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3.一次函数与正比例函数之间的关系: 正比例函数是当b=0时的特殊的一次函 数.
五、一次函数的图象与性质
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直 线,称直线y=kx+b.
▪ 2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的位置及
增减性: y
y
当k>0时
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0 b=0
o
b<0
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x=0时,最大小值. 为0.
开口大小
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点 有两个交点
有一个交点
没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的 实数根
有两个相等的 实数根
没有实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
二十、一元二次方程的图象解法
三、函数表示方法
解析法:用一个式子表示函数关系; 列表法:用列表的方法表示函数关系; 图象法:用图象的方法表示函数关系.
表示 表达式 表格
优点
变量间关系简捷明了,便于分析 计算.
能直接得到某些具体的对应值
缺点 需要通过计算,才能得到所需结 果.
不能反映函数整体的变化情况
图象 直观表示了变量间变化过程和 变化趋势.
4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大
. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x
b
时,
小.
最大值为
4ac
b2
2aห้องสมุดไป่ตู้
4a
十七、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开 口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都 随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
当k<0时
x
驶向胜利 的彼岸
▪ y随x的增大而增大;y随x的增大而减小.
六、一次函数,一元一次方程,一元一次不等式
一次函数,一元一次方程,一元一次不等式的关系
▪ (1)当y=0时,为一元一次方
y
Y=kx+b
程kx+b=0,这时方程的解为:
xb; k
(o,b) y=>0
· Y=0
o
x
▪ (2)当y>0时,为一元一次不 Y<0
等式kx+b>0;当y<0时,为一
元一次不等式kx+b<0.这时 不等式的解集分别为:
驶向胜利 的彼岸
x b;x b.
k
k
七、反比例函数
1.反比例函数的定义
一般地,如果两个变量 x, y之间的关系可以表示成
y k k为常数, k 0的形式那么称 y是x的反比例函数 .
x
▪ 2.要点: ▪ (1)自变量x≠0; ▪ (2)比例系数k=xy;
九、正比例与反比例函数的联系与区别
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
函数
正比例函数
解析式
图象形状
y=kx ( k≠0 ) 直线
K>0 K<0
位 置
一三象 限
增 减 y随x的增大而增 性大
位 二四象 置限
增
减 y随x的增大而减 性小
反比例函数
y
=
k x
(
k是常数,k≠0
)
双曲线
一三象 限
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
驶向胜利 的彼岸
八、反比例函数的图象及性质
▪ 1.形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组 成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;
y
y k x
y
y k x
o
x
o
x
驶向胜利 的彼岸
▪ 2.位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一, 三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二, 四象限内;
八、反比例函数的图象及性质
十四、二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
y ax h2
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0) （h，0）
y=a(x-h)2 (a<0) （h，0）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
y随x的增大而减 小
二四象 限
y随x的增大而增 大
十、二次函数
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
2.定义要点: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常
数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次
项和常数项,但不能没有二次项. 驶向胜利
十八、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点: (1)位置不同;
(2)顶点不同:分别是
和(0,0).
b 2a
,
4ac 4a
b2
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴.
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和2a0.
4a
3.联系: y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看成
函数值只能是近似值..
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表 关系 格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
四、一次函数
1.若两个变量x,y的关系可以表示成 y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y 是做x的一次函数 (x为自变量,y为因变 量).
2. 特 别 地 , 当 常 数 b ＝ 0 时 , 一 次 函 数 y=kx+b(k≠0) 就 成 为 :y=kx(k 是 常 数 ,k≠0),称y是x的正比例函数.
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小
. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
当x
b
大.
时, 最小值为
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
大.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x=h时,最大小值. 为0.
开口大小
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
十五、二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
当x=h时,最小大值. 为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x=h时,最大小值. 为k.
十六、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
③理解正比例函数。 ④能根据一次函数的图象求二元一 次方程组的近似解。
(4)反比例函数 ①结合具体情境体会反比例函数的
意义，能根据已知条件确定反比例函数 表达式。
②能画出反比例函数的图象，根据 图 象 和 解 析 表 达 式 y ＝ k/x(k≠o) 探 索 并 理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变 化)。
y单=位ax(²的当图象2ba>先0时沿,x向轴右整平体移左;(当右) 2平ba <移0时| ,向2ba|左个 平移),再沿对称轴整体上(下)平移| 4ac b|2个
单位 (当 4ac b2>0时向上平移;当 4ac b2<4a0时,
向下平移)得4到a 的.
4a
十九、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
