第4章 布尔代数和逻辑简化 (2011)

解：
为了使的加和项为 0，该项中的每一个文字都必须是 0.所以 A=0、B=1(使得 B =0) 、C=0 以及 D=1(使得 D =0) 相关问题：确定使得加和项 A B 等于 0 的 A 和 B 的数值。
答案在本章的结尾。
布尔乘法
□ 与门是一个布尔乘法器 同样从第 3 章中我们知道，布尔乘法等价于与门运算，其基本法则用与门表示如下：
第 4 章 布尔代数和逻辑简化
本章大纲
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11
布尔运算和表达式 布尔代数的定律和法则 狄摩根定理 逻辑电路的布尔分析 用布尔代数进行简化 布尔表达式的标准形式 布尔表达式和真值表 卡诺图 卡诺图 SOP 最小化 卡诺图 POS 最小化 5 变量卡诺图
—
= 0，那么A = 1。变量 A 的反码读作“A 非”或者“A 横杠”。有时候用撇符号而不是
上划杠来指示变量的反码；例如， B 就表示 B 的反码。在本书中，使用的是上划杠。文字
是一个变量或者变量的反码。
在微处理器中，算术逻辑单元(ALU)根据程序的指令，对数字数据执
行算术和布尔逻辑运算。逻辑运算等价于你所熟悉的门运算，但是每次至少处理 8 位。布 尔逻辑指令的例子为与、或、非和异或，它们被称为助记符。汇编语言程序使用助记符来 指定运算。另一个称为汇编器的程序将助记符翻译成可以被微处理器理解的二进制代码。 布尔加法 □ 或门就是一个布尔加法器 记得在第 3 章中，布尔加法等价于或运算，其基本法则用或门表示如下：
AB 00 0O O1 01 1O 10 11 11
表 4.4 法则 12:（A 十 B)(A+C)=A+BC(T04-04 文档）
C A+B A+C A十B)(A+C) BC A+BC
法则 6：A+ A =1 一个变量和它的反码进行或运算总是等于 1。如果 A 为 0，那 么 0+ 0 =0+1=1。如果 A 为 l，那么 1+1=1+0=1。参见图 4.11，
其中一个输入是另一个输入的反码。
法则 7：A∙A=A 一个变量和它本身进行与运算总是等于变量本身。如果 A=0， 那么 0∙O=O；如果 A=1，那么 1∙1=1。图 4.12 阐释了这个法则。
(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC 分配律
= A+AC+AB+BC 法则 7:AA =A
= A(1+C)+AB+BC 因子分解（分配律）
=A∙1+AB+BC
法则 2：1+C=1
=A(1+B)+BC
因子分解（分配律）
=A∙1+BC
法则 2：1+B =1
=A +BC
法则 A∙1=A
这个证明如表 4.4 所示，其展示了真值表和结果逻辑电路简化。
法则 4：A∙1 =A 一个变量和 1 进行与运算总是等于变量本身。如果 A 为 0，与 门的输出就是 O。如果 A 为 1，与门的输出就是 1，因为现在这两个输入都 是 1。这个法则如图 4.9 所示，其中第二个输入固定为 0。
法则 5：A+A=A 一个变量和它本身进行或运算总是等于变量本身。如果 A 为 0． 那么 O+0=O；如果 A 为 1，那么 1+1=1。这个法则如图 4.10 所示， 其中两个输入都是相同的变量。
A+(B+C)=(A+B)+C
（式 4.3）
这个定律表在对于多于两个的变量进行运算时，无论将哪些变量分为一组，其
结果都是相同的。图 4.3 展示了这个应用于 2 输入或门的定律。
图 4.3 加法结合律的应用（参考 F04-03 文档）
对于 3 个变量，乘法的结合律可以写作： A(BC)=(AB)C
（式 4.4）
表 4.2 法则 10:A 十 AB=A
A
B
0
0
O
1
1
O
1
1
等于
AB
A+B
0
0
0
0
0
1
1
1
法则 11：A+ AB =A+B 这个法则证明如下：
直接连接 直接连接
A+ AB =(A+AB)+ AB
法则 10:A=A+AB
=(AA+AB)+ AB
法则 7：A=AA
= AA+AB+A A + AB 法则 8：加 A A =0
解：
—
为了使得乘积项等于 1，那么该项的每一个文字都必须是 1.所以，A=1、B=0(使得B
-
=1)、C=1、 以及 D=0(使得D=1)。
相关问题：确定使得乘积项 AB 等于 1 的 A 和 B 的值。
4 1 节复习
答案在本章的结尾。
1．如果 A=0，那么 A 等于多少？ 2．确定使得加和项 A B C 等于 O 的 A、B 和 C 的数值。 3．确定使得乘积项等于 ABC 等于 1 的 A、B 和 C 的数值。
表 4.1 列出了 12 个基本法则，这在操作和简化布尔表达式中非常有用。法则 1～9 将会以它们在逻辑门中应用的形式得以介绍。法则 10～12 将会从先前已讨论的简单法 则和定律中引申出来。
表 4.1 布尔代数的基本法则

1.A+0=A 2.A+1=1
7.A∙A=A
8. A ∙ A =O
3.A∙0=0
与运算，等价于将这个单变量和这两个或者更多变量中的每一个变量分别进行与运算，
然后再将乘积进行或运算。分配律同样表示了因子分解的过程，共同变量 4 从乘积项中
分解出来，例如，AB+AC=A(B+C)。图 4.5 以门实现的形式阐述了分配律
。
图 4.5 分配律的应用（参考 F04-05 文档）
布尔代数法则
这个定律表明当多于两个变量进行与运算时，变量被分组的次序不会对结果产生 差别。图 4.4 展示了这个应用于 2 输入与门的定律。
图 4.4 乘法交换律的应用
分配律 对于 3 个变量的分配律可以写作：
A(B+C) = AB + AC
（式 4.5）
这个定律表明当对两个或者更多的变量执行或运算，然后再将结果与单个单变量进行
=(A+ A )(A+B)
因子分解
=1∙(A+B)
法则 6：A+ A =1
=A+B
法则 4：舍去 1
这个证明如表 4.3 所示，其展示了真值表和结果逻辑电路简化。
表 4.3 法则 11: A+ A B=A+B
A
B
AB
0
0
O
A + A B A+B
0
O
0
1
1
1
1
1
O
0
1
1
1
1
0
1
1
等于
法则 12:(A+B)(A+C) =A 十 BC 这个法则的证明如下所示：
本章学习目标 ■ 应用布尔代数的基本定律和法则 ■ 应用狄摩根定理到布尔表达式 ■ 用布尔表达式描述逻辑门网络 ■ 计算布尔表达式 ■ 使用布尔代数的定理和法则简化表达式 ■ 变换任意的布尔表达式为乘积加和(SOP)形式 ■ 变换任意的布尔表达式为加和乘积(POS)形式 ■ 使用卡诺图简化布尔表达式 ■ 使用卡诺图简化真值表函数 ■ 使用“无关紧要”条件简化逻辑功能 ■ 在系统应用中使用布尔代数和卡诺图方法
农(Claude Shannon)第一次应用布尔的工作来分析和设计逻辑电路。1938 年，香农在 MIT 写了一篇论文，题目是《延迟和转换电路的符号分析》。
本章介绍了布尔代数的定律、法则和定理，以及它们在数字电路上的应用。你将学习 怎样用布尔表达式来定义一个给定的电路，然后计算它的运算。你还会学习怎样使用布尔 代数和卡诺图来简化逻辑电路。
4.1 布尔运算和表达式
布尔代数是关于数字系统的数学。布尔代数的基本知识对于学习和分析逻辑电路是必 不可少的。在上一章中，对于非、与、或、与非以及或非门相关的布尔运算和表达式已经 得到了介绍。本节复习了上述内容并提供了附加的定义和信息。
学完本节之后，你应当能够 ■ 定义变量 ■ 定义文字 ■ 识别加和项
律——和二进制代数中的定律是一样的。每一个定律都会由两个或者三个变量来阐
释，但是变量的个数并不局限于此。
交换律 两变量加法的交换律可以写作
A+B= B+A
（式 4.1）
这个定律表明变量被执行或运算的次序并不会对结果产生差别。记住，在布尔代数应
用于逻辑电路时，加法和或运算是一样的。图 4.1 展示了应用于或门的交换律，并且展
在布尔代数中，乘积项就是文字的乘积。在逻辑电路中，乘积项由与门运算产生，而
没有涉及或运算。乘积项的一些例子为 AB、 AB 、ABC、以及 ABC D 。
只有当乘积项中的每一个文字都是 1 时，乘积项才等于 1。当一个或者多个文字为 0 时，乘积项就等于 0。
示例 4.2
确定使得乘积项 ABC D 等于 1 的 A、B、C、D 的数值。
9． A =A
4.A∙1=A 5.A+A=A
10．A+ AB=A
11. A + A B =A+B
6.A+ A =1
12.(A+B)(A+C)=A+BC
A、 B 或者 C 可以表示一个单变最或者变量的组合。