垂线定义及其基本事实

平面几何的垂线与角平分线在平面几何中，垂线和角平分线是两个重要的概念和工具。

它们在解决几何问题和证明定理时起到了至关重要的作用。

本文将介绍垂线和角平分线的定义、性质以及应用，并探讨它们在解决几何问题中的实际意义。

一、垂线的定义和性质垂线是指与给定直线或线段相交，且与其相交点与给定直线或线段上的点之间的距离相等的线段。

垂线的性质如下：1. 垂线的相交角是直角：当一条线段与另一条线段的交点处画出垂线时，这两条线段的交点处的相交角是直角。

2. 垂线的长度最短：当从一点到一条给定直线或线段的所有线段中，只有与给定直线或线段相交的那一条线段最短，即垂线是最短的。

二、垂线的应用垂线在平面几何中有广泛的应用，以下将介绍其中的两个重要应用。

1. 作为垂直平分线的应用：当需要将一个线段平分为两等分时，可以通过在线段的两个端点处作垂线，使得垂线相交于线段的中点，从而将线段平分为两个相等的部分。

2. 作为垂直辅助线的应用：当一个几何问题涉及到垂直关系时，可以作为辅助线引入垂线，以便于解决问题。

垂线的引入可以简化问题，使得问题的解决更加直观和方便。

三、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的角的线段。

角平分线的性质如下：1. 角平分线与角的两边相等：角平分线将一个角平分为两个相等的角，即角平分线与角的两边相等。

2. 角平分线在角顶点处垂直于角的边：角平分线在角的顶点处与角的两边垂直相交。

四、角平分线的应用角平分线在平面几何中有许多重要的应用，以下将介绍其中的两个应用。

1. 作为角平分定理的应用：角平分定理指的是，如果一条线段平分一个角，那么这条线段与这个角所在的弧的两个端点连线的中垂线会相交于弧上的一点。

这一定理在角的平分和角的相等问题的证明中起到了关键的作用。

2. 作为几何图形的分割线的应用：角平分线可以将一个角分割为两个相等的部分，并且平面上任何一点到角平分线的距离相等。

因此，在绘制和分析几何图形时，角平分线常常被使用来进行分割，使得问题的解决更加便利。

垂线的主要概念垂线是指与另一条线段或平面相交成90度（直角）的线段或线。

在几何学中，垂线是一个重要的概念，它在许多数学问题的研究中起着关键的作用。

本文将详细探讨垂线的主要概念，包括垂线的定义、性质和应用。

首先，垂线的基本定义是垂直于另一条线段或平面的线段或线。

当一条线与另一线段或平面相交时，如果它与该线段或线上的某一点的连线垂直（与该线段或线成90度），则这条线段或线就被称为垂线。

垂线具有许多重要的性质。

首先，垂线与被其所垂直的线段或线是相互垂直的。

这意味着两条垂线之间没有任何交角，它们是平行的。

垂线与其相交的线段或线的交点称为垂足。

垂足是垂线与被其所垂直的线段或线之间的最近点。

其次，垂线还具有独特的长度性质。

在平面几何中，垂线是从点到直线的最短距离。

也就是说，如果我们从一个点到一条直线上的任何一点的距离，那么垂线是将这两个点连接的最短线段。

此外，垂线还可以应用于解决几何问题。

其中一个常见的应用是求解两条直线之间的夹角。

如果两条直线相交，并且垂线是它们的交点所在的角的平分线，那么这个垂线就可以用来求解两条直线的夹角。

这种方法基于垂线的性质，通过计算相邻两个夹角的差异，可以得到所需的夹角。

另一个常见的应用是求解平行线与斜线的交点。

当给定一条平行线和一条斜线时，通过作斜线上一点的垂线，可以找到与平行线交点的位置。

这个方法可以用于构造与已知线段相垂直的线段。

垂线的概念也在三角学中有重要的应用。

例如，在直角三角形中，根据勾股定理可以得知，对于一个直角三角形来说，垂线的平方和等于其所在直角边的平方和。

这个性质被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题，例如测量三角形的边长或角度。

除了平面几何中的应用外，垂线还在立体几何中有重要的作用。

在空间中，垂线被定义为与平面垂直的线段或直线。

在立体几何中，垂线可以用于解决垂直平面或者垂直直线的夹角问题。

垂线的性质同样适用于空间几何，例如垂线与其所垂直的平面之间是相互垂直的。

垂线定义及其基本事实学习目标：1、掌握垂直概念，能说出垂线的性质，会画一条直线的垂线。

2、掌握垂线段的概念，理解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离。

一、自主学习：（一）温故知新1、如果∠α和∠β互为余角，∠α=37°，则∠β=2、如果∠1和∠2互为余角，∠1和∠3互为余角，那么∠2和∠3的关系是（二）探究新知1、垂直、垂线定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

2、垂直的符号表示：(垂直用符号“⊥”来表示)若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，。

3、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .4、点到直线的距离：二、合作交流：垂直的性质（1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.这样的垂线能画几条?L小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。

（2）在直线L上取一点A,过点A画L的垂线, 能画几条?再经过直线L外一点B 画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?B ．A L LE(3)O D CBA (1)ODC BA从中你能得出什么结论? ____________________________________________ 四、探究展示： 五、巩固训练： 1、判断题.（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( ) （2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )（3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )（4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 2、填空题.（1）如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________. （2）如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.六、拓展提升： 1、已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上.①画直线DE ⊥OB②画直线DF ⊥OA,垂足为F2、已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.2019年3月17日EO DCBA。

平面几何中的垂线性质与证明在平面几何中，垂线是一种特殊的线段，它与所相交的线段成直角。

垂线的性质及其相关的证明是理解和运用平面几何的基础知识。

本文将深入探讨垂线的性质，并给出相应的证明。

一、垂线的定义和基本性质：在平面几何中，我们定义垂线为与所相交的线段成直角的线段。

下面是几个垂线的基本性质：1. 垂线的长度相等性质：如果两条垂线分别与两条平行线段相交，则两个垂线的长度相等。

证明如下：(在这里，请根据自己的题目需求思考该性质是否适用，如果不适用，请自行调整性质及其证明的内容。

以下仅为示例)假设有两条平行线段AB和CD，垂线分别为AE和CF。

我们需要证明AE和CF的长度相等。

首先，连接AC和BF两条线段，根据平行线与横切线的性质可知∠AEC = ∠CFB（对应角相等）和∠CAE = ∠CBF（内错角相等）。

由此可得三角形ACF和BCD相似。

进一步，根据相似三角形的性质，我们可以得出AE/CF = AC/BC。

因为AC = BC（平行线段的性质），所以AE = CF，即垂线AE和CF的长度相等，证毕。

2. 垂线的唯一性性质：通过一个点在直线上作垂线，得到的垂线是唯一的。

证明如下： (在这里，请根据自己的题目需求思考该性质是否适用，如果不适用，请自行调整性质及其证明的内容。

以下仅为示例)假设有一条直线AB和一点C在直线上，我们需要证明通过点C作直线AB的垂线唯一。

假设存在另一条直线CD与直线AB垂直，且与直线AB相交于E 点。

由于CD与AB垂直，所以∠CDE = 90°。

又因为CD与AB平行（同一直线上的垂线平行），所以∠CDE = ∠BCA（内错角相等）。

由于∠CDE和∠BCA都等于90°，所以∠BCA = 90°。

这意味着直线AB和BC之间的夹角为90°，根据垂线的定义，BC是AB的垂线。

由于AB和CD共有一点C，所以根据直线的性质，两条直线BC和CD必然重合，即垂线是唯一的。

4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C 到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )A.是4 cmB.是5 cmC.不超过4 cmD.大于6 cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P 与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你两点之间线段最短笔直向他走过去人去河边打水总是垂直于河边方向走8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC 的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD===,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走垂线段最短8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。

垂线的定义和性质
1、垂线的定义和性质
1垂直的定义
当两条线相交形成的四个角之一为90度时，这两条线就称为相互垂直。

2垂直线的定义
两条线相互垂直，其中一条称为另一条线的垂线，相交处称为垂直脚。

三。

垂线的性质
（1）只有一条直线垂直于通过一个点的已知直线；
（2）在所有连接线外一点和线上各点的线段中，垂直线段最短。

4点到线的距离
从线外一点到线的垂直截面的长度称为点到线的距离。

一个点和一条直线之间的距离是一个正值，一个量，而不是一个数字，所以你不能画距离，你只能测量距离。

2、垂直线示例
在体育课上，教师衡量跳远成绩的依据是什么___
A.垂直的定义
B.两点之间的最短线段
C.最短垂直线段
两点成一条直线
答案：C
分析：老师测量跳远成绩的依据是：最短垂直线。

所以选择C。

5.1.2 垂线1. 什么是垂线垂线是指一个直线与平面内的另一条直线相交，并且与该直线相交的点垂直于该直线所在的平面。

在几何学中，垂线通常用于描述两条直线或线段之间的关系，具有重要的几何性质和应用。

2. 垂线的特性垂线的定义给定一个平面上的点P和一条直线l，如果从点P到直线l有且只有一条与直线l垂直的线段，那么这条线段被称为点P到直线l的垂线，垂线的端点为P。

垂线的性质•垂线与直线的关系：垂线与直线相交形成直角关系，即垂线和直线的夹角为90度。

•垂线与线段的关系：垂线与线段相交形成直角关系，即垂线和线段的夹角为90度。

•垂线的长度：垂线的长度是点到直线的最短距离，也是点到直线的唯一垂线。

3. 垂线的应用场景地理测量在地理测量中，垂线被广泛应用。

例如，测量地面上某个点到地球表面（通常用海拔高度表示）的垂直距离时，需要根据该点所在的位置找到一个垂直于地球表面的垂线，以确保测量的准确性。

施工工程在施工工程中，垂线也有重要的作用。

例如，在修建建筑物或道路时，需要通过垂线来确定基准线，以确保结构的垂直性和水平性。

数学几何学在数学几何学中，垂线是研究几何形状和空间关系的基础概念之一。

通过对垂线的研究，可以推导出许多重要的几何性质，如垂直角定理、垂直平分线定理等，这些性质在解决几何问题时非常有用。

4. 与垂线相关的定理垂直角定理在平面上，如果两条线段互相垂直，则它们所对应的角为垂直角。

垂直角的度数为90度。

垂直平分线定理在平面上，如果一条直线与另一条线段相交，并且将该线段分成两个相等的部分，则该直线被称为该线段的垂直平分线。

垂线定理在平面上，如果一条直线垂直于一个平面内的另一条直线，则它也垂直于该平面。

5. 总结垂线是指与一个直线相交的线段，在几何学中具有重要的几何性质和应用。

垂线与直线的关系、垂线与线段的关系以及垂线的特性是使用垂线的关键要点。

垂线在地理测量、施工工程和数学几何学中都有广泛的应用。

垂线相关的定理如垂直角定理、垂直平分线定理和垂线定理也是解决几何问题时常用的工具。

垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

其中一条直线称为另一条直线的垂线。

2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。

二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。

三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。

四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。

五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。

（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。

4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。

（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。

新课标 2017-2018学年湘教版七年级数学下册4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记:1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5cm,则AB___________5cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4cm,5cm,6cm,则点P到直线l的距离( )A.是4cmB.是5cmC.不超过4cmD.大于6cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN ⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q 的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC 的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD=·==,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线. 因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远. 解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。

垂直线的概念垂直线是几何学中常用的概念，用于描述两条直线或线段之间的关系。

在数学和物理学等学科中，垂直线具有重要的应用价值。

本文将介绍垂直线的定义、性质和应用，并通过几个例子来进一步说明。

一、垂直线的定义垂直线是指两条相交的直线或线段，在交点处形成的角度为90度。

换句话说，垂直线是与水平线相互交叉且形成直角的线段或直线。

二、垂直线的性质1. 交角性质：两条垂直线相交的角度为90度。

这一性质可以通过数学推导和实际测量进行验证。

2. 垂直线的方向：垂直线可以向上或向下延伸，相对于水平线而言，垂直线的斜率为正无穷或负无穷。

3. 垂直线的长度：垂直线的长度可以是任意值，仅需满足与水平线垂直的条件即可。

4. 垂直线与平行线的关系：垂直线与平行线是几何学中的两个重要概念，互为对立，不可能同时存在。

三、垂直线的实际应用1. 建筑设计：在建筑领域中，垂直线的概念对于设计和测量非常重要。

建筑师使用垂直线来确保建筑物的结构和平衡。

2. 地理测量：地理学家和地图制图师使用垂直线来绘制准确的地图，这样人们可以更好地了解地球的地形和地势。

3. 物理实验：在物理学实验中，垂直线被广泛应用于测量角度、力的方向和矢量等。

只有在垂直线上得出的数据才能保证准确性。

4. 建筑施工：在建筑施工中，垂直线被用于确定建筑物的垂直度和直立性，以确保建筑物的结构牢固可靠。

四、例子1. 例如，我们可以考虑一个直角三角形。

在这个三角形中，直角边与斜边是垂直的。

通过观察，我们可以看到直角边与斜边之间的关系符合垂直线的性质。

2. 另一个例子是建筑物的垂直线。

当建筑师设计楼房时，他们会借助垂直线的概念，确保建筑物的结构稳定，墙壁和柱子垂直直立。

总结：垂直线是几何学中一种常见的概念，用于描述两条直线或线段之间的关系。

垂直线具有特定的性质和应用，对于建筑设计、地理测量、物理实验和建筑施工等领域具有重要意义。

通过理论论述和实际应用的例子，我们可以更好地理解和应用垂直线的概念。