空间向量与立体几何-单元测试含答案

空间向量与立体几何-单元测试含答案 1 / 21

第三章 空间向量与立体几何 单元测试

(时间： 90 分钟 满分： 120 分)

第Ⅰ卷 (选择题，共 50 分)

一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．

1．以下四组向量中，相互平行的组数为 ( )

① a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；② a＝(8,4，－ 6)，b＝(4,2，－ 3)；③

a＝(0，－ 1,1)，b＝(0,3，－ 3)；④ a＝(－3,2,0)，b＝(4，－ 3,3)

A．1 组 B．2 组

C．3 组 D．4 组

分析： ∵②中 a＝2b，∴ a∥b；③中 a＝－ 1 ，

3b

∴ a∥b；而①④中的向量不平行．答案： B

2．在以下命题中，不正确的个数为 ( )

①|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件；②若 a∥b，则存在独一的

→ 实数 λ，使 a＝λb；③对空间随意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP＝

→ → → 2OA－2OB－OC，则 P，A，B，C 四点共面；④若 { a，b，c} 为空间的一组

基底，则 { a＋b，b＋c，c＋a} 组成空间的另一组基底；⑤ |(a·b) ·c|＝|a| ·|b| ·|c|.

A．2

个

B．3 个

C．4

个

D ．5

个

分析： ①|a|－|b|＝|a＋ b|? a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时 |a|－|b|＝|a＋b|

不必定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③由于 2－2－1≠1，

由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数目积 空间向量与立体几何-单元测试含答案

2 / 21

的性质知，不正确．

答案： C 空间向量与立体几何-单元测试含答案 3 / 21

3．如图，已知四边形 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD，连结 AC，BD，

PB， PC，PD，则以下各组向量中，数目积不必定为零的是 ( )

→ → → →

与BD

B.DA 与PB

A. PC

→ → → →

C.PD 与AB 与CD

D.PA

分析：成立以下图的空间直角坐标系．

设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a，b，PA 长为 c，则 A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．

→ → → → 则PC＝(b，a，－ c)，BD＝(－b，a,0)，DA＝(0，－ a，0)，PB＝(b,0，

→ → → →

－ c)，PD＝ (0，a，－ c)，AB＝ (b,0,0)，PA＝(0,0，－ c)，CD＝(－b,0,0)．

→ → 空间向量与立体几何-单元测试含答案

4 / 21 ∴ PC·BD＝－ b2＋a2 不必定为 0. 空间向量与立体几何-单元测试含答案 5 / 21

→ → → → →

→ ＝0. · ＝0，PD· ＝0， PA·

DA PB AB CD

答案： A

4．已知向量 e1、e2、e3 是两两垂直的单位向量，且 a＝3e1＋2e2－e3，b

1 ) ＝e1＋2e3，则 (6a) ·b 等于 (

2

A．15 B． 3

C．－ 3 D ．5

1 分析： (6a) ·b ＝3a·b＝3(3e ＋2e －e ) ·(e ＋2e )＝9|e |2－6|e |2＝3.

2 1 2 3 1 3 1 3

答案： B

5．如图， AB＝AC＝BD＝1， AB? 面 α，AC⊥面 α，BD⊥AB，BD 与

面 α成 30°角，则A．1

C、D

间的距离为

(

)

B． 2

C. 2

D. 3

→ → → →

→ →

→

→

→

→ →

分析： |CD|2＝|CA＋AB＋ BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋ |BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD

→ →

→

＋ 2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝ 2.

答案： C

6．已知空间三点 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H 空间向量与立体几何-单元测试含答案

6 / 21

知足 BH⊥OA，则点 H 的坐标为 ( ) 空间向量与立体几何-单元测试含答案 7 / 21

A．(－2,2,0) B． (2，－

2,0)

C. －1，1，0 D. 1，－ 1，0

2 2 2 2

→ 分析：由OA＝(－1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(－λ，λ，0)，

→ 则BH＝(－λ，λ－1，－ 1)．

→ → 又 BH⊥OA，∴ BH·OA＝0，

即(－λ，λ－1，－ 1) ·(－1,1,0)＝0，

即 λ＋λ－ ＝ ，解得 λ＝1，∴

H － 1，1，0

. 1 0 2 2 2

答案： C

7．已知 a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量 a＋b 与 a－

b 的夹角是 ( )

A．90° B． 60°

C．30° D ．0°

分析： (a＋b) ·(a－b)＝a2－b2＝ (cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝

0，∴ (a＋b)⊥ (a－b)．

答案： A

8．已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1

的中点，则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 ()

2 2

A. 3 B. 3 5 2 3

C. 3 D. 3 空间向量与立体几何-单元测试含答案 8 / 21

分析：以 D 为坐标原点，以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建

立空间直角坐标系， 如图．则 A(1,0,0)，E 1，1，0 ，F 0，1，1 ，D1 ，

2 2 (0,0,1)

→ → 1

l 所以 AD1＝(－1,0,1)，AE＝ －2，1，0 .

设平面 AEFD1 的法向量为 n＝(x，y，z)，

→ ＝0， －x＋z＝0， ·

则 n AD1 ? －x＋y＝0. →

· ＝0， 2

n AE

∴ x＝2y＝z.取 y＝1，则 n＝(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u＝

2 5

(0,0,1)，∵ cos〈n，u〉＝ 3，∴ sin〈n，u〉＝ 3 .

答案： C

9．在三棱锥 P-ABC 中，△ ABC 为等边三角形， PA⊥平面 ABC，且 PA

＝AB，则二面角 A-PB-C 的平面角的正切值为 ( )

A. 6 B. 3

C. 6

D. 6

6 2 空间向量与立体几何-单元测试含答案 9 / 21

分析：设 PA＝AB＝2，成立以下图的空间直角坐标系．

则 B(0,2,0)，C( 3，1,0)， P(0,0,2)，

→

∴ BP＝(0，－ 2,2)，

→ BC＝( 3，－ 1,0)．

设 n＝(x，y，z)是平面 PBC 的一个法向量．

→

BP·n＝ 0， －2y＋2z＝0， 则 即

→ 3x－y＝0.

BC·n＝ 0，

3

令 y＝1，则 x＝ 3 ，z＝1.

即 n＝ 33，1， 1 .

易知 m＝(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量．

3

· 3 7

则 cos〈m， n〉＝ m n

21＝ 7. |m||n|＝

1×

3

∴正切值 tan〈m，n〉＝ 6.

答案： A 空间向量与立体几何-单元测试含答案 10 / 21

．已知 → → →

＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上

10 OA

→ → 运动，则当 QA· 获得最小值时，点 Q 的坐标为 ()

QB 1 3 1 1 3 3

A. 2，4，3 B. 2，2，4

C. 4，4，8 D. 4，4，7

3 3 3 3 3 3

→ 分析： ∵Q 在 OP 上，∴可设 Q(x，x,2x)，则 QA＝(1－x,2－x,3－2x)，

→ QB＝(2－ x,1－x,2－2x)．

→ →

∴ QA·QB＝6x2－16x＋10，

4 → → ∴ x＝3时， QA·QB最小，

4 4 8

这时 Q 3，3，3 .

答案： C

第Ⅱ卷 (非选择题，共 70 分)

二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．

11．已知 a＝(3，－ 2，－ 3)，b＝(－1，x－ 1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 __________．

分析：由于 a 与 b 的夹角为钝角，于是－ 1＜ cos〈a，b〉＜0，所以

a·b ＜0，且 a 与 b 的夹角不为 π，即 cos〈a，b〉≠－1.

5 5

解得 x∈ － 2，3 ∪ 3，＋ ∞ .

5 5

答案： －2，3 ∪ 3，＋∞