2015惠州第三次调研考试(文数)----已排版

惠州市2015届高三第三次调研考试数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B ==则集合AB =（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} 2．已知0＜a ＜2，复数z a i =+（i 是虚数单位），则||z 的取值范围是（ ） A ． B ．（1，5）C ．（1，3）D ． 3．函数()ln(1)f x x =++的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)(2,)-+∞ C ．(1,2)- D ．(]1,2-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2-D ．3 5．已知a R ∈，则“22a a <”是“2a <”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 7．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行CD ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．95D ．1 9．右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ） A ．72 B ．36 C ．24 D ．1210．已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，若对于任意两个实数12x x ≠，不等式()1212()0f x f x x x ->-恒成立，则不等式(3)0f x +<的解集为（ ）A ．(,3)-∞-B ．(4,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,4)-∞-二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=，且a b ⊥，则实数x =____________．12．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，若15a =，10b =，3A π=，则cos =B _____．13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有20PA PB +=uu r uu r r，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则这粒黄豆落在PBC △内的概率为___________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆4ρ=截得的弦长为____________． 15．（几何证明选做题）如图，已知ABC △内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 切圆O 于A ，若30ABC ∠=︒，2AC =，则AD 的长为____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+=-r r ．令()f x a b =⋅r r，（1）求()f x 的最小正周期；（2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值． 17．（本小题满分12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如右表：已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2． （1）求表中x 的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号。

如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 （3）已知145y ≥，145z ≥，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率。

18．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB BC ⊥，E 、F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ； （3）若AB BC a ==，12A A a =，求三棱锥F ABC -的体积．19．（本小题满分14分）已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点．数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第18题）20．（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点()0,2到直线2l 距离最短时，求直线2l 的方程．21．（本小题满分14分）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数．（1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围；（2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．惠州市2015届高三第三次调研考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．【解析】直接可得{}0,1,2,3,4A B =，故选A ．2．【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ，故选D ．3．【解析】函数式若有意义需满足条件：10120220x x x x x +>⎧>-⎧⎪-≥⇒⎨⎨<⎩⎪-≠⎩ 取交集可得：()1,2x ∈-，故选C ．4．【解析】等差数列中，由1333()62a a S +==，且14a =得30a =，则31231a ad -==--，故选C ． 5．【解析】因为22a a <，所以02a <<，则“22a a <”是“2a <”的充分而不必要条件。

先解出22a a <，再进行判断即可。

故选A ．6．【解析】通过求出两圆心的距离为：1<17<5，即1212r r d r r -<<+，因此选B ．7．【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B 错； 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直； 故D 错；故选项C 正确． 8．【解析】目标函数y x 可以变形为0y k x -=-，则表示为可行域内的点(,)x y 和原点(0,0)连线的直线的斜率，由图可知：当其经过点(1,6)C 时，直线的斜率最大，即y x 有最大值为60610y x -==-，故选B ． 9．【解析】本题的直观图是一个三棱锥．由三视图知底面三角形的高为3，底边长为6，则底面三角形的面积为16392S =⨯⨯=，由侧视图知有一条侧棱与底面垂直，三棱锥的高为4，直接代公式可求体积194123V =⨯⨯=，故选D ．10．【解析】函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，则关于原点对称，由函数(1)f x -的图像向左平移一个单位得到函数()f x 的图像，则函数()f x 的图像关于点(1,0)-对称；又对于任意的1212,x x x x R ≠∈且满足不等式1212()()0f x f x x x ->-可知，函数()f x 在R 上单调递增，结合图像可知(3)0f x +<得31x +<-，则4x <-，故选D ．二、填空题：（每小题5分，共20分） 11、 0． 1213、13 14、 15、11【解析】∵(1,2),(2,1)a x b =-=，且a b ⊥，∴()2120a b x ⋅=-+=r r，解之可得x=0．故答案为0．12【解析】根据正弦定理sin sin a bA B =可得1510sin sin 3B π=解得sin B =，又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以cos B ==，故答案为313【解析】由20PA PB +=uu r uu r r 2PA PB ⇒=-u u r u u r ，则点P 是边AB 的三等分点（靠近点B ），得长度关系13PB AB =，且PBC ∆与ABC ∆的高相等，则：1S 3PBC ABC S ∆∆=，所以所求概率为13．14【解析】直线sin()24πρθ+=的直角坐标方程为0x y +-=，圆4ρ=的直角坐标方程为2216x y +=，因为圆心（0，0）到直线的距离d=2，半径r=4，所以截得的弦长为15【解析】∵OA=OC ，且260AOC ABC ∠=∠=︒，∴△AOC 是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 【知识点】()sin y A x ωϕ=+的图像及性质．【解析】 ()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅…………………………．2分 22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+ ………………… …．．．4分)4x π=+ ………………………………………………………5分（1）由最小正周期公式得：22T ππ== …………………………………………6分 （2）]43,4[ππ∈x ，则372[,]444x πππ+∈…………………………………………7分 令3242x ππ+=，则58x π=， (8)从而)(x f 在5[,]48ππ单调递减，在53[,]84ππ单调递增 ………………．10分 即当58x π=时，函数)(x f 取得最小值2- ……………………………12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。