定量数据重复测量的方差分析

重复测量设计资料的方差分析（四）一、重复测量资料的特征：重复测量资料系指同一受试对象的某项观测指标进行多次测量所得的数据。

如对病人治疗（或手术）后1天、3天、1周、2周等多个时间点连续观察；又如在眼睛视觉研究中，让同一受试者戴上效率分别为6/6，6/18，6/36/，6/60的镜片；观察其大脑皮质在佩戴不同镜片时的电反延迟时间等。

在重复测量中，由于同一个观察单位具有多个观察值，而这些观察值来自同一受试对象的不同时间（部位等），因此这类数据间往往有相关性存在，违背了方差分析要求数据满足独立性的基本条件。

此时若用一般方差分析方法，将会增大犯I 类错误的概率。

例如：为比较某一降压新药与上市的标准药品降低舒张压的效果，将24名病人随机分配到新药组和标准药物组，每组12名病人，给药前先测定基础血压（3次测定的均数）。

给药后每隔2周测量一次血压，共连续测量4次。

在此期间有3名病人退出（标准药物组1名、新药组2名），试分析新药的降压效果是否不同于标准药。

两组舒张压变化量（服药后-服药前）（mmHg）基础标准药物组基础标准药物组编号血压2w 4w 6w 8w M i编号血压2w 4w 6w 8w M i1 108 -8 -10 -19 -17 -54 3 104 -7 -7 -11 -13 -382 105 -6 -2 -14 -13 -35 5 102 -5 -9 -6 -14 -344 105 -4 -5 -11 -15 -356 98 -3 -10 -9 -13 -357 103 0 -11 -17 -19 -47 9 99 -3 -2 -1 -14 -2012 96 1 -3 -5 -8 -15 10 98 -1 -3 -8 -15 -2714 108 -3 -3 -17 -16 -39 11 100 2 -4 -8 -16 -2615 104 -3 -7 -10 -15 -35 17 106 -5 -8 -15 -20 -4816 97 2 3 -2 -3 0 18 108 -9 -12 -15 -17 -5319 98 1 -5 -7 -11 -22 21 104 0 -6 -7 -24 -3722 104 -1 -1 -11 -10 -23 24 107 -2 -7 -12 -19 -4023 103 -1 -1 -5 -8 -15均数102.8 -2 -4.9 -10.4 -12.3 均数102.6 -3.3 -6.8 -9.2 -16.5标准差 3.15 3.41 5.61 4.76 标准差 3.30 3.16 4.26 3.57 T i-22 -45 -118 -135 A1=-320 T i-33 -68 -92 -165 A2=-358 B1=-55 B2=-113 B3=-210 B4=-300由于重复测量结果即使不施加任何干预,也常会随时间的推移产生自然变化,因此重复测量试验常常需要设立平行对照.试验设计阶段需考虑以下三个因素：1、处理因素各组给以不同的干预2、重复测量因素时间（可根据专业的要求确定，其间隔可以不等或相等。

重复测量方差分析1. 引言重复测量方差分析（Repeated Measures Analysis of Variance, RM-ANOVA）是一种统计方法，用于分析在不同时间点或不同处理条件下对同一组个体或样本进行多次测量的数据。

通过比较不同时间点或处理条件下的测量结果，我们可以确定是否存在显著的差异，并了解时间或处理对测量结果的潜在影响。

本文档将介绍重复测量方差分析的基本原理、假设条件、计算方法和结果解读，并提供使用Markdown格式编写重复测量方差分析报告的示例。

2. 基本原理重复测量方差分析的基本原理是基于方差分析（ANOVA）方法，但相对于普通的单因素方差分析，重复测量方差分析考虑了测量数据间的相关性。

在重复测量设计中，同一个个体或样本在不同时间点或处理条件下进行多次测量，因此测量数据之间存在一定的相关性。

为了解决相关性的问题，重复测量方差分析使用了独特的矩阵分解方法，将总体方差分解为组内方差和组间方差。

通过计算组间方差与组内方差的比值，可以判断不同时间点或处理条件下的测量结果是否存在显著差异。

3. 假设条件在进行重复测量方差分析之前，需要满足以下假设条件：•正态性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应当服从正态分布。

•同方差性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应具有相同的方差。

•相关性假设：各个时间点或处理条件下的测量结果之间应具有一定的相关性。

如果数据不满足正态性、同方差性或相关性假设，需要采取适当的数据转换、方差齐性检验或相关性分析等方法进行处理。

4. 计算方法重复测量方差分析的计算方法可以通过计算F统计量来进行。

具体步骤如下：步骤1：计算总体方差首先计算总体方差SSTotal，即测量数据的总体波动情况。

步骤2：计算组间方差然后计算组间方差SSBetween，即不同时间点或处理条件下的测量结果之间的差异。

步骤3：计算组内方差接下来计算组内方差SSWithin，即测量数据在同一个时间点或处理条件下的波动情况。

重复测量方差分析流程一、什么是重复测量方差分析呀？重复测量方差分析呢，就是一种很有用的统计分析方法哦。

想象一下，你要研究同一个对象在不同时间点或者不同条件下的某个变量的变化情况，这个时候重复测量方差分析就闪亮登场啦。

比如说，你想看看一个学生在一个学期里每个月的学习成绩是怎么变化的，或者一个病人在接受不同阶段治疗时身体指标的改变，这种同一个人被多次测量的情况就特别适合用它来分析呢。

二、数据收集。

在做这个分析之前呀，咱们得先收集好数据。

这个数据收集可是很重要的哦，就像盖房子打地基一样。

要确保数据的准确性和完整性呢。

如果是研究人的话，要把每个人的信息都记录清楚，每次测量的数据也不能搞错啦。

比如说你要研究人们对不同口味冰淇淋的喜爱程度随时间的变化，那每次品尝后大家给出的评分就得好好记录下来。

而且这个样本量也不能太小哦，太小的话可能得出的结果就不太靠谱啦。

三、数据的正态性检验。

收集好数据后呢，咱们要看看数据是不是正态分布的。

这就像是检查一个人的身体是不是健康一样。

有好几种方法可以用来做这个正态性检验哦。

比如说最常见的Shapiro - Wilk检验。

如果数据是正态分布的，那就很好啦，我们就可以顺利进行下一步。

要是数据不是正态分布呢，也不要太慌张，我们可以尝试一些数据转换的方法，像对数转换呀之类的，把它变得接近正态分布，这样才能让我们后面的分析结果更准确呢。

四、球形假设检验。

接下来就是球形假设检验啦。

这个听起来有点高大上，但其实也不难理解哦。

简单说呢，就是要看看不同测量之间的方差协方差矩阵是不是符合一定的条件。

如果符合这个球形假设呢，那我们就可以按照常规的重复测量方差分析方法来做啦。

要是不符合球形假设，就像走在路上遇到了一个小障碍一样，不过也有办法解决的。

我们可以用一些校正方法，像Greenhouse - Geisser校正或者Huynh - Feldt校正之类的，这样就能继续我们的分析旅程啦。

五、进行重复测量方差分析。

重复测量的方差分析 (Repeated-measures ANOVA)研究情境:重复测量的ANOVA能够处理数据的类型：在上例中有一个自变量 (称为组内因素): 时间.ANOVA 亦可用于分析同时包含组间和组内因素的混合设计1.ANOVA的逻辑ANOVA 非常类似两个相关样本的 t检验对于 ANOVA检验统计量 (称为 F比率) 类似F = 样本均值间方差误差方差和方的分解分两个阶段首先考虑方差的来源.a)处理间变异i.处理效应 - 处理造成的差异ii.实验误差b)处理内变异i.被试间方差ii.实验误差F比率可以表达为:F比率 =处理效应方差+实验误差实验误差2.重复测量ANOVA的专用符号K = 处理条件(或组)的数目n = 每一个组的数目(如果它们相等)N = ∑n i = 总的观察数目T i = ∑X ijG = ∑X ij =总的和G-bar = G / N = 总的均值SS i = 每一个组的和方 = ∑(X ij - i)2P = 每一个被试的观察数目在上例中：∑X2G = 36K = 3， n=4， N=123.和方的分解步骤第1阶段：SS和 = SS组间 + SS组内SS和 = ∑X2 - (G2/N)SS和 = 140 - (362/12) =140 - 108 = 32需要将其分解为组间变异和组内变异.SS组间= ∑(T2/n i) - G2/N= 82/4 + 202/4 + 182/4–108 = 14SS组内= ∑SS每一个处理内部 = ∑SS i= 2 + 5 + 11 = 18第2阶段：SS组内 = SS被试间 + SS误差SS被试间= ∑(P2/k) - G2/N= 122/3 + 62/3 + 62/3 + 122/3–108 = 12 SS误差= SS组内-SS被试间= 18-12=64.自由度共有5个自由度, 2个计算均方时要用到1）总的 df = N-12）组间方差df = k-13）组内方差df = N-k4）被试间方差df = n-15）误差方差df = （N-k） -（n-1）均方和F值的计算.MS = SS/dfMS组间= SS组间/df组间--> 上例中 = 14/2 = 7MS误差 = SS误差/df误差--> 上例中 = 6/6 = 1F比率 = 处理间方差误差方差将结果总结到方差分析表中：来源SS df MS处理间14 2 7 F = 7处理内18 9被试内12 3误差 6 6 1总的32 11查 F表确定 Fcrit 对假设作出结论df组间 = 分子的dfdf组内 = 分母的df (误差) --> 上例中:df误差 = 6; df组间= 3假设中选择α = .05, Fcrit = 4.76（如果选择α = .01, Fcrit = 9.78）F比率的观测值6大于 F.05., 所以拒绝 H0 (μ1 = μ2 = μ3).报告结果F(df组间,df误差) = Fobs, p < ?各练习次数的均值和标准差列在表1中。

ˆ ˆ ˆ2 2k 式中中的 s 是协方差矩阵中的第 k 行第 l 列元素， s ＝ ( = (∑ s ) / a 是主对角线元素的平均值， s = (∑ s ) / a 是第 k 行的平均值。

ε ˆ 的取值在 1.0 与 1/(a -1)之间。

ε =ˆˆ ˆ分子自由度ν 1 =ν 1 ⨯ε 分母自由度ν 2 =ν 2 ⨯ε 。

具体计算时可用或ε 代替。

用 调整所得的ν 1 及ν 2 的 F 值查临界值表，得 F α (ν ' ,ν ' ) 。

由于ε≤ 1.0，所以调整后的重复测量资料方差分析重复测量（repeated measure ）是指对同一观察对象的同一观察指标在不同时间 点上进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间上的变化特点。

这类测量 资料在临床和流行病学研究中比较常见，例如，为研究某种药物对高血压病人的 治疗效果，需要定时多次测量受试者的血压，以分析其血压的变动情况。

1、 重复测量资料方差分析中自由度调整方法1.调整系数 ε 的计算有两个调整系数，第一个是 Greenhouse-Geisser 调整系数 ε (G - G ε ) ，计算 公式为ε =a 2(s kl - s 2) 2(a -1)[∑ ∑ (s kl ) 2 - (2a )(∑ (s 2 ) 2 ) + a 2 (s 2 ) 2 ]k l kkl 2 2 ∑∑ s k l 2 kl ) / a 2 是所有元素的总平均值， s 2 kk l2 2 ll2 2 kkll 第 2 个系数是 Huynh-Feldt 调整系数 ε (H - F ε ) 。

研究表明，当 ε 真值在 0.7 以上时，用 ε 进行自由度调整后的统计学结论偏于保守，故 Huynh 和 Feldt 提 出用平均调整值 ε 值进行调整。

ε 值的计算公式为ng (a - 1)ε - 2 (a - 1)[(n - 1)g - (a - 1)ε ]式中中的 g 是对受试对象的某种特征（如年龄或性别）进行分组的组数，n 是每组的观察例数。

统计学中的重复测量数据分析重复测量数据分析是统计学中一个重要的研究领域，它主要用于分析在同一个实验条件下、对同一取样单位进行多次测量所得的数据。

通过对这些重复测量数据进行分析，我们可以获得更准确的估计结果，更深入地了解数据的变化趋势，并进行有效的假设检验。

一、重复测量数据的特点及意义重复测量数据与单次测量数据相比，具有以下几个显著特点：1. 相关性：重复测量数据之间存在一定的相关性，因为它们来自同一个实验条件下的取样单位。

这种相关性需要在数据分析中予以考虑。

2. 可重复性：通过多次测量，我们可以更好地估计测量误差，并提高数据的可靠性和可重复性。

3. 变异度：重复测量数据可以帮助我们更全面地了解数据的变异度，从而更准确地评估实验结果的稳定性和一致性。

重复测量数据的分析有助于我们深入理解数据背后的规律和关系，更准确地判断实验结果的可靠性，并为进一步的统计推断提供基础。

二、可利用的重复测量数据分析方法在统计学中，有许多可利用的方法用于分析重复测量数据。

下面将介绍几种常见的方法：1. 方差分析（ANOVA）：方差分析是一种用于比较多个组别间差异的统计方法。

对于重复测量数据，可以使用重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）来比较多个时刻或处理条件下的测量值之间的差异。

通过分析组间和组内的方差，我们可以确定是否存在显著差异。

2. 相关分析：重复测量数据之间的相关性是分析的重要考虑因素之一。

通过计算相关系数，可以判断多次测量之间的相关程度，并评估相关性是否显著。

3. 重复测量线性模型：重复测量线性模型（Repeated Measures Linear Model）是一种常用的数据分析方法，它将重复测量数据建模为一个线性关系。

通过该模型，可以估计不同因素对测量结果的影响，并进行显著性检验。

4. 重复测量时间序列分析：对于具有时间序列性质的重复测量数据，可以采用时间序列分析方法。

通过建立合适的时间序列模型，可以对数据的趋势、季节性和周期性进行建模和预测。

重复测量的方差分析重复测量方差分析的基本概述：被试对象在接受不同处理后，对同一因变量（测试指标）在不同时点上进行多次测量所得的资料，称为重复测量资料。

这里的重复并不是单一的反复，而是在多个时点上的测量。

这种资料的特点是其定量观测指标的数值会随着时间的变化而发生动态变化，并且各时点上的数值是不满足相互独立的假设的。

因此不能用方差分析的方法直接进行处理。

如果在期初、期中、期末分别测量学生的电脑能力，则这是单变量重复测量问题。

如果分别在三个时期测量学生的电脑和数学成绩，则是多变量重复测量的问题。

重复测量资料的方差分析需满足的前提条件：1、一般方差分析的正态性和方差齐性检验。

2、协方差矩阵的球形对称性或者复合对称性；需要进行球形检验，检验对称性。

原假设：协方差满足球形对称。

当拒绝球形假设时，结果中还有其他表可以检验，见例题中的分析。

被试对象处理测量时间1 2 3 4…………m1 1 ………………………………………….2 1 ………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….N1 1 …………………………………………..N1+1 2 …………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………N2 2 …………………………………………………….例：为研究新减肥药和现有减肥药的效果是否不同，以及肥胖者在服药后不同时间体重的变化情况，将40名体重指标BMIF27的肥胖者随机分为两组，一组用新药，另一组用现有减肥药；坚持服药6个月，期间禁止使用任何影响体重的药物，而且被试对象行为、饮食、运动与服药前平衡期保持一致；分别测得0周、8周、16周、24周的体重资料；试对其进行方差分析。

Spss数据格式片段如下：1、正态性和方差齐性检验对4个不同时点上的体重变量进行检验使用科莫格洛夫—斯米诺夫检验只要16周第二种处理不显著，其他都显著不为0.可认为正态性假设基本成立。