15排列组合二项式定理和概率

排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。

它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。

它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。

这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。

它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。

这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。

排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。

排列组合二项式定理和概率Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，归纳总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的技术方案种数为（）A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有种技术方案，故D 正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．故选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：（1）6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；（2）6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；（3）从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、（08广东理10）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、若多项式，则a9等于（）A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．则展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，则有．则系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．（法三）：题型三：求复杂事件的概率例9、（08福建理5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？解：根据比赛规则可知，一共比赛了9场，并且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场比赛中被淘汰，也就是在8次独立重复实验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，所以所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（（小于）．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（（小于）．显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时可以沿、、三个方向移动，概率都是；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率都是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，则乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，所以距离为的概率为．(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为．例13、（08湖北理17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：（1）的分布列为：0 1 2 3 4所以．（2）由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、（08广东）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）规范正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526（人）．（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。

课 题： 10．4二项式定理(四)教学目的：1掌握二项式定理和二项式系数的性质，2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rnn n n n n C C C C C =++++++二、讲解范例：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++ ①又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，由①+②得：()0122n n n n n S n C C C C =++++，∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅． 例3．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n+=， 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例4．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++-- 011228(88)8k k k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nn n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）A.4B.5C.6D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ）A.0B.pqC.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------．7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)na + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++．答案：①9319683=； ②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6312+= 六、板书设计（略）七、课后记：。

基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

排列组合二项式定理及概率高考复习建议本章知识结构一、排列与组合１.正确理解概念公式，明确五个２。

①两个原理关键是做一件事指的是什么?弄清是分类还是分步。

②两个定义 关键是弄清需要考虑顺序还是不需考虑顺序。

③两组公式 关键是根据题目特点合理选用。

④两个约定: 0n C =1 ,0!=1⑤两个性质：m n C = m n n C -，m n C +1m n C -=m 1n C + (m ≤n,m,n ∈N *)2.对排列组合知识的认识（1）问题实质：数数 （2）数数的方法⎧⎨⎩分类计数分步计数（3）题目模式：1234N M M M M =⨯+⨯（4）重点：⎧⎪⎨⎪⎩两个原理两个定义两个公式（5）难点：应用3.解题步骤；分类→ 分步→判断4. 解决问题的思维程序；做一件什么事？怎样才算把事情做完？用不用分类？怎样分类？例1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生则不同的选法有多少种?例2. 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？5.要善于退，足够地退，退到最简单而不失重要性的地方是解决数学问题的诀窍 例3（05北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A（D ）12443141283C C C A6.掌握基本题型 (1)投信问题例: ①三封信投入到5个邮筒,有多少种投法? ②由{a,b,c,d}到{e,f}的映射共有多少个?(2)“在与不在”的问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相,共有多少种坐法?①甲、乙两人必须在两端,有多少种坐法?②甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?(3)“邻与不邻”问题例1:3位男生,5位女生坐在一排照相①三位男生必须坐在一起,有多少种坐法? ②甲、乙相隔一人,有多少种坐法?例2 :3位男生5位女生坐在一排照相,三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法? 例3: 4位男生,4位女生相间站队,有多少种站法? 例4: 4位男生,5位女生相间站队,有多少种站法?(4) “含与不含”问题例1: 100件产品中，正品97件，次品3件，现从中取出5件检验， （1）取出的5件全是正品的取法有___________种； （2）取出的5件中恰好有2次品的取法有___________种； （3）取出的5件中至少有2次品的取法有___________种. (5)顺序一定问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相①甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?②甲、乙相邻且甲在乙的左边，有多少种坐法?⑹分组问题(注意有序均分和无序均分的区别) 例1: 把4人分成两组①两组人数分别为1、3,有多少种分法? ②平均分成第一、第二两组,有多少种分法? ③平均分成两组,有多少种分法?例2: 把6本不同的书①平均分给3人,有多少种分配方案? ②平均分成3堆,有多少种分配方案?③分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案? ④分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案? ⑤分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案? ⑥分成三堆，其中一堆4本,其余两堆各1本,有多少种分配方案?二、二项式定理1.(a+b)n ＝0n C a n +1n C a n-1 b+2n C a n-2b 2 +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n特点:①展开式共有n+1项.②在每一项中, a 、b 的位置不能颠倒，a,b 的指数和为n 且b 的指数与组合数的上标相同.③二项式系数的上标从0增加到n,a 的指数从n 减少到0,b 的指数从0增加到n.性质:①二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等. ②二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值③0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n (n ∈N); 0n 2C +2n 2C +4n 2C +…+n2n 2C =22n-1 (n ∈N) 1n 2C +3n 2C +5n 2C +…+1n 2n2C -=22n-1 (n ∈N) 通项公式： T r+1 = r n C an-rb r2．高考类型题（1）利用通项公式解题例1：求61)x①常数项 ②32x 项的系数 ③各项系数的和 ④写出所有的无理项 (2)根据恒等式意义解题例2：设9290129(13)x a a x a x a x -=++++①求0a =②求0129a a a a ++++ = ③求0129||||||||a a a a ++++ =（3）和二项式定理有关的问题例1在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ）A 、160 B 、240 C 、360 D 、800 例2：求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+2展开式中的含x 2的项的系数.(4)利用二项式的性质化简例1填空①0n C +2n C +4n C +…+n n C = ②18C +28C +38C +…+88C =③19C +39C +59C +…+99C = ④210242322C C C C ++++ =三、概率（一）求随机事件概率的基本方法1．随机试验法2．结果分析法(根据试验中各结果出现的等可能性求概率)（1）掌握等可能事件的概率计算公式P （A ）=m/n（2）掌握概率计算的三个步骤：用字母表示事件；求m 、n ；计算P （A ）。

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。

(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm；1②CnmCnm1Cnm1；kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90）⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b)f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计151排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n ！！)(m n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0=n C 155组合恒等式（3）11m m nn n C C m --=; （4）∑=nr r nC 0=n2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n nC C C C C 2210=++++++(7)4205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C(8)321232-=++++n n n n n nn nC C C C (9)rm r n r m n r m nrm C C C C C C C +-=+++0110(10)n nn n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++156排列数与组合数的关系:mmn n A m C =⋅！157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列）（1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m kk ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h hh AA 1+种（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N )!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N )!(!!...22=⋅⋅⋅⋅=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，mn 件，且1n ，2n ，…，mn 这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n m C C C N m m=⋅⋅=-（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!...!(!!!...)m n n n a b c =（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!21m n n n N =（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m堆，且1n ，2n ，…，mn 这m个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!21c b a n n n N m =（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...! (212)11m n n n n p n p n n n C C C N m m =⋅=-159．“错位问题”及其推广①信2封信与2个信封全部错位有1种排法； ②信3封信与3个信封全部错位有2种排法； ③信4封信与4个信封全部错位有9种排法； ④信5封信与5个信封全部错位有44种排法； 160．不定方程2n x x x m =1+++的解的个数(1)方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个(2) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个(3) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)n m n k C -+---个161 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， =2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：012(1)n a a a a f ++++=；012(1)(1)n n a a a a f -+++-=-；0a f =167n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k kn k n n P k C P P -=-187)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()lim limx x x x yf x y x x=∆→∆→∆''===∆∆ 188瞬时速度：0()lim limt t s s t t tυ∆→∆→∆'===∆∆ 190)(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===0lim limx x y x x∆→∆→∆==∆∆ 191 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是)((000x x x f y y -'=-192几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）1()()n n x nx n Q -'=∈(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；1(log )log xa a x'=(6) x xe e=')(; a a x x ln )(='193导数的运算法则（1）''()u v u v ±=±（2）''()uv u v uv =+（3）'''2()(u u v uv v v v -=≠194复合函数的求导法则设函数()ux ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且x u x y y u '''=⋅，或写作(())()(x f x f u x ϕϕ'''=195常用的近似计算公式（当x充分小时）(1)x x 2111+≈+;x n x n 111+≈+；(2)(1)1()x x R ααα+≈+∈； x x-≈+111； (3)x e x+≈1；(4)x x l n ≈+)1(；(5)x x ≈sin （x 为弧度）； (6)x x ≈tan （x 为弧度）；(7)x x ≈arctan （x 为弧度） 196判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值204三角形的内角平分线性质：在ABC ∆中，A ∠的平分线交边BC 于D ，则BD DC AC=（三角形的外角平分线也有同样的性质）。