数学中的格点图形
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1 数学中的格点图形
网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题．
一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
【例1】（2006，大连）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（ ）．
A．(1， 2) ； B．(2， 1) ； C．(－1， 2) ； D．(1，－2)．
图 1Eyx123-1-2-3-3-2-1321O 123574689ACBDEFGHI12345678
【例2】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ．
【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为（ ）．
A．(－4，2)； B．(－4，－2)； C．(4，－2)； D．(4，2) ．
二、在网格中运用勾股定理进行计算．
【例4】图4，是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中
所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m．（结果保留根号）
【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( ).
A. 43； B. 34 ； C. 53 ； D. 54． A
B
C
4题 图 1m
2 α
ABC
【例6】如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．
A．322 ； B．3510 ； C．355 ； D．455 ．
【例7】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点
坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．
ABCOxy ABCOxyDEF
【例8】（2006，广州）如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．
1111A. ; B. ; C. ; D. .47822
图1 图2
3 【例9】在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（－4，－3），D（6，－3），并将各点用线段顺次连接构成一个四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？
（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．
三、分类讨论思想在格点问题中的运用．
【例10】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为
A．3个； B．4个； C．5个； D．6个．
AB C3C1C2AB
【例11】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
四、网格中图形变换的画图与描述．
【例12】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（ ）
4 MN A'AMN
图1 图2
A. 先向下移动1格，再向左移动1格； B. 先向下移动1格，再向左移动2格；
C. 先向下移动2格，再向左移动1格； D. 先向下移动2格，再向左移动2格．
【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
⑴画出△OA′B′；
⑵点A′的坐标为________________；
⑶求BB′的长．
ABO
【例14】如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出△AB3C3的图形．
5
图1
【例15】如图1，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1)画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．
图1
五、网格图形的操作方案设计问题．
【例16】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．
6 【例17】如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．
（1）如果A、D两点的坐标分别是(1，1)和(0，－1)，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；
（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．
【例18】请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x，解得5x．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
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请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【例19】操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？ 图5 图4 图1 图2 图3
8
六、利用格点图形探究规律．
【例20】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12， 则第n个“L”形图形的周长是
①③②
A A A
B C
B B D
C E E D
C F
图① 图② 图③ 图④
