高中数学人教A版必修二课件：2.3.1 直线与平面垂直的判定

3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
4．直线与平面所成的角. 范围[0： ,90]
四.知识小结：
（1）
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
练习：
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证:
VB⊥AC.
V
.D
A
提示：找AC中点D,连接VD,BD B
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C
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2.过ΔABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,∠C = 900,则O是AB边的_中_点. 2).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的__外___心. 3).若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是ΔABC 的___垂__心.
O
B
解 ： （ 1）
C
AB ,AC , 且 AB AC A PA AC ,PA AB \ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB为直径
\BC AC
由1得BC PA,又QPA AC A
\BC面PAC
\ PA BC
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2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )

解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．

☆直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 90o （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直．
l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP
n
线不在多，重在相交
判定定理
线线垂直
线面垂直
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
ab
mn
a b，a b
证明: 在平面内作两条相交直线m, n.
猜一猜 我们需要寻求一个简单可行的 办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
动手操作
如图，准备一块A三角形的纸片，做一个实验：A
A
lACDB NhomakorabeaP
D
C
C
B
D
C
BD B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片（边，B上D得的，到高D折C时痕于，A桌DA面D，所接将在触翻直）
人教版高中数学必修二
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面有那些位置关系？ c a

9
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
小结：证明线面垂直的方法关键是证明
符号表示： a,b AA1,BB1,CC1,DD1
与平面 ABCD 垂直的直线 平面 内能否找到与直线 不垂直的直线？
③推出直线与平面垂直的条件缺一不可.
abP 小结：证明线面垂直的方法关键是证明
宿舍楼前的 垂直 柱子与地面：
桥墩与水面：
3

l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？ 平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
α 4
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？
平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
证明： VA = VC ， O 为 AC 中点
∴VO ⊥ AC
AB = BC ， O 为 AC 中点
∴BO ⊥ AC
又 VO , BO ⊂ 平面 VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平面 VOB
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探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
BD A1A, BD AC
可 得 B D 平 面 A C C 1A
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变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，