2005年考研数学二试题及答案

超级狩猎者

2005年数学二试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设xxy)sin1(，则xdy = 。

（2） 曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为.

（3）10221)2(xxxdx

（4） 微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为

(5)当0x时,2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k= .

（6）设321,,均为3维列向量，记矩阵

),,(321A，)93,42,(321321321B，

如果1A，那么B .

二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内

(A） 处处可导. （B) 恰有一个不可导点。

(C) 恰有两个不可导点. (D） 至少有三个不可导点。 [ ]

（8）设F(x)是连续函数f（x）的一个原函数，""NM表示“M的充分必要条件是N"，则必有

(A) F（x)是偶函数f(x)是奇函数。

（B) F(x)是奇函数f（x)是偶函数.

(C) F（x)是周期函数f（x）是周期函数.

(D) F（x）是单调函数f(x）是单调函数。 ［ ］

(9）设函数y=y(x）由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

(A） 32ln81. (B） 32ln81.

（C) 32ln8。 （D) 32ln8. [ ]

(10)设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，f(x)为D上的正值连续函数，a，b超级狩猎者

为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()(

(A） ab. (B) 2ab。 （C） )(ba. (D) 2ba 。 [ ]

（11）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有

(A） 2222yuxu。 （B） 2222yuxu.

(C) 222yuyxu。 (D) 222xuyxu。 ［ ］

（12）设函数,11)(1xxexf则

(A) x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B） x=0，x=1都是f（x)的第二类间断点。

（C) x=0是f（x)的第一类间断点,x=1是f（x）的第二类间断点.

x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x）的第一类间断点. ［ ]

（13)设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,,则1，)(21A线性无关的充分必要条件是

(A) 01。 (B） 02。 （C) 01。 （D） 02. ［ ]

(14）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B， **,BA分别为A,B的伴随矩阵，则

(A) 交换*A的第1列与第2列得*B。 （B） 交换*A的第1行与第2行得*B。

（C) 交换*A的第1列与第2列得*B。 （D) 交换*A的第1行与第2行得*B.

［ ］

三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

（15）(本题满分11分)

设函数f（x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx

(16）（本题满分11分) 超级狩猎者

如图，1C和2C分别是)1(21xey和xey的图象，过点（0，1）的曲线3C是一单调增函数的图象. 过2C上任一点M（x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线xl和yl. 记21,CC与xl所围图形的面积为)(1xS；32,CC与yl所围图形的面积为).(2yS如果总有)()(21ySxS，求曲线3C的方程).(yx

（17)（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f（x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C在点(0，0）与(3,2)处的切线，其交点为（2，4)。 设函数f（x）具有三阶连续导数,计算定积分302.)()(dxxfxx

(18)（本题满分12分）

用变量代换)0(costtx化简微分方程0)1(2yyxyx,并求其满足2,100xxyy的特解.

（19)（本题满分12分）

已知函数f（x）在［0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，f（1)=1. 证明:

（I）存在),1,0( 使得1)(f；

（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f（x，y) 的全微分ydyxdxdz22，并且f（1,1,）=2。 求f（x，y)在椭圆域}14),{(22yxyxD上的最大值和最小值.

（21)（本题满分9分）

计算二重积分dyxD122，其中}10,10),{(yxyxD。

（22）(本题满分9分)

确定常数a，使向量组,),1,1(1Ta,)1,,1(2TaTa)1,1,(3可由向量组,),1,1(1Ta,)4,,2(2TaTaa),,2(3线性表示，但向量组321,,不能由向量超级狩猎者

组321,,线性表示.

(23)（本题满分9分)

已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,,),,,(不全为零，矩阵kB63642321（k为常数)，且AB=O， 求线性方程组Ax=0的通解。

以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过

1。。【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】 方法一： xxy)sin1(=)sin1ln(xxe，于是

]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx，

从而 xdy=.)(dxdxy

方法二： 两边取对数，)sin1ln(lnxxy，对x求导，得

xxxxyysin1cos)sin1ln(1，

于是 ]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx,故

xdy=.)(dxdxy

【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式。

2.。【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可。

【详解】 因为a=,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx

23)1(lim)(lim2323xxxaxxfbxx，

于是所求斜渐近线方程为.23xy 超级狩猎者

【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求,应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线；2）若当x时，极限xxfax)(lim不存在，则应进一步讨论x或x的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x〉0,所以只考虑x的情形.

3。.【分析】 作三角代换求积分即可.

【详解】 令txsin,则

10221)2(xxxdx202cos)sin2(cossindttttt

=.4)arctan(coscos1cos20202tttd

【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等。

4。。.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：

])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

xyxyln2，

于是通解为 ]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx

=2191ln31xCxxx，

由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy

【评注】 本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型。 另外，本题也可如下求解：原方程可化为

xxxyyxln222，即 xxyxln][22，两边积分得

Cxxxxdxxyx332291ln31ln,

再代入初始条件即可得所求解为.91ln31xxxy

5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0xxx，由此确定k即可。 超级狩猎者

【详解】 由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx

=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx

=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k

【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分,本质上,这类问题均转化为极限的计算.

6…【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有

)93,42,(321321321B

=941321111),,(321，

于是有 .221941321111AB

【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若

nnaaa12121111，

nnaaa22221212，



nmnmmmaaa2211，