⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）
备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品 第⼆篇
数列与不等式【解析版】
专题03 数列求和问题
【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】
等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n n
c c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【思路引导】
(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.
解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，
所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4
b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为1112
1212n n n n n
c c c c a a a a +--++++= ① 当2n ≥时,
112
1212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n n
c a =，即12n n c n +=?，
⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,1
2,2
n n n c n n +=?∴=?
≥ .
数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?
第二讲 数列求和(一)
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1
二、精讲精练
例题1、 有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项?
【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。
边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?
例题2、有一等差数列：3.7，11.15，„„，这个等差数列的第100项是多少?
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.
边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少? 例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，„，99，100与列100，99，„，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+„+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2
五年级思维训练
1 第3讲：简单数列求和（一）
知识要点:
许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。那高斯是用什么方法来巧妙进行计算的呢?
因为1到100这100个自然数有这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101„一共有多少个101呢?因为一共有100个数,每两个数一组,一共有100÷2=50(组),也就是说有50个101。所以1+2+3+„„+100=101×50=5050。
若干个数按一定的规律排成一列,称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第一项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为该数列的公差。这种数列有极简便的求和方法:
等差数列的和=(首项十末项)×项数÷2。
通过这一讲的学习,我们不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且还能学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。
例1、1+2+3+4+5+6+„„„+99+100
练习1、89+90+91+92+93+94+95+96+97+98
例2、求下列各式的和。
(1)1+3+5+7+9+„„+97+99
(2)2+4+6+8+10+„„+98+100
五年级思维训练
2 练习2
(1) 1+3+5+7+9+„„+47+49
(2) 2+4+6+8+10+„„+48+50
例3、把一堆苹果分给8个小朋友,如果要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每人拿到的苹果个数都不同这堆苹果至少要有多少个?
练习3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前12名可以获奖,比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人„„第十二名并列12人,得奖的一共有多少人?
添翼培训中心四年级数学讲义
一流的师资 专业的培训 共2页 第1页 2/21/2022 等差数列求和的应用
基本公式： 和=（首项＋末项）×项数÷2 末项=首项＋（项数－1）×公差
项数=（末项－首项）÷公差＋1 首项=末项－（项数－1）×公差
一、例题解析：
【例1】计算：1＋3＋5＋……＋95＋97＋99
【例2】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？
【例3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？
【例4】如果把1991表示成11个连续奇数的和，那么其中最大奇数是多少？
【例5】小明住在一条小胡同里，一天，他算了算这条小胡同的门牌号码。他发现，除掉他自己的家不算，其余各门牌号码之和正好是100。这条小胡同一共有多少户（即有多少个门牌号码）？小明家的门牌号码应该是多少号？
【例6】7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？最多种了多少棵？
【例7】一个平面内共有１００条直线，这些直线最多可以将平面分成多少个部分？
【例8】求1－99个连续自然数的所有数字之和。
思维拓展：
【例9】某班有若干名学生，学号顺次编为１，２，３，……所有学生学号的和减去3正好
添翼培训中心四年级数学讲义
一流的师资 专业的培训 共2页 第2页 2/21/2022 是100的整数倍，且所有学号之和在714与1000之间，那么这个班共有多少名学生？
二、课堂练习：
【1】1＋2＋3＋……＋48＋49＋50=
