伯努利悖论

Ⅰ

论文题目 概率论的发展简介及在生活中的应用

摘要

概率论是一门研究不确定性和随机性等现象的一门数学，其发展过程从最初的研究赌博的随机性开始、最终形成了当代的概率理论这门重要的数学分支，研究概率论发展的历史，有助于更好的理解和学习概率论，并在实际的生活和诸多科技领域更好的应用这门数学科学。对此本文通过收集相关的文献资料对概率论的发展历程进行了梳理，从概率论的起源到发展，再到成熟进行了全面的论述，最后从生活应用的角度来阐述概率论和现代生活紧密的联系，并从经济管理决策、中奖问题、优化选择以及抽签公平问题和食品质量设计方案中等角度进行了深入的剖析。

关键字：概率论； 发展历程； 应用

Ⅱ Abstract

Probability theory is a mathematical study of an uncertain and stochastic

phenomenon, its development process begins, eventually forming probability of

modern theory of this branch of mathematics from the randomness of gambling first,

study the history of the development of probability theory, contribute to a better

understanding and learning the theory of probability, application and better in real life

and in many areas of science and technology of the mathematical sciences. In this

圣彼得堡悖论新解与不确定性估值

1 圣彼得堡悖论新解与不确定性估值

内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。

关 键 词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验

1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案

“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：

1111()24822482nnE――――――――――――(1.1)

由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。

Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。伯努利将货币的效用测度函数用货币值的对数来表示，从而所有结果的效用期望值之和将为一个有限值，则理性决策应以4元为界。

Liaoning Normal University

（2016届）

本科生毕业论文(设计)

题 目： 三门问题研究

学 院： 数学学院

专 业： 数学与应用数学(师范)

班级序号： 2班21号

学 号： 201221010640

学生姓名： 赵楠

指导教师： 孙德山 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料

2016年5月 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料

目 录

摘要（关键词） .......................................................................................................... 1

Abstract（Key words） .............................................................................................. 1

前言 ............................................................................................................................ 1

1 概率论发展简史 ....................................................................................................... 1

《在悖论中前进》读书笔记

目录

一、内容概要................................................3

1.1 读书背景.............................................4

1.2 作者简介.............................................4

二、正文概览................................................5

2.1 书中主要悖论概述.....................................6

2.2 悖论在哲学中的地位和作用.............................7

三、悖论分析................................................8

3.1 基本悖论分析........................................10

3.1.1 悖论的定义......................................10

3.1.2 历史上的著名悖论................................11

3.1.3 悖论的特点......................................13

3.2 悖论实例解析........................................13

3.2.1 矛盾律悖论......................................14 3.2.2 欧几里得悖论....................................15

3.2.3 伯努利悖论......................................16