，3）C. （-3，-2）D. （-2，-3）6. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则前n项和Sn为：A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)7. 若x^2+px+q=0的判别式Δ=0，则方程的根的情况是：A. 两个实数根B. 两个相等的实数根C. 两个虚数根D. 无解8. 在平面直角坐标系中，点A（-1，2），B（3，-4），则线段AB的中点坐标为：A. （1，-1）B. （1，2）C. （-1，-1）D. （-1，2）9. 若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为：A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=2x-3，若x=4，则y=______。

专题09填空中档题1．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB BC ⊥，DE EF ⊥， 2.47DE m =，则AB =m ．2．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，则x =（用百分数表示）．3．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克．4．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点(3,1)A 为端点的四条射线AB ，AC ，AD ，AE 分别过点(1,1)B ，点(1,3)C ，点(4,4)D ，点(5,2)E ，则BAC∠DAE ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．5．（2020•杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=．6．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．7．（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C =．8．（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式．9．（2018•杭州）如图，AB 是O 的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作DE AB ⊥，交O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则DFA ∠=．10．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间t （小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v （单位：千米/小时）的范围是．11．（2022•上城区一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为．12．（2022•上城区一模）如图1一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上．若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x轴和y轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为．13．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120︒和240︒．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是．14．（2022•拱墅区一模）如图，AB是O的切线，C为切点．若的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是OPA=，18sinP=．则PC=．315．（2022•西湖区一模）直角坐标系中的四个点：(1,2)D，则AOBC，(8,1)B，(4,3)A，(3,2)∠（填∠COD “>”、“=”、“<”中的一个）．16．（2022•西湖区一模）如图，点A，B分别表示数3x-+，x，则x的取值范围为．17．（2022•钱塘区一模）在Rt ABC=，则tan A=．AB AC∆中，90C∠=︒．若3518．（2022•钱塘区一模）已知点P 是O 外一点，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连结OA ，OB ．若O 的半径为3，劣弧AB 的长为2π，则P ∠的度数为．19．（2022•淳安县一模）如图，O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =，30APO ∠=︒，则弦AB 的长为．20．（2022•淳安县一模）如图，在每个小正方形边长都为1的55⨯网格中，有四个点A ，B ，C ，D ，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．21．（2022•富阳区一模）甲、乙、丙、丁四人围坐在一张方桌周围（共四个座位），甲、乙两人坐在相对位置的概率是．22．（2022•富阳区一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数(01)k k 确定实际销售价格为()c a k b a =+-，这里的k 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b ac ac a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于．23．（2022•临安区一模）在等腰ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，以BC 边的中点O 为圆心12BC 长为半径画圆，该圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，P 是圆上一动点（与点D ，E 不重合），连接PD ，PE ，则DPE ∠=．24．（2022•临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有种购买方案．25．（2022•钱塘区二模）如图，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，AO AB =，函数(0)ky x x=>的图象分别交AO ，AB 于点C ，D ，若3OC =，1BD =，则OA 的长为；当OD AB ⊥时，k 的值为．26．（2022•钱塘区二模）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、DC 的中点，BF CD ⊥，已知8BF =，5EF =，则ABCD 的周长为．27．（2022•西湖区校级一模）已知，O 的直径10CD =，弦8AB =，AB CD ⊥，垂足为M ，则DM 的长为．28．（2022•西湖区校级一模）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为．29．（2022•萧山区校级一模）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．30．（2022•萧山区校级一模）已知反比例函数的表达式为12my x+=，1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 是反比例函数图象上两点，若120x x <<时，12y y <，则m 的取值范围是．31．（2022•萧山区一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．32．（2022•萧山区一模）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数(1)2(1)y a x a =+-≠-图象上不同的两点．（1）若12122()y y x x -=-，则a =；（2）若1212()()0x x y y --<，则a 的取值范围是．33．（2022•滨江区一模）在ABC ∆中，40B ∠=︒，34C ∠=︒，以B 为圆心，以BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ，则DAC ∠=度．34．（2022•滨江区一模）有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为．35．（2022•上城区二模）已知方程230x x m -+=有两个实数根，则m 所取的值可以是．（填一个即可）36．（2022•上城区二模）已知点A 和点B 为平面直角坐标系内两点，且点A 的坐标为(1,1)，将点A 向右平移3个单位至点B ，则线段AB 上任意一点的坐标可表示为．37．（2022•余杭区一模）如图，已知//AB CD ，若25C ∠=︒，16F ∠=︒，则A ∠的度数为．38．（2022•余杭区一模）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b ab a b =++⊗，例如23232311=⨯++=⊗．若y 关于x 的函数(1)(1)y kx x =+-⊗的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为．39．（2022•富阳区二模）如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是．40．（2022•富阳区二模）如图，直线y kx b =+经过点(1,3)A -，5(2B -，0)两点，则不等式组03kx b x <+<-的解集为．41．（2022•西湖区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，B 为切点．若8AB =，3tan 4BAC ∠=，则BC 的长为．42．（2022•西湖区校级模拟）如图，已知(0,4)A -、(3,4)B -，C 为第四象限内一点且70AOC ∠=︒，若20CAB ∠=︒，则OCA ∠=．43．（2022•富阳区一模）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，点M 是 CBD 上任意一点，2AH =，4CH =，则cos CMD ∠的值为．44．（2022•富阳区一模）已知二次函数22(1)20221y a x ax =+-+的图象经过1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，则13y y +22y （选择“>”“<”“=”填空）．45．（2022•西湖区校级二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，在AD 上取一点E ，连结CE ，使得AE CE =，若20ECD ∠=︒，则B ∠=．46．（2022•西湖区校级二模）已知点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．则m的取值范围为．47．（2022•西湖区校级模拟）每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”收入奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表：星期一二三四五六日收入15212727213021则这组数据的众数是，中位数是．48．（2022•西湖区校级模拟）如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB 和线段CD 表示两根电线杆，线段AD 和BC 表示两根拉紧的铁丝，AD 和BC 交于点P ．测量得4AB =米，点P 距地面的高度为3米，则CD 的长为米．49．（2022•下城区校级二模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是．50．（2022•下城区校级二模）如图，已知AB 是O 的直径，P 为O 外BA 延长线上一点，PC 切O 于C ．若1PA =，5PB =，则PC 的值为．51．（2022•杭州模拟）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为4， AC 的长为2π，则ABC ∠的大小是．52．（2022•杭州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．53．（2022•江干区校级模拟）圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为．54．（2022•江干区校级模拟）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为．55．（2022•拱墅区模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．56．（2022•拱墅区模拟）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2/km h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离()t h的关系如图所示，则乙出发小时后追上甲．s km与时间()专题09填空中档题1．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB BC ⊥，DE EF ⊥， 2.47DE m =，则AB =m ．【答案】9.88【详解】 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．//AC DF ∴，ACB DFE ∴∠=∠，AB BC ⊥ ，DE EF ⊥，90ABC DEF ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∴∆∽△Rt DEF ∆，∴AB BC DE EF =，即8.722.47 2.18AB =，解得9.88AB =，∴旗杆的高度为9.88m ．故答案为：9.88．2．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，则x =（用百分数表示）．【答案】30%【详解】新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，依题意得：2100(1)169x +=，解得：10.3x =，2 2.3x =-（不合题意，舍去）．0.330%=，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．故答案为：30%．3．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克．【答案】24【详解】这5千克什锦糖果的单价为：(302203)524⨯+⨯÷=（元/千克）．故答案为：24．4．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点(3,1)A 为端点的四条射线AB ，AC ，AD ，AE 分别过点(1,1)B ，点(1,3)C ，点(4,4)D ，点(5,2)E ，则BAC∠DAE ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．【答案】=【详解】连接DE ，由上图可知2AB =，2BC =，ABC ∴∆是等腰直角三角形，45BAC ∴∠=︒，又AE ==同理可得DE ==AD ==则在ADE ∆中，有222AE DE AD +=，ADE ∴∆是等腰直角三角形，45DAE ∴∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，故答案为：=．5．（2020•杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=．【答案】22【详解】AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，1sin 3BC BAC AC ∠== ，∴设BC x =，3AC x =，AB ∴===，12OB AB ∴==，tanBC BOC OB ∴∠===，故答案为：22．6．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．【答案】58【详解】根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是105168=．故答案为：58．7．（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C =．【答案】32或255【详解】若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以BC ==，所以cos 22BC C AC x ===；若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以BC ==，所以cos5AC C BC ===；综上所述，cos C 的值为32或255．故答案为2或5．8．（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式．【答案】1y x =-+（答案不唯一）【详解】设该函数的解析式为y kx b =+，函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，∴01k b b +=⎧⎨=⎩解得：11k b =-⎧⎨=⎩，所以函数的解析式为1y x =-+，故答案为：1y x =-+（答案不唯一）．9．（2018•杭州）如图，AB 是O 的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作DE AB ⊥，交O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则DFA ∠=．【答案】30︒【详解】 点C 是半径OA 的中点，12OC OD ∴=，DE AB ⊥ ，30CDO ∴∠=︒，60DOA ∴∠=︒，30DFA ∴∠=︒，故答案为：30︒．10．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间t （小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v （单位：千米/小时）的范围是．【答案】6080v 【详解】根据图象可得，甲车的速度为120340÷=（千米/时）．由题意，得2402340v v ⨯⎧⎨⨯⎩，解得6080v ．故答案为：6080v．11．（2022•上城区一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为．【答案】1080︒【详解】(82)1801080-⨯︒=︒．故答案为：1080︒．12．（2022•上城区一模）如图1一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上．若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x 轴和y 轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为．【答案】2y x=【详解】设标准纸的宽为12，则第一次对开后，A 的坐标为1(2，22，第二次对开后，B 的坐标为1(4，24，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上，∴设这条直线的解析式为y kx b =+，把A 、B 的坐标代入得1222124k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得20k b ⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线的函数表达式为2y x =．故答案为：2y =．13．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120︒和240︒．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是．【答案】13，49【详解】由图得：白色扇形的圆心角为120︒，故若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是：12013603=，则转动一次，指针落在红色区域的概率是：12133-=，故若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是：1242339⨯⨯=．故答案为：13，49．14．（2022•拱墅区一模）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 延长线上的一点，PC 是O 的切线，C 为切点．若8PA =，1sin 3P =．则PC =．【答案】42【详解】连接OC ，PC 是O 的切线，OC PC ∴⊥，在Rt OCP ∆中，1sin 3OC P OP ==，则33OP OC OA ==，8PA = ，2OC ∴=，6OP =，22226242PC OP OC ∴=--=，故答案为：4215．（2022•西湖区一模）直角坐标系中的四个点：(1,2)A ，(3,2)B ，(4,3)C ，(8,1)D ，则AOB ∠COD ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．【答案】=【详解】(1,2)A ，(3,2)B ，(4,3)C ，(8,1)D ，OA ∴=，OB =5OC =，OD =，2AB =，CD =，∴OA OB ABOC OD CD==，AOB COD ∴∆∆∽，AOB COD ∴∠=∠，故答案为：=．16．（2022•西湖区一模）如图，点A ，B 分别表示数3x -+，x ，则x 的取值范围为．【答案】322x <<【详解】由题意得，203x x x <⎧⎨<-+<⎩，解得322x <<．故答案为：322x <<．17．（2022•钱塘区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．若35AB AC =，则tan A =．【答案】43【详解】35AB AC = ，∴35AC AB =，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．设3AC k =，则5AB k =，由勾股定理得，4BC k ==，4tan 3BC A AC ∴==，故答案为：43．18．（2022•钱塘区一模）已知点P 是O 外一点，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连结OA ，OB ．若O 的半径为3，劣弧AB 的长为2π，则P ∠的度数为．【答案】60︒【详解】设劣弧AB 所对的圆心角度数为n ，根据题意可得：32180n ππ⨯=︒，120n =︒，PA ，PB 是O 的切线，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，360909012060P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒．故答案为60︒．19．（2022•淳安县一模）如图，O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =，30APO ∠=︒，则弦AB 的长为．【答案】【详解】连接OB ，过O 作OC AB ⊥于C ，则90OCP ∠=︒，4OP = ，30APO ∠=︒，122OC OP ∴==，在Rt OCB ∆中，由勾股定理得：BC ==，OC AB ⊥ ，OC 过O ，2AB BC ∴==，故答案为：．20．（2022•淳安县一模）如图，在每个小正方形边长都为1的55⨯网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．【答案】【详解】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，则O为BCD∆的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，由勾股定理得OB==．21．（2022•富阳区一模）甲、乙、丙、丁四人围坐在一张方桌周围（共四个座位），甲、乙两人坐在相对位置的概率是．【答案】1 3【详解】画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人坐在相对位置的结果有4种，∴甲、乙两人坐在相对位置的概率为：41 123=，故答案为：1 3．22．（2022•富阳区一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价()b b a>以及常数(01)k k确定实际销售价格为()c a k b a=+-，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b a c ac a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于．【详解】()c a k b a -=- ，()()b c b a k b a -=---，b ac ac a b c--=--，222[()]()()k b a b a k b a ∴-=---，210k k ∴+-=，解得152k -±=，01k << ，k ∴=．23．（2022•临安区一模）在等腰ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，以BC 边的中点O 为圆心12BC 长为半径画圆，该圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，P 是圆上一动点（与点D ，E 不重合），连接PD ，PE ，则DPE ∠=．【答案】130︒或50︒【详解】连接OD ，OE ，40A ∠=︒ ，AB AC =，1(18040)702B C ∴∠=∠=︒-︒=︒，OD OB OC OE === ，70ODB B C OEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，40BOD COE ∴∠=∠=︒，100DOE ∴∠=︒，当点P 在优弧DBE 上时，11502DP E DOE ∠=∠=︒，当点P 在劣弧DE 上时，21180130DP E DP E ∠=︒-∠=︒，130DPE ∴∠=︒或50︒，故答案为：130︒或50︒．24．（2022•临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有种购买方案．【答案】3【详解】设购买篮球x 个，则购买足球(100)x -个，依题意得：4012090(100)10260x x x ⎧⎨+-⎩ ，解得：4042x．又x 为正整数，x ∴可以为40，41，42，∴共有3种购买方案．故答案为：3．25．（2022•钱塘区二模）如图，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，AO AB =，函数(0)k y x x =>的图象分别交AO ，AB 于点C ，D ，若3OC =，1BD =，则OA 的长为；当OD AB ⊥时，k 的值为．【答案】5；2710【详解】如图，过点C 作CE OB ⊥于E ，过点D 作DF OB ⊥于F ，过点A 作AG OB ⊥于点G ，设OB m =，////CE DF AG ∴，12OG BG m ==．90OEC BFD ∴∠=∠=︒，AO AB = ，AOB ABO ∴∠=∠，COE DBF ∴∆∆∽，∴3OE CE OC BF DF BD===．设(,)C a b ，OE a ∴=，CE b =，13BF a ∴=，13DF b =，1(3D m a ∴-，1)3b ， 反比例函数(0)k y x x=>的图象分别交边AO ，AB 于点C ，D ，11()33k ab m a b ∴==-⋅，解得310a m =，1312105EG m m m ∴=-=，11310BF a m ==，191010OF m m m ∴=-=．//CE AG ，:::OC OA CE AG OE OG ∴==，即313::102OA m m =，5OA ∴=．若OD AB ⊥，则90ODB ∠=︒．由射影定理可得2DF OF BF =⋅．∴22191991010100b m m m =⋅=，即910b m =，在Rt OCE ∆中，由勾股定理可得，222OE CE OC +=，22239()()31010m m ∴+=，整理得210m =．2272710010k ab m ∴===．故答案为：5；2710．26．（2022•钱塘区二模）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、DC 的中点，BF CD ⊥，已知8BF =，5EF =，则ABCD 的周长为．【答案】817+【详解】如图，连接AC 、过点C 作//CM BF 交AB 的延长线于点M ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，AD BC =，∴四边形BMCF 为平行四边形，BF CD ⊥ ，90BFC ∴∠=︒，∴四边形BMCF 为矩形，90BMC ∴∠=︒，BM CF =，8CM BF ==，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12EF AC =，5EF = ，10AC ∴=，∴22221086AM AC CM =-=-=，22AB CD CF BM === ，∴243AB AM ==，2CF ∴=，∴222282217BC BF CF =+=+=，∴()(2242178417ABCD C AB BC =+=+=+平行四边形．故答案为：817+27．（2022•西湖区校级一模）已知，O 的直径10CD =，弦8AB =，AB CD ⊥，垂足为M ，则DM 的长为．【答案】8或2【详解】①连接OA ，如图所示：O 的直径10CD =，5OA ∴=，弦8AB =，AB CD ⊥，118422AM AB ∴==⨯=，在Rt AOM ∆中，由勾股定理得：3OM ===，538DM OD OM ∴=+=+=；②连接OA ，如图所示：同①得：3OM =，532DM OD OM ∴=-=-=；综上所述，DM 的长为8或2，故答案为：8或2．28．（2022•西湖区校级一模）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为．【答案】2π-【详解】45C ∠=︒ ，90AOB ∴∠=︒，AOBAOB S S S ∆∴=-阴影扇形29021223602π⨯⨯=-⨯⨯2π=-．故答案为：2π-．29．（2022•萧山区校级一模）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．【答案】【详解】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D，在Rt ABD ∆中，1sin 4B =，4AB =，1sin 414AD AB B ∴=⋅=⨯=，在Rt ADC ∆中，1tan 2C =，121tan 2AD DC C ∴===，AC ∴===，．30．（2022•萧山区校级一模）已知反比例函数的表达式为12m y x +=，1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 是反比例函数图象上两点，若120x x <<时，12y y <，则m 的取值范围是．【答案】12m >-【详解】 反比例函数12m y x +=的图象上两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当120x x <<时，有12y y <，120m ∴+>，解得12m >-，故答案为：12m >-．31．（2022•萧山区一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．【答案】4【详解】设圆锥的母线长为R ，则15232R ππ=⨯⨯÷，解得5R =，∴圆锥的高4=．32．（2022•萧山区一模）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数(1)2(1)y a x a =+-≠-图象上不同的两点．（1）若12122()y y x x -=-，则a =；（2）若1212()()0x x y y --<，则a 的取值范围是．【答案】1，1a <-【1a <-详解】（1）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数图象上不同的两点，12121212(1)2[(1)2](1)()2()y y a x a x a x x x x ∴-=+--+-=+-=-，1a ∴=，故答案为：1．（2）12121212()()(1)()()0x x y y a x x x x --=+--< ，10a ∴+<，1a ∴<-．故答案为：1a <-．33．（2022•滨江区一模）在ABC ∆中，40B ∠=︒，34C ∠=︒，以B 为圆心，以BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ，则DAC ∠=度．【答案】36【详解】AB BD = ，40B ∠=︒，70ADB ∴∠=︒，34C ∠=︒ ，36DAC ADB C ∴∠=∠-∠=︒．故答案为：36．34．（2022•滨江区一模）有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为．【答案】14【详解】画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐2号车的结果数为1，所以两位老师同坐2号车的概率14=．故答案为：14．35．（2022•上城区二模）已知方程230x x m -+=有两个实数根，则m 所取的值可以是．（填一个即可）【答案】2（答案不唯一）【详解】 一元二次方程230x x m -+=有两个实数根，∴△2(3)41940m m =--⨯⨯=->，解得94m <，取2m =．故答案为：2（答案不唯一）．36．（2022•上城区二模）已知点A 和点B 为平面直角坐标系内两点，且点A 的坐标为(1,1)，将点A 向右平移3个单位至点B ，则线段AB 上任意一点的坐标可表示为．【答案】1)(14)m 【详解】如图，点(P m ，1)(14)m ，故答案为：(m ，1)(14)m ．37．（2022•余杭区一模）如图，已知//AB CD ，若25C ∠=︒，16F ∠=︒，则A ∠的度数为．【答案】41︒【详解】25C ∠=︒ ，16F ∠=︒，DEF ∠是CEF ∆的外角，41DEF C F ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，41A DEF ∴∠=∠=︒．故答案为：41︒．38．（2022•余杭区一模）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b ab a b =++⊗，例如23232311=⨯++=⊗．若y 关于x 的函数(1)(1)y kx x =+-⊗的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为．【答案】0或1-【详解】根据新定义得，(1)y kx =+⊕2(1)(1)(1)(1)(1)21x kx x kx x kx x -=+-+++-=+-，即221y kx x =+-，当0k =时，函数为21y x =-，与x 轴仅有一个公共点，符合题意；当0k ≠时，函数221y kx x =+-为二次函数，其图象与x 轴仅有一个公共点，则：△440k =+=，解得1k =-，综上所述，0k =或1-，故答案为：0或1-．39．（2022•富阳区二模）如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是．【答案】1【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意可知：8AD AE ==，45DAE ∠=︒，底面圆的周长等于弧长：4582180r ππ⨯∴=，解得1r =．答：该圆锥的底面圆的半径是1．故答案为：1．40．（2022•富阳区二模）如图，直线y kx b =+经过点(1,3)A -，5(2B -，0)两点，则不等式组03kx b x <+<-的解集为．【答案】512x -<<-【详解】当1x =-时，33y x =-=，∴直线y kx b =+与直线3y x =-交于点(1,3)A -，根据图象可知，不等式组03kx b x <+<-的解集为512x -<<-，故答案为：512x -<<-．41．（2022•西湖区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，B 为切点．若8AB =，3tan 4BAC ∠=，则BC 的长为．【答案】6【详解】AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，3tan 4BC BAC AB ∠== ，3864BC ∴=⨯=．故答案为：6．42．（2022•西湖区校级模拟）如图，已知(0,4)A -、(3,4)B -，C 为第四象限内一点且70AOC ∠=︒，若20CAB ∠=︒，则OCA ∠=．【答案】40︒【详解】如图，过点C 作//CD x 轴，70AOC ∠=︒ ，20COx ∴∠=︒，(0,4)A - 、(3,4)B -，//AB x ∴轴，//CD AB ∴，20DCO COX ∴∠=∠=︒，20DCA CAB ∠=∠=︒，40OCA ∴∠=︒．故答案为：40︒．43．（2022•富阳区一模）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，点M 是 CBD上任意一点，2AH =，4CH =，则cos CMD ∠的值为．【答案】35【详解】连接OC ，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，2AH =，4CH =，在Rt OCH ∆中，设OC 为x ，可得：2224(2)x x =+-，解得：5x =，523cos 55OH AOC OC -∴∠===，CMD AOC ∠=∠ ，3cos 5CMD ∴∠=，故答案为：35．44．（2022•富阳区一模）已知二次函数22(1)20221y a x ax =+-+的图象经过1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，则13y y +22y （选择“>”“<”“=”填空）．【答案】>【详解】2222221322(1)20221(1)(2)2022(2)12[(1)(1)2022(1)1]y y y a m am a m m a m a m +-=+-++++-⨯++-++-⨯++整理得：221322222(1)0y y y a a +-=+=+>，故答案为：>．45．（2022•西湖区校级二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，在AD 上取一点E ，连结CE ，使得AE CE =，若20ECD ∠=︒，则B ∠=．【答案】55︒【详解】设ACE x ∠=，则20ACB x ∠=+︒，AE CE = ，DAC ACE x ∴∠=∠=，AB AC = ，AD 是BC 边上的中线，20B ACB x ∴∠=∠=+︒，BAD DAC x ∠=∠=，180BAC B ACB ∠+∠+∠=︒ ，22020180x x x ∴++︒++︒=︒，解得：35x =︒，2055B x ∴∠=+︒=︒，故答案为：55︒．46．（2022•西湖区校级二模）已知点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．则m 的取值范围为．【答案】22m -<<【详解】由21k y x+=可知图象位于一、三象限，y 随x 的增大而减小． 点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．∴点1(2,)A m y +、2(2,)B m y -不在同一象限，则点1(2,)A m y +在第一象限，点2(2,)B m y -在第三象限．∴2020m m +>⎧⎨-<⎩，解得22m -<<．故答案为：22m -<<．47．（2022•西湖区校级模拟）每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”收入奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表：星期一二三四五六日收入15212727213021则这组数据的众数是，中位数是．【答案】21，21【详解】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故答案为：21，21．48．（2022•西湖区校级模拟）如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB 和线段CD 表示两根电线杆，线段AD 和BC 表示两根拉紧的铁丝，AD 和BC 交于点P ．测量得4AB =米，点P 距地面的高度为3米，则CD 的长为米．【答案】12【详解】过点P 作PM BD ⊥于M ，由题意得AB、CD也分别垂直于BD，////AB PM CD∴，//AB PM，DHPM DAB∴∆∆∽，::DP DA PM AB∴=，即:3:4DP DA=，:3:1DP AP∴=，//AB CD，CDP BAP∴∆∆∽，::DP AP CD BA∴=，即:43:1CD=，12CD∴=，CD∴的长为12米．故答案为：12．49．（2022•下城区校级二模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是．【答案】1 2【详解】遇到红灯的概率为：301 302732=++，故答案为：1 2．50．（2022•下城区校级二模）如图，已知AB是O的直径，P为O外BA延长线上一点，PC切O于C．若1PA=，5PB=，则PC的值为．【答案】5【详解】1PA=，5PB=，4AB PB PA∴=-=，2OC OA OB ∴===，123PO ∴=+=，PC 切O 于C ，90PCO ∴∠=︒，在Rt PCO ∆中，由勾股定理得：PC ==，．51．（2022•杭州模拟）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为4， AC 的长为2π，则ABC ∠的大小是．【答案】45︒【详解】连接OC ，OA ，设AOC n ∠=︒，O 的半径为4，AC 的长为2π，∴42180n ππ⨯=，解得：90n =，即90AOC ∠=︒，1452ABC AOC ∴∠=∠=︒，故答案为：45︒．52．（2022•杭州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【答案】23【详解】因为随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P （灯泡发光）23=．故本题答案为：23．53．（2022•江干区校级模拟）圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为．【答案】4π或8【详解】①以2π为底面周长，4为高，此时圆柱体的底面半径为212ππ=，∴圆柱体的体积为2144ππ⨯⨯=，②以4为圆柱体的底面周长，2π为高，此时圆柱体的底面半径为422ππ=，∴圆柱体的体积为22()28πππ⨯⨯=，故答案为：4π或8．54．（2022•江干区校级模拟）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为．【答案】12【详解】连接OD ，如图，CD OC ⊥ ，90DCO ∴∠=︒，2222CD OD OC r OC ∴=--，当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC AB ⊥时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，1111222CD CB AB ∴===⨯=，即CD 的最大值为12，故答案为：12．55．（2022•拱墅区模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm ．【答案】5【详解】由题意可得：2212915()cm +=，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155()cm -=．故答案为：5．56．（2022•拱墅区模拟）A 、B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2/km h 的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A 地的距离()s km 与时间()t h 的关系如图所示，则乙出发小时后追上甲．。

押中考数学第15-16题（填空中档题2：相似、位似求长度与面积）专题诠释：相似在中考里是每年必考的知识点。

在单独命题时，一般以考察线段长、周长和三角形面积为主，难度不大。

但相似可以与任何几何图形进行综合，综合性较强，难度较大。

在做题的时候，掌握题型的特征，准确计算是关键。

知识点一：根据相似求线段长2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE:DE=1:2，3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2．若知识点二：相似与面积17．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若18．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并〖考前预测〗2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，3．（2023·四川成都·统考二模）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知4．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E是CD的动点，若5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若6．（2023·河北承德·校联考模拟预测）如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为−3、−1和3．（1）△ABP与△CDP的位似比为______；（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为______．7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为____________．8．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，点D是AB 边上一点，BD=BC，连接CD，将△ADC沿CD翻折得到△A1DC，其中A1C与AB边交于点E，BE=4，连接A1B，则A1B的长为______．9．（2023·山东滨州·统考一模）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC=8，BC=11，则四边形CDEF的周长为_____．10．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点G，11．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E点为BC边延12．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=13．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，14．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．若CD=AE，∠BAD=2∠BCE，AC=a，则BC=________（用含a的代数式表示）．15．（2023·河南开封·统考一模）如图，方形ABCD中，AB=8，点P为射线BC上任意一点（与点B、C不重合），连接AP，在AP的右侧作正方形APGH，连接AG，交射线CD于E，当ED长为2时，点BP的长为________.。

押中考数学第21-22题（解答题中档题：锐角三角函数、反比例和一次函数综合）专题诠释：实数、整式与三视图是中考必考题型。

在历年的中考中，主要以选择题的形式出现，内容较为简单，因此是中考数学中必须做对的题型。

考法上上主要以识记和理解的考察为主，区分不同的定义和运算规律，练出手感，保证全对！知识点一：锐角三角函数〖押题冲关〗1．（2023·山东济宁·统考二模）酒驾猛于虎，但很多人不以为是，为了加强人们对酒驾危害的认识，交警部门加大了对酒驾的检查力度，某市交警在2023年2月28日这天对本市各大主要交通路口进行车辆检查，如图，AC是该市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与解放路AC的交叉路口分别是A，B，C．已知出警点D位于点A的北偏东45∘方向、点B的北偏东30∘方向上，BD=2km，∠DBC=30∘．(1)求A、B的距离；(2)第一组交警负责路口A，求该组从出警点D到路口A的路程（行驶路线为D−C−B−A）．（结果保留根号）2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）小军与小明放学后看见楼前的小广场上有一架无人机正在定点拍摄小区全景，此时如图所示，小军在一楼B处测得无人机C的仰角∠CBE=60°，在楼顶A处的小明测得无人机C的仰角∠CAD=28°，他们所在的楼高约为120米，求此时无人机C离地面BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）(1)求点B到点C之间的距离（结果保留根号）；5．（2023·浙江绍兴·统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板OM上，OB=50cm，将木板OM绕一端点O旋转40°至OM′（即∠MOM′=40°）（如图为该操作的截面示意图）．(1)求点C到C′竖直方向上升高度（即过点C，C′水平线之间的距离）；(2)求点D到D′竖直方向上升高度（即过点D，D′水平线之间的距离）．（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84，（1）（2）题中结果精确到个位）6．（2023·河南新乡·统考二模）图1是一款摆臂遮阳篷的实物图，图2是其侧面示意图．如图2，点A，O为墙壁上的固定点，AO=1.5m，摆臂OB可绕点O旋转，旋转过程中遮阳篷AB可自由伸缩，篷面始终保持平整，当摆臂OB与墙壁垂直时，身高为1.65m的同学（MN=1.65m）站在遮阳篷下距离墙角1.2m（EN=1.2m）处，刚好不被阳光照射到，测得此时AB与摆臂OB的夹角∠ABO=45°，光线与水平地面EF的夹角∠BNF=71°，求AE的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90，√2≈1.41）7．（2023·四川成都·统考二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD=6米，坡面BC的倾斜角∠CBD=45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD=30°．若新坡面底端A处与建筑物NM之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：√2≈1.14，√3≈1.73）8．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角α为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为18米，求大树AB的高．（结果精确到0.1米，√2≈1.414，√3≈1.732）9．（2023·四川成都·统考二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北60°方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北30°方向上，A在D的西偏北69°方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23，√3≈1.73）10．（2023·安徽滁州·统考二模）某学校数学活动小组决定利用所学的解直角三角形知识测量校园内一棵树AB的高度．如图，他们在地面上C处测得树顶A的仰角为30°，再往树的方向前进20m至D处，测得仰角为60°，点C，D，B在同一直线上，求树高AB．（身高忽略不计，结果保留根号）知识点二：反比例和一次函数综合模块二〖押题冲关〗(1)求一次函数的表达式：(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；(1)求直线和双曲线的解析式及点B的坐标；(1)求m的值；(1)求k的值；(2)求△ODE的面积．(x<0)上，点B在x轴上．将7．（2023·四川南充·统考二模）如图，点A(m,1)在双曲线y=kx线段AB平移到CD，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，OB=2OD=2．(1)求m和k的值；(2)直线AC与x轴交于E，与y轴交于F．求证：OE=2OF．8．（2023·河南洛阳·东方二中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的的图象的两个交点为A(−1,3)和B．图象与反比例函数y=k2x(1)求反比例函数的关系式；=2；(2)若一次函数y=k1x+b与x轴交于点C，且ABBC①求出k1与b的值；的解集为__________；②直接写出不等式k1x+b>k2x(3)若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S=2时，请直接写出m值__________．9．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与反比例函的图象交于A、B两点，已知A(1，3m−4)，B(m，1)．数y2=k2x(1)求k1与k2的值；(2)直线DE在直线AB的下方且与AB平行，与x轴、y轴分别交于点D、E，点P是直线AB上的一动点，当△PDE的面积为1时，求直线DE的解析式．0．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+2(k≠0)的(x>0)的图象交于点A(a，3)，与x轴交于点B(−4，0)，与y轴交图象与反比例函数y=mx于点C．求：(1)k，m的值；(2)直线OP过原点，交反比例函数于点P，且OP∥AB，△PAC的面积．。

数据分析02选择题（中档题）-2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案，45题）一．算术平均数（共3小题）1．（2021•湘潭）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（ ）A．7分B．8分C．9分D．10分2．（2021•贵阳）今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）A．小红的分数比小星的分数低B．小红的分数比小星的分数高C．小红的分数与小星的分数相同D．小红的分数可能比小星的分数高3．（2021•苏州）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表：班级一班二班三班四班五班4.5 4.45.1 3.3 5.7废纸重量（kg）则每个班级回收废纸的平均重量为（ ）A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg二．加权平均数（共2小题）4．（2021•抚顺）某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ）A．83分B．84分C．85分D．86分5．（2021•大连）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）A．14.2岁B．14.1岁C．13.9岁D．13.7岁三．中位数（共6小题）6．（2021•西藏）数据3，4，6，6，5的中位数是（ ）A．4.5B．5C．5.5D．67．（2021•潍坊）如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）A．对10个国家出口额的中位数是26201万美元B．对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C．去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D．出口额同比增速中，对美国的增速最快8．（2021•本溪）下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（ ）疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V有效率79%76%95%95%92%A．79%B．92%C．95%D．76% 9．（2021•贵港）一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）A．7和8B．7.5和7C．7和7D．7和7.5 10．（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）A．5B．5.5C．6D．7 11．（2021•宿迁）已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ）A．3B．3.5C．4D．4.5四．众数（共16小题）12．（2021•攀枝花）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ）A．众数是12B．平均数是12C．中位数是12D．方差是12 713．（2021•阿坝州）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2B．36.2和36.3C．36.3和36.3D．36.2和36.114．（2021•内江）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．152，134B．146，146C．146，140D．152，140 15．（2021•百色）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（ ）A．5B．6.4C．6.8D．7 16．（2021•抚顺）某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：成绩（分）909195969799人数（人）232431则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A．95，95B．95，96C．96，96D．96，97 17．（2021•丹东）若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．4，6B．4，4C．3，6D．3，4 18．（2021•黑龙江）从小到大的一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）A．2，4B．2，3C．1，4D．1，3 19．（2021•黄石）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（ ）A．46B．45C．50D．42 20．（2021•威海）某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：睡眠时间/小时78910人数69114这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ）A．众数是11，中位数是8.5B．众数是9，中位数是8.5C．众数是9，中位数是9D．众数是10，中位数是9 21．（2021•绥化）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B 种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：支付金额a（元）0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（ ）A．①③B．③④C．①②D．②④22．（2021•聊城）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：45678废旧电池数/节人数/人9111154请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）A．样本为40名学生B．众数是11节C．中位数是6节D．平均数是5.6节23．（2021•十堰）某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄131415161718人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A．8，15B．8，14C．15，14D．15，15 24．（2021•长沙）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24 25．（2021•凉山州）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）A．90，80B．16，85C．16，24.5D．90，85 26．（2021•嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）A．中位数是33℃B．众数是33℃C．平均数是1977℃D．4日至5日最高气温下降幅度较大27．（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人）9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，9五．方差（共11小题）28．（2021•无锡）已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是（ ）A．3B．2C．35D．2529．（2021•绵阳）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）A．众数是36.3B．中位数是36.6C．方差是0.08D．方差是0.0930．（2021•日照）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定31．（2021•盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁32．（2021•河池）甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：测试者平均成绩（单位：m）方差甲 6.20.32乙 6.00.58丙 5.80.12丁 6.20.25若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁33．（2021•德阳）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（ ）A．平均数是2B．众数是1C．中位数是3D．方差是1.6 34．（2021•柳州）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分以及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ）甲乙丙x 919191S262454 A．甲B．乙C．丙D．无法确定35．（2021•菏泽）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：成绩（次）1211109人数（名）1342关于这组数据的结论不正确的是（ ）A．中位数是10.5B．平均数是10.3C．众数是10D．方差是0.8136．（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85 37．（2021•南充）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（ ）A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是638．（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为x，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为x1，s12，则下列结论一定成立的是（ ）A．x＜x1B．x＞x1C．s2＞s12D．s2＜s12六．统计量的选择（共7小题）39．（2021•德州）八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（ ）A．中位数B．众数C．平均数D．方差40．（2021•阜新）在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差41．（2021•湘西州）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差42．（2021•黑龙江）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A．众数B．中位数C．平均数D．方差43．（2021•通辽）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数44．（2021•广元）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差45．（2021•资阳）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ）A．平均数B．众数C．方差D．中位数参考答案与试题解析一．算术平均数（共3小题）1．（2021•湘潭）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（ ）A．7分B．8分C．9分D．10分【解析】解：小明同学五项评价的平均得分为10+9+9+8+95=9（分），故选：C．2．（2021•贵阳）今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）A．小红的分数比小星的分数低B．小红的分数比小星的分数高C．小红的分数与小星的分数相同D．小红的分数可能比小星的分数高【解析】解：根据平均数的定义可知，已知小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，小红的分数可能高于80分，或等于80分，也可能低于80分，小星的分数可能高于85分，或等于85分，也可能低于85分，所以上述说法比较合理的是小红的分数可能比小星的分数高．故选：D．3．（2021•苏州）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表：班级一班二班三班四班五班废纸重量（kg）4.5 4.45.1 3.3 5.7则每个班级回收废纸的平均重量为（ ）A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg【解析】解：每个班级回收废纸的平均重量为15×（4.5+4.4+5.1+3.3+5.7）＝4.6（kg），故选：C．二．加权平均数（共2小题）4．（2021•抚顺）某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ）A．83分B．84分C．85分D．86分【解析】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分），故选：D．5．（2021•大连）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）A．14.2岁B．14.1岁C．13.9岁D．13.7岁【解析】解：∵13岁3人，14岁5人，15岁2人，∴该健美操队队员的平均年龄为：13×3+14×5+15×210=13.9（岁）．故选：C．三．中位数（共6小题）6．（2021•西藏）数据3，4，6，6，5的中位数是（ ）A．4.5B．5C．5.5D．6【解析】解：将这组数据从小到大排列为3，4，5，6，6，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，故选：B．7．（2021•潍坊）如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）A．对10个国家出口额的中位数是26201万美元B．对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C．去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D．出口额同比增速中，对美国的增速最快【解析】解：A、将这组数据按从小到大的顺序排列为19677，19791，21126，24268，25855，26547，29285，35581，39513，67366，位于中间的两个数分别是25855，26547，所以中位数是25855+265472=26201（万美元），故本选项说法正确，符合题意；B、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期增长27.3%，故本选项说法错误，不符合题意；C、去年同期对日本的出口额为：355811+31.4%≈27078.4，对俄罗斯联邦的出口额为：395131+66.0%≈23803.0，故本选项说法错误，不符合题意；D、根据折线图可知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．8．（2021•本溪）下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（ ）疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V有效率79%76%95%95%92%A．79%B．92%C．95%D．76%【解析】解：从小到大排列此数据为：76%、79%、92%、95%、95%，92%处在第3位为中位数．故选：B．9．（2021•贵港）一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）A．7和8B．7.5和7C．7和7D．7和7.5【解析】解：把这些数从小到大排列为4，6，7，8，8，9，则中位数是7+82=7.5；平均数是：（8+7+8+6+4+9）÷6＝7．故选：B．10．（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）A．5B．5.5C．6D．7【解析】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，∴（5+5+6+7+x+7+8）÷7＝6，解得：x＝4，将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，最中间的数是6，则这组数据的中位数是6，故选：C．11．（2021•宿迁）已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ）A．3B．3.5C．4D．4.5【解析】解：将这组数据重新排列为3、4、4、5、6，所以这组数据的中位数为4，四．众数（共16小题）12．（2021•攀枝花）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ）A．众数是12B．平均数是12C．中位数是12D．方差是12 7【解析】解：A、12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，故本选项正确，不符合题意；B、这组数据的平均数：10+12+14+13+12+12+117=12，故本选项正确，不符合题意；C、把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，故本选项正确，不符合题意；D、方差是：17×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+3×（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2]=107，故本选项错误，符合题意；故选：D．13．（2021•阿坝州）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2B．36.2和36.3C．36.3和36.3D．36.2和36.1【解析】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，故选：C．14．（2021•内江）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．152，134B．146，146C．146，140D．152，140【解析】解：∵146出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是146个；把这些数从小到大排列为：121，122，134，146，146，152，则中位数是134+1462=140（个）．故选：C．15．（2021•百色）一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（ ）A．5B．6.4C．6.8D．7【解析】解：这组数据4，6，x，7，10的众数是7，因此x＝7，这组数据的平均数为4+6+7+10+75= 6.8，16．（2021•抚顺）某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：成绩（分）909195969799人数（人）232431则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A．95，95B．95，96C．96，96D．96，97【解析】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第8个数是96，因此中位数是96，这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96，故选：C．17．（2021•丹东）若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．4，6B．4，4C．3，6D．3，4【解析】解：∵数据1，3，4，6，m的平均数为4，∴1+3+4+6+m＝4×5，解得m＝6则这组数据从小到大排列为1，3，4，6，6∴这组数据的中位数为4，众数为6，故选：A．18．（2021•黑龙江）从小到大的一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）A．2，4B．2，3C．1，4D．1，3【解析】解：∵一组数据﹣1，1，2，x，6，8的中位数为2，∴x＝2×2﹣2＝2，2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，这组数据的平均数是（﹣1+1+2+2+6+8）÷6＝3．故选：B．19．（2021•黄石）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（ ）A．46B．45C．50D．42【解析】解：∵50出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是50．故选：C．20．（2021•威海）某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：78910睡眠时间/小时人数69114这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ）A．众数是11，中位数是8.5B．众数是9，中位数是8.5C．众数是9，中位数是9D．众数是10，中位数是9【解析】解：抽查学生的人数为：6+9+11+4＝30（人），这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，因此众数是9，将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为8+92=8.5，因此中位数是8.5，故选：B．21．（2021•绥化）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B 种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：支付金额a（元）0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（ ）A．①③B．③④C．①②D．②④【解析】解：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的大约有2000×200-10-60-50200=800（人），此推断合理，符合题意；②本次调查抽取的样本容量为200，故原说法错误，不符合题意；③样本中仅使用A种支付方式的员工，第30、31个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理，符合题意；④样本中仅使用B种支付方式的员工，上个月的支付金额的众数无法估计，此推断不正确，不符合题意．故推断正确的有①③，故选：A．22．（2021•聊城）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：废旧电池数/节45678人数/人9111154请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）A．样本为40名学生B．众数是11节C．中位数是6节D．平均数是5.6节【解析】解：A．样本为40名学生收集废旧电池的数量，此选项错误；B．众数是5节和6节，此选项错误；C．共40个数据，从小到大排列后位于第20个和第21个的数据分别是5和6，∴中位数为5+62= 5.5（节），此选项错误；D．平均数为140×（4×9+5×11+6×11+7×5+8×4）＝5.6（节），故选：D．23．（2021•十堰）某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄131415161718人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A．8，15B．8，14C．15，14D．15，15【解析】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；根据图表数据可知共有22名队员，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15．故选：D．24．（2021•长沙）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，故选：C．25．（2021•凉山州）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）A．90，80B．16，85C．16，24.5D．90，85【解析】解：90出现的次数最多，众数为90．这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90，所以中位数为（80+90）÷2＝85．故选：D．26．（2021•嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）A．中位数是33℃B．众数是33℃C．平均数是1977℃D．4日至5日最高气温下降幅度较大【解析】解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；C、平均数为17（23+25+26+27+30+33+33）=1977，正确，不符合题意；D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，故选：A．27．（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人）9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，9【解析】解：由于一共有50个数据，其中8小时的人数最多，有16人，所以这组数据的众数为8小时，这50个数据的第25、26个数据分别为8、9，所以这组数据的中位数为8+92=8.5（小时），故选：C．五．方差（共11小题）28．（2021•无锡）已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是（ ）A．3B．2C．35D．25【解析】解：∵这组数据的平均数为15×（23+22+24+23+23+23）＝23，∴这组数据的方差为15×[（22﹣23）2+3×（23﹣23）2+（22﹣23）2]=25，故选：D．29．（2021•绵阳）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）A．众数是36.3B．中位数是36.6C．方差是0.08D．方差是0.09【解析】解：7个数中36.5、36.7和37.1都出现了二次，次数最多，即众数为36.5、36.7和37.1，故A选项不正确，不符合题意；将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位数为36.7，故B选项错误，不符合题意；x=17×（36.5+36.3+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1）＝36.7，S2=17[（36.3﹣36.7）2+2×（36.5﹣36.7）2+2×（36.7﹣36.7）2+2×（37.1﹣36.7）2]＝0.08，故C选项正确，符合题意，故D选项错误，不符合题意；故选：C．30．（2021•日照）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定【解析】解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，∴S甲2＜S乙2，∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，故选：A．31．（2021•盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动，∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，故选：C．32．（2021•河池）甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：测试者平均成绩（单位：m）方差甲 6.20.32乙 6.00.58丙 5.80.12丁 6.20.25若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】解：∵甲和丁的平均数比乙和丙的平均数大，∴甲和丁的成绩较好，∵S丁2＜S甲2，∴丁的成绩比甲要稳定，∴这四位同学中，成绩较好，且发挥稳定的是丁．故选：D．33．（2021•德阳）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（ ）A．平均数是2B．众数是1C．中位数是3D．方差是1.6【解析】解：将这组数据重新排列为1，1，1，3，4，所以这组数据的平均数为15×（1+1+1+3+4）＝2，中位数为1，众数为1，方差为15×[3×（1﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝1.6，故选：C．34．（2021•柳州）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分以及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ）甲乙丙x 919191S262454 A．甲B．乙C．丙D．无法确定【解析】解：∵S甲2＝6，S乙2＝24，S丙2＝54，且平均数相等，∴S甲2＜S乙2＜S丙2，∴这三名同学数学成绩最稳定的是甲．故选：A．。

中考数学训练题（中档题）一、选择题7.已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=4，弦AB 经过点P ，若弦AB 的长为整数，则这样弦AB 的条数为（ ）A 、5B 、7C 、8D 、108.我们知道，一元二次方程x 2 = -1没有实数根，若我们规定一 个新数i,使其满足:i 2=-1，即方程x 2 = -1有一个根为i ，并且进一步规定， 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是由i 1= i ，i 2= -1，i 3= -i ，i 4= 1，从而对于任意正数n ，我们可得到： i 4n+1=i 4n ×i=(i 4)n ×i=1×i=i ,同理可得：i 4n+2= -1，i 4n+3= -i ，i 4n+4= 1，那么， i+i 2 +i 3+i 4+... +i 2018+i 2019的值为（ ）A.0B.1C. -1D.-i9.已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且图象过A （x 1，m ）、B （x 1+n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ）A ．m=n B ．m=n C ．m=n 2 D ．m=n 210.如图，△ACD 内接于⊙O ，CB 垂直于过点D 的切线，垂足为B ．已知⊙O 的半径为38，BC ＝3，那么sin ∠A ＝（ ）A ．91 B ．43 C ．98 D ．53二、填空题13.已知 x √x −3 =0，则x=_________.14. 如图，扇形AOB 的半径为5，∠AOB=90°, P 是半径0B 上一点，Q 是弧AB 上的一点，将扇形A 0B 沿PQ 对折，使折叠后的弧Q B'恰好与半径0A 相切于C 点，若0P=3,则0C 的长为_________.15.如图，已知直线343+=x y 与双曲线y=k x相交于A 、B 两点，与x 轴，y 轴分别相交于D 、C 两点，若CD=3，则k=_______.16.已知: E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、CD 上一点, 且DF ＝CF, ∠DEF ＝2∠CBF, 若AB ＝4, BC ＝6, 则AE ＝ .xyDCBA O三、解答题20.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出线段AB 绕点E 顺时针旋转90°得到线段AP ，点E 在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD 为对角线的矩形CMDN （C 、M 、D 、N 按顺时针排列），且面积为10，点M 、N 均在小正方形的顶点上；（3）连接PM 交CN 于点O ，直接写出OC ：ON 的值为___________.21.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE=∠ADF ．（1）判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若PF ：PC=1：2，AF=5，求CP 的长．22.为迎接军运会，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，某体育器材公司有,A B 两种型号的健身器可供选择.（1）体育器材公司2017年每套A 型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.6 万元，求每套A 型健身器年平均下降率n ；（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司,A B 两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，不少于110万元。

中考数学综合压轴题100题精选（含答案解析）一、中考压轴题1．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．2．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．4．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．5．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．7．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．8．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．9．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．10．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．11．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．12．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．14．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．15．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点∴MN∥BC，MN＝BC＝1又∵BD∥AC∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM＝MN＝1连接OA交MN于点G，则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG＝FG，MG＝FN由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB∴EM（EM+1）＝1解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）∴DE＝DM﹣EM＝∴DE（3﹣DE）＝1解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．18．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．19．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．20．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．21．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．。

2023年中考数学复习题新题速递之一次函数（2022年8月）1．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y22．（2022春•零陵区期末）一次函数y＝kx+k2+1（k≠0）的图象可能正确的是（）A．B．C．D．3．（2022春•永定区期末）函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（）A．（6，2）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（﹣4，2）4．（2022春•法库县期末）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为（）A．x≤1B．x＜1C．x≤3D．x≥15．（2022春•思明区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y＝x上，且纵坐标为3，AD⊥y轴，垂足为D，点B（0，7），点C在线段AB上，且AC＝AD，若直线l：y＝mx+n过点C，则下列结论一定成立的是（）A．m＝﹣2m B．n＝3﹣4m C．n＝5﹣2m D．n＝7﹣4m6．（2022春•永定区期末）若a，b为实数，且，则直线y＝ax﹣b不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2022春•安阳县期末）一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则y＝﹣2mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2022春•沙河口区期末）如图，一个弹簧挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（）A．14B．16C．18D．209．（2022春•新野县期末）一次函数y＝kx+b的图象所示，则下列选项中错误的说法是（）A．kb＜0B．当x＜0时，y＞bC．若点A（﹣1，y1）与B（2，y2）都在直线y＝kx+b上，则y1＞y2D．将函数图象向下平移1个单位后，图象恰好经过坐标原点，则k＝b10．（2022春•道外区期末）某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程y（米）和所用时间x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（）A．小明跑步的速度为180米/分B．小明在公园休息了5分钟C．小明乘出租车用了17分钟D．出租车的平均速度是900米/分11．（2022春•浉河区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，y随x的增大而增大，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（）A．B．C．D．12．（2022春•滑县期末）如图，直线y＝x+2与y＝kx﹣2相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+2≥kx﹣2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．13．（2022春•攸县期末）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2022的纵坐标是（）A．22022B．22021C．22022﹣1D．22021﹣114．（2022春•隆回县期末）已知某种药物在血液中的浓度y（单位：微克/毫升）与服药后时间x（单位：时）之间的函数关系如图所示，则当1≤x≤6时，y的取值范围是（）A．2≤y≤B．≤y≤8C．0≤y≤8D．2≤y≤815．（2022•临潼区二模）把直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后，与直线y＝2x﹣4的交点在第四象限，则n的取值范围是（）A．2＜n＜8B．4＜n＜6C．n＞8D．n＜616．（2022•武汉模拟）某天然气公司有甲、乙两个圆柱形储气池，将甲池中的天然气注入乙储气池，甲、乙两个池中的体积y（万米3）与注气时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中的体积之差为4万米3时，注气的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时17．（2022春•双城区期末）一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（2，﹣3），则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣218．（2022春•大渡口区期末）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞1D．x＜119．（2022春•大连期末）在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是（）A．（3，0）B．（﹣6，0）C．（0，6）D．（0，3）20．（2022春•光明区期末）直线y＝﹣x+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+b＜kx的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＞﹣3D．x＜﹣3在坐标系中利用列表描点连线的方法（严格按照描点法）-----（描9个点）画出二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，并观察图象有何特征2023年中考数学复习题新题速递之二次函数（2022年8月）一．选择题（共20小题）1．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞22．（2022•杨浦区三模）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那么下列判断中一定正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，c＜0D．a＞0，c＞03．（2022•武汉模拟）若函数y＝x2﹣10x+16+|x2﹣10x+16|，当自变量x取1，2，3，…，10这10个自然数时，函数值的和是（）A．30B．58C．60D．1164．（2022春•鼓楼区校级期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A．2B．3C．4D．55．（2022•武汉模拟）若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（）A．0B．3C．﹣3D．±36．（2022•临潼区二模）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同7．（2022•鼓楼区校级一模）对于二次函数y＝2ax2+（a﹣2）x﹣1，当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，则以下不满足题意的a值为（）A．B．C．D．8．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤6B．﹣1≤x＜6C．﹣1＜x≤6D．x≤﹣1或x≥69．（2022春•鼓楼区校级期末）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣5B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣510．（2022春•海门市期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2B．y＝3（x+2）2C．y＝3x2﹣2D．y＝3x2+211．（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA ＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（2022春•海门市期末）若x1，x2是方程x2+3x+c＝0（c为常数）两个不相等的实数根，且满足x1＜x2＜1，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣4B．c＞﹣4C．D．13．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小14．（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y215．（2022春•崇川区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（2022春•兴宁区期末）将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2图象先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是（）A．y＝2（x﹣8）2+2B．y＝2（x﹣8）2﹣6C．y＝2（x+2）2﹣6D．y＝2（x+2）2+217．（2022•浦东新区二模）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝5（x+1）2B．y＝5（x﹣1）2C．y＝5x2+1D．y＝5x2﹣118．（2022春•镇海区期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣219．（2022春•宁波期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与x轴的交点坐标是（）A．（﹣1，0）和（5，0）B．（1，0）和（5，0）C．（0，﹣1）和（0，5）D．（0，1）和（0，5）20．（2022春•宁波期末）对于函数y＝﹣3（x+h）2+k的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣hC．最大值为k D．与y轴不相交。

二次函数与四边形一 、解答题1.如图，二次函数y =ax 2+bx 的图象与一次函数y =x +2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是﹣1，点B 的横坐标是2． （1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．2.如图，已知二次函数图象的顶点为点，且经过点．（1）求此二次函数的关系式；（2）设点是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点的坐标为，四边形是以为对角线的平行四边形．① 求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；② 当点B 在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形的面积； ③ 当平行四边形的面积为64时，请判断平行四边形是否为菱形？④ 是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y ax c =+()09M -，()30A ，()D x y ，C ()50-，ABCD AC ABCD S x x ABCD ABCD ABCD D ABCD D3.如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <．以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． (1) 求k 的值；(2) 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与二次函数的图象交于、两点，其中点在轴上． （1）二次函数的解析式= ；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点．① 轴上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是 ；()20，1y x =+A B A y y ()21m m --，C AB C CE x ⊥E CE D y K K Z D C K②二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为 ； （2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．6.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点． （1）判断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行P 2POE ABD S S =△△P P ABCD ()03A ，()10B ，OP AB N DC M H O x R O OM t C t ANO △DMR △HCR △S t A B C R ，，，t S H y xP N M ROD C BAABOC BO x OCy 1AB =OB ABOC O 60EFOD A E B F C D 2y ax bx c =++A E D ，，E y x P Q O B P Q ，，，四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．ABOC P P Q y xODEC FA B y xO DECFA B M二次函数与四边形答案解析一 、解答题1.（1）把x =﹣1和2分别代入y =x +2，得到y 的值分别是1、4，因而A 、B 的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：1424a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩因而二次函数的解析式是y=x 2．（2）过点A 、B 作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，分别交于M 、N ．过点C 作CP ⊥BN 与P ．设P 的坐标是（x ，y ）．()()1115=143222AMNB S AM BN MN +⋅=+⋅=梯形； 1122AOM S AM OM =⋅=△； ()()()()21112424222BCP S CP BP x y x x =⋅=--=--△；()()()2111=224222CPNO S CP ON PN x y x x +⋅=-+⋅=-⋅⎡⎤⎣⎦四边形． ∴2=2 3 AOM BCP OABC CPNO AMNB S S S S S x x ---=-++△△四边形四边形梯形． 当x =1时，函数S =﹣x 2+2x +3有最大值是4．【解析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求面积的最值问题一般要转化为函数的最值问题，依据函数的性质解决．2.（1）由题意得，解之，得，990c a c =-⎧⎨+=⎩19a c =⎧⎨=-⎩故二次函数的关系式为.（2）① 在二次函数的图象上，且位于第三象限， ∴，即，表示点到的距离． ∵是平行四边形的对角线， ∴． 当时，，得,∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点是，自变量x 的取值范围是﹣3＜x ＜0．② 过点作，垂足为点， ∵点在二次函数的图象的对称轴上， 由得，∴OE=2， ∴当时，，；③ 根据题意，当时，即． 解之，得，．故所求的点有两个，分别为，．点不满足，∴平行四边形不是菱形（或者说明点D 不在第三象限）；点满足，∴平行四边形是菱形．④ 当，且时，平行四边形是正方形，此时点的坐标只能是．点不在二次函数的图象上，故不存在这样的点，使平行四边形为正方形．【解析】代数几何综合题。