2005年考研数学数学二真题及答案解析

1 2005年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线122xxy 的斜渐近线方程为 .4121xy

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=212lim)(lim22xxxxxfxx，

41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，

于是所求斜渐近线方程为.4121xy

【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x时，极限xxfax)(lim不存在，则应进一步讨论x或x的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线。

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】

（2） 微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.

【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：

])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

xyxyln2，

于是通解为 ]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx

=2191ln31xCxxx，

由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为

xxxyyxln222，即 xxyxln][22，两边积分得

2 Cxxxxdxxyx332291ln31ln，

再代入初始条件即可得所求解为.91ln31xxxy

1目录

考研数学历年真题——数学（二）

2005年全国硕士研究生入学统一考试 ........................................................... 1

一、填空题. ........................................................................................................... 3

二、选择题. ........................................................................................................... 3

三、解答题. ........................................................................................................... 5

2006年全国硕士研究生入学统一考试 ........................................................... 8

一、填空题. ........................................................................................................... 8

二、选择题 ............................................................................................................ 8

三、解答题 .......................................................................................................... 10

2005年数学考研真题分类解析

1

第一部分 高等数学

一、函数、极限与连续

1．（数二）当0x时，2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k= 43 .

【分析】 题设相当于已知1)()(lim0xxx，由此确定k即可.

【详解】 由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx

=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx

=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k

【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.

2．（数二）设函数,11)(1xxexf则（ ）

(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.

且 )(lim0xfx，所以x=0为第二类间断点；

0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 2005年数学考研真题分类解析

2 【评注】 应特别注意：1lim1xxx，.1lim1xxx 从而11limxxxe，.0lim11xxxe

3．（数二）设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx

2005数二高数题 -回复

2005年的数学二高数题涵盖了一系列有趣而具有挑战性的问题。这些问题涉及不同的数学概念和技巧，要求学生有扎实的数学基础和灵活的解题思路。在本文中，我们将逐一探讨这些问题，并提供解决方法和思考过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

让我们来看一道关于函数的问题。题目要求我们求解函数f(x) =

x^2 - 2x + 1的零点，并判断其图像在坐标系中的位置。要解决这道题，我们可以使用二次方程的求根公式，即x = (-b ± √(b^2 -

4ac)) / 2a。将函数f(x)代入公式中，我们可以得到两个根x = 1。根据函数的图像特征，我们可以得出结论：函数f(x)的图像位于坐标系中的点(1,0)处。

接下来，我们来解决一道概率题。题目给出了一个事件A，该事件发生的概率为P(A) = 0.4，另一个事件B与事件A相互独立，且事件B发生的概率为P(B) = 0.3。我们需要求解事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)。由于事件A与事件B相互独立，我们可以使用概率乘法公式来计算P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.3 = 0.12。因此，事件A与事件B同时发生的概率为0.12。

接下来，我们来解决一道关于三角函数的问题。题目给出了一个正弦函数f(x) = sin(2x + π/4)的图像在[-π, π]上的变化情况。我们需要找出f(x)的最大值和最小值所对应的x值。要解决这道题，我们需要知道正弦函数的最大值和最小值分别为1和-1，且周期为2π。由于函数f(x)中的参数2x + π/4表示对x的水平方向的平移，我们可以得出结论：f(x)的最大值对应的x值为π/4，最小值对应的x值为3π/4。

让我们来解决一道关于数列的问题。题目给出了一个数列{an}的通项公式an = 2^(n-1) + n，我们需要求解数列的前n项和Sn。要解决这道题，我们可以先观察数列的前几项，发现数列中的每一项都可以表示为2的幂次方与n的和。因此，数列的前n项和Sn可以表示为Sn = 2^0 + 1 + 2^1 + 2 + 2^2 + 3 + ... + 2^(n-1) +