【精选】高中数学课下能力提升一简单旋转体北师大版必修2

1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台必备知识基础练知识点一球的结构特征1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台2．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④球常用表示球心的字母表示．其中正确说法的序号是________．知识点二圆柱的结构特征3．下列关于圆柱的说法中，不正确的是( )A．分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的曲面所围成的几何体是圆柱4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4π B．8πC．2π D．π知识点三圆锥、圆台的结构特征5．下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．36．圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面面积为________．7．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．关键能力综合练一、选择题1.如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴(直线l)旋转而成，这个图形是( )2．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①④ D．②③3．下列命题中，正确的个数是( )①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面．A．0 B．1C．2 D．34．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的( )A．4倍 B．3倍C．2倍 D．2倍5．(探究题)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由( )A ．一个圆台、两个圆锥构成B ．两个圆台、一个圆锥构成C ．两个圆柱、一个圆锥构成D ．一个圆柱、两个圆锥构成 二、填空题 6．下列说法：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线． 其中正确说法的序号为________．7．给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中正确说法的序号是________．8．两相邻边长分别为3 cm 和4 cm 的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．三、解答题 9.如图所示是一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线l 旋转180°，请说出所得几何体的结构特征．学科素养升级练1.(多选题)某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )A ．圆锥的侧面展开图的圆心角为3π2B ．圆锥的高为7C ．过圆锥的两条母线作截面，截面面积的最大值为8D ．圆锥轴截面的面积为3722．(学科素养——数学运算)圆台的上、下底面半径分别为5 cm ，10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A (A 在下底面上)，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台必备知识基础练1．答案：C解析：由球的结构特征知该几何体是球．故选C. 2．答案：①④解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．3．答案：C解析：用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形．故选C.4．答案：C 解析：将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是圆柱，它的底面是半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.故选C.5．答案：B 解析：①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，②中应以直角梯形的直角腰所在直线为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确．故选B.6．答案：63 cm 2解析：圆台的高为h ＝（310）2－（5－2）2＝9(cm)，∴S ＝（4＋10）×92＝63(cm 2).7．解析：如图所示，设圆台的母线长为l cm ，截得圆台的上、下底面半径分别为r cm ，4r cm.根据相似三角形的性质得33＋l ＝r4r，解得l ＝9.所以圆台的母线长为9 cm.关键能力综合练1．答案：B 解析：根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A 项，旋转后圆台；C 项，旋转后圆台；D 项，球体中挖去一个小球．故选B.2．答案：B解析：对于①，圆柱的母线与它的轴是平行的，所以①错误； 对于②，圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，所以②正确；对于③，在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，所以③错误；对于④，圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，所以④正确．综上可知，正确命题的序号是②④.故选B.3．答案：C解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确．由圆锥的结构特征可知③错误．故选C. 4．答案：D解析：由题知圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r ，则圆锥的底面积为πr 2，圆锥的侧面积为12×2πr ×2r ＝2πr 2，所以它的底面积与侧面积之比为1∶2.故选D.5．答案：D解析：旋转体如图，可知选D.6．答案：②解析：①所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②符合圆锥母线的定义及性质．7．答案：(2)(3)(4)解析：(1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； (4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l 有可能大于圆锥底面圆半径r 的2倍(即直径). 8．答案：3 cm ，4 cm 或4 cm ，3 cm解析：当以3 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm ，底面半径为4 cm ； 当以4 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm ，底面半径为3 cm. 9．解析：正三角形绕直线l 旋转180°得到圆锥，圆绕直线l 旋转180°得到的是球体，所以得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球．学科素养升级练1．答案：ABC解析：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为2π·3＝6π，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为6π4 ＝3π2 ，所以A 选项说法正确；因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高h ＝42－32＝7 ，所以B 选项说法正确；设圆锥的两条母线的夹角为θ，过这两条母线作截面所得截面的面积为12×4×4·sin θ＝8sin θ，当θ＝π2时，面积有最大值，最大值为8，此时，截面与底面交线长为42 ，小于底面直径6，所以C 选项说法正确；圆锥轴截面的面积为12×6×7 ＝37 ，所以D选项说法不正确．故选ABC.2．解析：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，圆心角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧θ·l ＝2π×5，θ·（l ＋20）＝2π×10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π2，l ＝20.所以OA ＝40(cm)，OM ＝30(cm)，所以AM ＝OA 2＋OM 2＝50(cm)， 即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离． 因为OA ·OM ＝AM ·OQ ，所以OQ ＝OA ·OM AM ＝40×3050＝24(cm)，故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。

2.简单旋转体
球 圆柱 圆锥 圆台
棱柱 3.简单多面体 棱椎 棱台
R
以直角梯形垂直于底边的 腰所在直线为轴，其余各 边旋转而成的曲面所围成 的几何体 轴截面是全等等腰梯形
定义 性质
以直角三角形一直角边所 在直线为轴，其余各边旋 转而成的曲面所围成的几 何体 轴截面是全等等腰三角形
课堂小结
1.几何的平面是可以无限延展，一般地, 我们用平行四边形表 示平面,记为平面 或平面 ABCD
记作：棱柱 或棱柱
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧 面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫做棱 柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两 个底面的距离叫做棱柱的高。
（2）棱柱的分类
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分
别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
R 3R R 3R 2 R2 64 R=8 CD r , BD , AD r 2 2 2 2
球的截面及其性质
1.截面是一个圆面 ① OO '⊥截面圆 O '
O
R
d
② r 2.大圆
R d
2
2
ß
r
O'
截面
经过球心的截面圆
.o
小圆 不经过球心的截面圆
（1）棱柱的概念
①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何 体叫做棱柱。
S
S D
O1
O1
C
C
O
B
A
O
B
填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴

关
形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫
作旋转体．
填一填·知识要点、记下疑难点
3．分别以 矩形 的一边、直角三角形的 一条直角边 、直角 梯形 垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴，其余各边
本
旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、
课 时
圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的 高 ，垂直
长是 3 cm，求圆台的母线长．
本 解 设圆台的母线长为 l，由题意可知截得圆台的上、下底面
课 时 栏 目
半径分别为 r,4r. 根据相似三角形的性质得，3＋3 l＝4rr，
开 关
解得 l＝9.
所以，圆台的母线长为 9 cm.
研一研·问题探究、课堂更高效
例 3 下列命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
圆台．
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本 小结 解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必
课 时
须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．
栏
目
开
关
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跟踪训练 3 如图，一个圆环面绕着过圆心的直
线 l 旋转 180°，所得几何体的结构特征如何？
本
课 解 由两个同心的大球和小球，大球里去掉小
和纬线中哪些是大圆？ 答 所有经线所在的圆和纬线中纬度为零度的纬线是大圆．
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问题 6 什么叫作旋转面？什么叫作旋转体？球面及球体是
旋转面还是旋转体？
本 课
答 一个平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所
时 栏
形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转

).
(2)下列说法正确的是(
).
A.直线绕定直线旋转形成柱面
B.半圆面绕定直线旋转形成球体
C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
解析:(2)当直线与定直线平行时,直线绕定直线旋转才形成柱
面,故A错误;半圆面以其直径所在直线为旋转轴旋转才形成
球体,故B错误;矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱,
是解答旋转体中计算问题的关键.
旋转体的生成过程
【典例】 如图6-1-7,四边形ABCD为直角梯形,试作出绕其各
条边所在的直线旋转所得到的几何体.
图6-1-7
审题策略
审结论
分别以边 AD,AB,BC,CD 所在直线为旋转轴旋转
审条件
已知四边形 ABCD 为直角梯形
建联系
以边 AD 所在直线为旋转轴旋转→以边 AB 所在
转而成?
提示:能.
3.如何形成上述几何体的曲面?
提示:可分别以半圆的直径、直角梯形垂直于底边的腰、直
角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,旋转一周而成.
4.(1)定义:一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线
旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几
何体称为旋转体.
(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较: 表6-1-2
个矩形面;②错误,圆台的母线延长后必相交于一点;③错误,
没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行
截面与底面平行时,正确,其他情况则是错误的,如答图6-1-7.
答案:①
答图6-1-6
答图6-1-7
反思感悟 1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成.