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妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题柯西中值定理：若函数()(),f x g x 满足如下条件：（i ）()(),f x g x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（iii ）在(),a b 内的每一点处()0g x '≠则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.1、 （2012年天津高考理科数学压轴题）已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若对()0,x ∀∈+∞，都有()2f x kx <成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：()12ln 21221nk n k =-+<-∑ （n N *∈）.2、（2013广西理科数学压轴题）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+ （Ⅰ）当0x ≥时，()0,f x ≤求λ的最小值 （Ⅱ）设1111,23n a n =++++证明：21ln 24n n a a n -+>3、(2015年山东高考数学理科第21题)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.4、（2017年德阳市二诊数学压轴题）已知函数()ln x a f x x x-=-在1x =处取得极值. （Ⅰ）求证：()0f x ≥. （Ⅱ）若[)1,x ∀∈+∞，不等式()()21f x m x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.5、已知函数()()21x f x x e ax =-+. （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.6、（2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考数学压轴题）已知函数()21f x x ax =++，()xg x e =（其中e 是自然对数的底数）. （Ⅰ）若1a =-，求函数()()y f x g x =在[]1,2-上的最大值；（Ⅱ）若1a =-，关于x 的方程()()f x k g x =有且仅有一个根，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若对任意的1x 、2x []0,2∈，12x x ≠，不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.7、（2017年江苏省南通市二模理科数学）已知函数()1x f x e=，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()y f x g x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若存在1x ，2x ()12x x ≠，使得()()()()1221g x g x f x f x λ-=-⎡⎤⎣⎦成立，其中λ为常数，求证：e λ>. （Ⅲ）若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()1f x g x a x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。
高中数学| 高考数学50条秒杀型公式与方法1，适用条件：[直线过焦点]，必有e c o sA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：①、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;②、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=s i n x y=si n派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：①，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;②、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。
4，函数奇偶性：①、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;②、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项③，奇偶性作用不大，一般用于选择填空。
5，数列爆强定律：①，等差数列中：S奇=n a中，例如S13=13a7(13和7为下角标);②，等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；③，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；④，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²m S(n)可以迅速求q。
6，数列的终极利器，特征根方程。
首先介绍公式：对于a n+1=p an+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
说明：圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。
【秒杀题型】：玩转压轴题之三大曲线中的切线『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线 开口向左或开口向右时利用0=∆解决。
椭圆利用0=∆解决。
【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：12020=+byy a x x 。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与椭圆方程联立，利用0=∆。
熟记：②过抛物线px y 22=上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：)(00x x p y y +=。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与抛物线方程联立，利用0=∆。
若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。
〖母题〗抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最小的点的坐标是 ( )A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1 C.39,24⎛⎫⎪⎝⎭D.()2,4 1.(高考题)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 ( ) A.43 B.75 C.85D.3 【题型二】：过曲线外一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 外一点()00,y x P 作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：12020=+byy a x x 。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA ：12121=+byy a x x ；同理，切线PB ：12222=+b yy a x x ；点P 在两切线上，则有：1201201=+b y y a x x ①，1202202=+by y a x x ②，构造直线l ：12020=+b y y a x x ，则由①②可知点A 、B 均在直线l 上，即直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。
改斜归正秒杀直角类压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型精讲改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x ，y 轴的垂线，从而构造一线三直角。
当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。
(点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。
)具体作法如下：改斜归正之全等模型如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB =AB , ∠BAC =90°。
咱们可以把它看作斜直角。
解决这类题目，只需要:(1)如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。
(2)由一线三直角全等模型，易证△ABD ≌△ACE ，可得，BD =AE ,AD =CE ，(3)然后表示出：A ,B ,C ,D ,E ,坐标，利用BD =AE ,AD =CE ，即可轻松得出方程，妙杀大题。
改斜归正之相似模型如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠AC (中考数学经典), ∠BAC =90°。
咱们一样可以把它看作斜直角。
解决这类题目：（1）同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。
（2）由一线三直角全等模型，易证△ABD ∽△CAE ，可得：AB CA =BD AE=ADCE ，（3）与全等方法类似，只需要表示出：A ,B ,C ,D ,E ,坐标，利用AB CA =BD AE=ADCE ，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。
典例分析1如图，已知二次函数y=49x2-4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为5，P为⊙C上一动点．(1)点B，C的坐标分别为B，C．(2)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．(3)是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．实战训练一、解答题1如图，已知抛物线与x轴交于A-3,0、B1,0两点，与y轴交于点C0,3，对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE=OB．P是该抛物线上的动点，连结PA、PE，PD与AE交于点F．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)设点P的横坐标为t-3<1<0①求△PAE的面积的最大值；②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．2如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．3如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-23x2-2x+83交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．(1)如图1，求点D 的坐标；(2)如图2，点P 在第二象限内抛物线上，过点P 作PG ⊥x 轴于G ，点E 在线段PG 上，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交线段DB 于F ，若EF =AE ，设点P 的横坐标为t ，线段PE 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；(3)如图3，在(2)的条件下，点H 在线段OB 上，连接CE 、EH ，若∠CEF =∠AEH ，EH -CE =23AH ，求点P 的坐标．4矩形AOBC 中，OB =4，OA =3．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点(不与B 、C 重合)．过点F 的反比例函数y =kx(k >0)的图象与边AC 交于点E ．(1)当点F 运动到边BC 的中点时，点E 的坐标为；(2)连接EF ，求∠FEC 的正切值；(3)如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求BG 的长度．5如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O 重合，在其绕原点O 旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y =12x 2相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)．(1)如图1，若点A 、B 的横坐标分别为-3、43，求线段AB 中点P 的坐标；(2)如图2，若点B 的横坐标为4，求线段AB 中点P 的坐标；(3)如图3，若线段AB 中点P 的坐标为(x ,y )，求y 关于x 的函数解析式；(4)若线段AB 中点P 的纵坐标为6，求线段AB 的长．6如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m(k>0)交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，-1)，直线y=kx+m(k>0)与抛物线对称轴l交于点D．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；(3)在(2)的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；(4)在(2)的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．7抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A t,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．8已知二次函数y=-14x2+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A(1，0)，图像与y轴交于点B(0，3)，C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD=90°．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．9正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动(不与正方形顶点重合)．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在(2)的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG的值．10在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象 、1,1、-1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2-2x-3的顶点为P．直线l过点M0,m(m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧)，将抛物线L1沿直线L翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．(1)当m=1时，求点D的坐标；(2)连接BC、CD、DB，若∠BCD=90°，求此时L2所对应的函数表达式；(3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．12如图，抛物线y=mx2+m2+3x-(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．13如图，平面直角坐标系中，A (0,4)，C (4,0)，D 是OC 中点，E 是直线AD 上的一动点，以OE 为边作正方形OFGE (逆时针标记)，连FC 交AE 于H ．(1)当D 与E 重合时，求直线FC 解析式；(2)当正方形OFGE 面积最小时，求过O 、F 、C 抛物线的解析式；(3)设点E 的横坐标为t ，若△HFE 与△OAD 相似，请求出t 的值．14已知抛物线y =ax 2+114x -6与x 轴交于A (t ,0)，B (8,0)两点，与y 轴交于点C ，直线y =kx -6经过点B ，点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)填空：a =，k =，t =；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，求CQ +12PQ 的最大值．。
高中数学48条秒杀型公式和方法，看过的都说好除了课本上的常规公式之外，掌握一些必备的秒杀型公式能够帮你在考试的时候节约大量的时间，通哥这次的分享就是48条爆强的秒杀公式，直接往下看！1.适用条件：直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线和焦点所在轴夹角，是锐角。
.x为别离比，肯定大于1。
注上述公式适宜一切圆锥曲线。
.如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)假设f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)假设f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)假设f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
.注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)假设在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)假设f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一样用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
（完整版）⾼中数学秒杀型推论⾼中数学秒杀型推论⼀．函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a（6）f(x)奇f(x+a)偶或f(x)偶f(x+a)奇 T=4a2．奇偶函数概念的推⼴及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为⼴义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b 同时满⾜时，f（x）为周期函数T=2|b-a|；定义在R上的函数f (x)满⾜f (a+x)=f (a-x)，且⽅程f (x)=0恰有2n个实根，则这2n 个实根的和为2na .（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是⼴义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满⾜时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满⾜f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（a+b 2，c2）成中⼼对称（充要）（2）若f （x ）满⾜f （a+x ）=f （b-x ）则函数关于直线x=a+b 2成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)lim f (x )→0g(x)→0f(x)g(x)=f ′(x)g ′(x)lim f (x )→∞g(x)→∞f(x)g(x)=f ′(x)g ′(x)⼆、三⾓ 1.三⾓形恒等式（1） tan A2tan B2+tan B2tan C2+tan C2tan A2=1cotAcotB +cotBcotC +cotCcotA =1（2）正切定理&余切定理：在⾮Rt △中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cot A2+cot B2+cot C2=cot A 2cot B 2cot C2（3） sinA +sinB +sinC =4cos A 2cos B 2cos C2cosA +cosB +cosC =1+4sin A 2sin B 2sin C2（4）sin 2A +sin 2B +sin 2C =2+2cosAcosBcosC cos 2A +cos 2B +cos 2C =1?2cosAcosBcosC （5）∑sinAcosBcosC =cycsinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcosB=sinAsinBsinC∑cosAsinBsinC=cyccosAsinBsinC+cosBsinAsinC+cosCsinAsinB=cosAcosBcosC?12．任意三⾓形射影定理（⼜称第⼀余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA 3. 任意三⾓形内切圆半径r=2S a+b+c（S为⾯积），外接圆半径R=abc4S =a2sinA=b2sinB=c2sinC欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是CE EA ×AFFB×BDDC=15．塞⽡定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是AF FB ×BDDC×CEEA=16. 斯特⽡尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的⼀点D，则有AB2×DC+AC2×BD-AD2×BC＝BC×DC×BD7、和差化积公式（只记忆第⼀条）sinα+sinβ=2sinα+βsinα-sinβ=2cosα+β2sinα?β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα?β28、积化和差公式sinαsinβ=-cos(α+β)?cos(α?β)2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α?β)2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α?β)2cosαsinβ=29、万能公式10．三⾓混合不等式：若x∈（0，π2),sinx＜x＜tanx 当x→0时sinx≈x≈tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为⼤三⾓形的内切圆，⼤三⾓形三边长分别为a.b.c，⼤三⾓形⾯积为S=√xyz（x+y+z)=14√（a+b+c)(a+b?c)(a+c?b)(b+c?a)12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=e x?e?x2，双曲余弦函数coshx=e易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx （3）两⾓和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh（ix）=isin（x）；sin（ix）=isinh（x）；cosh（ix）=cos（x）；cos（ix）=cosh（x）.（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）（7）平⽅差：cosh2x-sinh2x=113.三⾓形三边a.b.c成等差数列，则tan A2tan C2=1314.三⾓形不等式（1）在锐⾓△中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC （2）三⾓形内⾓嵌⼊不等式（简称“嵌⼊不等式”）在△中，x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2zycosC （3）在△中，sinA>sinB?cos2A>cos2B15．ASA的⾯积公式：S=a2sinBsinC2sin （B+C）=b2sinAsinC2sin （A+C）=c2sinAsinB2sin （A+B）16．三⾓形四⼼：对于△ABC （1）重⼼G○1向量定义：GA +GB +GC =0○2向量性质：PG =13(PA +PB +PC),P 为任意⼀点○3⾯积性质：S △AGB =S △BGC =S △CGA =134定⽐分点性质：重⼼G 为中线的⼀个三等分点，即G 到顶点距离：G 到该顶点对边中点的距离=2：1（2）垂⼼H○1向量定义：HA ·HB =HB ·HC ????? =HC ????? ·HA ○2向量性质：tanAHA +tanBHB +tanCHC ????? =0○3⾯积性质：S ?BHC ：S ?AHC :S ?AHB =tanA ：tanB ：tanC（3）外⼼O○1向量定义：|OA |=|OB |=|OC |，即OA 2=OB 2=OC2 ○2向量性质：sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0○3⾯积性质：S ?BOC ：S ?AOC :S ?AOB =sin ∠BOC:sin ∠AOC:sin ∠AOB=sin2A ：sin2B ：sin2C（4）内⼼I对于⾮Rt ?ABC○1向量定义： IA ·(AB ? |AB ? |?AC ? |AC ? |)=IB ·(BA ? |BA ? |?BC ? |BC |)=IC ???? ·(CA |CA|?CB |CB |)○2向量性质：aIA +bIB +cIC =0sinAIA +sinBIB +sinCIC =0 向量λ(AB |AB |+AC|AC |)//AI，λ>0时同向，λ<0时反向○3⾯积性质：S ?BIC ：S ?AIC :S ?AIB =a ：b ：c PS ：涉及单位向量就很有可能涉及到内⼼（5）欧拉线定义：重⼼G.外⼼O.垂⼼H.九点圆N四点共线，该线称为欧拉线性质：GH:GO=2:1 三、复数 1．欧拉公式cos θ+isin θ=e i θ{sinx =e ix ?e ?ix2icosx =22．棣莫弗定理（cos θ+isin θ）n=cos(n θ)+isin(n θ) 3.复数模不等式（三⾓不等式） |z 1+z 2+∧+z n |≤|z 1|+|z 2|+∧+|z n |当且仅当所有复数幅⾓主值相等时等号成⽴ 4．|z 1?z 2|2+|z 1+z 2|2=2（|z 1|2+|z 2|2） 5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)= (a-c)(b-d)四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验⾸项） 1.A n+1=kA n +f(n) 两边同除以kn+1，构造数列｛Ankn ｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n +C设⼀常数x ，A n+1-x=k （A n -x ） A n+1 =kA n +（1-k ）x 则（1-k ）x=C ，求出x=C 1?k，即为不动点，得到等⽐数列｛A n ?x ｝,公⽐为k 3．不动点法：形如A n+1=bA n +c dA n +e （d ≠0，当d=0时，则是第⼆种情况），设函数f(x)=bx+cdx+e，x=bx+c dx+e的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f （x ）有2个不动点α，β则数列{A n ?αA n ?β}是⼀个等⽐数列，A ’n =A n ?αA n ?β=A 1?αA 1?β（b?αd b?βd )n?1，A n =βA n ′αA n ′?1（2）若函数f （x ）只有⼀个不动点α则数列{1A n ?α}是⼀个等差数列，A ’n =1A 1?α+（n ?1)d b?dα（3）若函数f （x ）没有不动点，则数列{A n }是周期数列，周期⾃⼰找4．特征⽅程法：形如A n+2=pA n+1+qA n 称为⼆阶递推数列，我们可以⽤它的特征⽅程x 2-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若⽅程有两根x1，x2，则A n =µx 1n-1+λx 2n-1(µ, λ可根据题⽬确定) （2）若只有⼀个根x 0A n =(µ+λn)x 0n-1 (µ, λ可根据题⽬确定) 5．变系数⼀阶递推数列四、不等式 1.权⽅和不等式A m+1x m +B m+1ym +∧≥(A +B +∧)m+1(x +y +∧)m 当且仅当Ax =B y=∧时，等号成⽴2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x) 当f(x)为减时，∫f(x)dx n+1 1≤∑f(x)n 1 当f(x)为增时，∫f(x)dx n+11≥∑f(x)n 13．琴⽣不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时f(x1)+f(x2)+∧+f(x n）≥f(x1+x2+∧+x n）当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时f(x1)+f(x2)+∧+f(x n）≤f(x1+x2+∧+x n）当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成⽴4.卡尔松不等式[x11?x1mx n1?x nm]√∏∑x ijni=1mj=1m≥∑√∏x ijmj=1mni=15．排序不等式当且时，其中xσ表⽰x的任意⼀项以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切⽐雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0 当x=y=z时，等号成⽴配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(0,1,1)≥0c=f(1,1,1)≥0因为f(x,y,z)=a∑x（x?y)(x?z)+b∑（y+z)（x?y)(x?z)+cxyz三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(0,1,1)≥0c=f(1,1,1)≥0d=a+c?f（1，0，1）≥0因为f(x,y,z)=a∑x2(x?y)(x?z)+b∑x(y+z)(x?y)(x?z)+c∑yz(x?y)(x?z)+dxyz(x+y+z)三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(1,i,0)2（1+i）≥0c=f(1,1,0)2≥0d=f(?1,i,1)i+8b+e?2a2≥0 e=f(1,1,1)≥0因为f(x,y,z)=a∑x3(x?y)(x?z)+b∑x2（y+z)(x?y)(x?z)+c∑yz(y+z)(x?y)(x?z)+dxyz∑(x?y)(x?z)+ exyz(xy+yz+zx) 7．常⽤对数不等式当x〉-1时，x1+x≤ln （x+1)≤xex1+x≤x+1≤e x当且仅当x=0时等号成⽴8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成⽴9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为⾮负实数时，⽤uvw法；当a,b,c∈R时，⽤pqr法10.SOS法（配⽅法）不解释11．拉格朗⽇乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗⽇函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元⽅程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得⽅程即f(x,y,z)=0 解四元⽅程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从⽽算出极值。
一个经典的函数不等式链在高考大题中的应用武汉大学 兰老师导数是研究函数图像和性质的重要工具，是历年高考的热点。
尤其是利用导数证明不等式是高考考查的重点和学生解答的难点。
因此，对高考中的一些典型模型进行深入研究显得尤为重要。
函数ln(1)y x =+是高中教材中的重要模型，同时也是历年高考考查的核心内容。
本文介绍以ln(1)y x =+为主体的不等式链及其在高考中的应用。
1 函数不等式链及证明下面简单介绍下此函数不等式链并对其进行证明。
引 理 当0x ≥时，()211ln 1(1)1221x x x x x x x x ≤≤+≤+−≤+++. 证 明：（1）11(1)21x x x +−≤+； 令11()(1)21F x x x x =−+−+，则211'()22(1)F x x =++，当0x ≥时，'()0F x >， 故()F x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0F x F ≥=，所以在[)0,+∞上()0F x ≥恒成立。
故0x ≥时，11(1)21x x x +−≤+恒成立。
（2）()11ln 1(1)21x x x +≤+−+; 令11()(1)ln(1)21G x x x x =+−−++，则22'()2(1)x G x x =+。
当0x ≥时，'()0G x ≥,故()G x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0G x G ≥=,则在[)0,+∞上()0G x >恒成立，故0x ≥时，()11ln 1(1)21x x x +≤+−+恒成立。
（3）()2ln 12xx x ≤++； 令()2()ln 12x W x x x =+−+，则22'()(1)(2)x W x x x =++。
当0x ≥时，'()0W x ≥恒成立，故()W x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0W x W ≥=,所以在[)0,+∞上()0W x ≥恒成立。
高考数学48条秒杀型公式与方法1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。
2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。
类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。
)。
1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。
1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。
〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。
第五章关于秒杀和压轴题很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。
关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。
压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。
不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。
那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。
想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。
全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。
08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。
都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。
记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。
具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。
不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。
尤其推荐我押题的第一道数列解答题。
）2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考）3：数学归纳法、不等式缩放基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。
开始解答题了哦，先来一道最简单的。
貌似北京的大多挺简单的。
这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。
意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。
(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~这道题，太明显了对吧？看压轴问的形式，想想我之前关于压轴题思路的讲解，看出来么？第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论，很明显的令1/n 为x 这道题就出来了。
这也证明了我之前对压轴题的评述吧。
当然这只是例子之一了，绝大多数压轴题都是这样的。
下面，下面，下面，重点来了。
大家是否眼熟这个不等式呢？ ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不等式的正确性，但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。
什么用？将一个对数形式的函数转化为一个X--1 这样简单的线性函数，多么漂亮的一个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一个想的就会是这个不等式，看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。
这也是一种很重要而且经典的缩放！不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题，看看有多少省用到了这个不等式的！而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法，就是用了这个不等式！再次强调：压轴题中，见到对数函数式的不等式证明，第一个要想的是这个不等式！再举几个例子：1.一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于__解：这个题真算的话有点难度也挺麻烦但考试的时候完全可以秒杀直接特殊化为等边三角形答案就出来了等边三角形满足题意么？满足，只要不违背题意条件随你加，随你加强所以公差为0几秒钟一道很难的题这就是秒杀的目的所在这个题条件很强，既有角的限制又有边的限制，就说明答案唯一可是，那是考试现场时的秒杀。
对一道能秒杀的题，不仅要秒杀，还要真正做出来才算详解：假设A<=B<=CA+C=2B b平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。
第六章再说秒杀和压轴题以下为视频讲解内容：秒杀也分几类：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值，其实特殊值也是特殊化的一种罢了，还有其实技巧不在这里，而在于这个特殊值你如何取，取得好，那叫艺术，取得不好.......嗯！）第一题：A[N]是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和，前3n项和分别是x,y,z,则下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒杀呢，很明显，取特殊值，如何取呢？以前说过，见到A[N]是任意等比数列的等等或者说见到任意两字的，往往就是我们发挥的地方。
我们令A[N]=1，呵呵，很特殊了吧，还不止，我们这里再令N=1，这样题目变成什么了呢？我翻译一下：已知A[N]是任意等比数列，它的前1项和x，前2项和Y，前3项和是z,则下列等式恒成立的是?你猜，呵呵，这样直接可以排除2,3了，那么1，4呢？我们假设A[1]=1，A[2]=2，A[3]=4，这样符合题意吧？很明显1不正确，4任然正确，答案是4第二题：如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．向量如何秒杀呢，其实就只说向量，也有两三钟秒杀的方法，我觉得好用的就是特殊化+坐标化！！呵呵，就是把三角形特殊化为等腰直角三角形，这意思也是任意三角形吧，按照题意，我们画出MN的直线，若，，根据上面的两个公式，可以求出，大家记得吗---是直线的截距式（不记得的都面壁去吧，这可是基础）根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+NY=1，我们还有个条件没有用，直线MN过中点，明显BC中点为（1/2,1/2）,对吧，带入得M+N=2这个是07年江西的一道高考题，常规方法要比这个麻烦的多，而且可能大部分同学还不会做，而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦！！其实秒杀呢，每张卷子都能用到的是那种集合，求范围等等的题目，就不举例子了！！还有就是三角函数，解析几何（这个主要是取特殊位置的直线），至于三角函数，也分好多种吧，比如，题目让你求一个三角函数表达式的值，而且是道选择题。
比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧，然后选择项里面都是常数，也就是和AB无关，那么很明显，不管AB取什么，结果都一样，这时候，我们就可以随便给AB值，就可以得出最后结果，这样的题我见过不少！！上面说的都是一些简单但很常用的，难一点的应该算是变换，或者用到复指数等，比如函数旋转等等，就可以利用复向量的旋转特性去解决，哦，对了，还有一种很常用的，我随便出题：X平方+Y平方=1，求X+Y的取值范围常规的方法肯定是画图等等，或者消元了呗，但我们可以用三角函数去做，X平方+Y平方=1，令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围，明显是正负根2，是吧？一眼就看出来了，当然，一般题目不会这么简单，比如：3X平方+4Y平方=1，求X,Y取值范围，，这时候画图就不好使了哦，因为不是园，但三角函数依然可以，我们令3X平方=conA平方，4Y平方=sinA平方，然后是不是和上面一样了呢！！好了秒杀就这样吧！压轴题下面这道是我高考的压轴题，是道椭圆的题，不算难。
大家应该知道，压轴题一般会在数列不等式，解析几何两者之间选一道，数列的也想整一道例题，可时间有限，就算了。
下面是09年的山东理科数学压轴题：第一问：送分第二问：，呵呵，我还记得在考场上，我看到时就笑了，高考题考来考去也就是这些基本的不变的东西。
这个代表什么呢？这个是题眼，其实我们都很清楚。
OA*OB=0（向量点乘），其实看到这里，后面的不用想也能再脑中出来一推东西，我大概说下：首先OA*OB=0，所以X1X2+Y1Y2=0明显韦达定理要用了，然后要连立直线了，比如设直线AB为：Y=KX+M （设出来这个直线的时候，脑子里面应该本能的想到一个词“分类”，就是K不存在的情况，一定要分类，给大家说，只要能分类的，一定要分类，因为每一个分类就有一定的分，我们的目的就是拿分！！）然后可以得出K和M的一个等式，（有一个式子，那肯定能根据题目其它的一个条件得出另外一个式子，这两个式子联立，一般就可以做出来了）哦，这个说明下，这是看到OA*OB=0后出来的一推东西，后面的还没看呢，继续看，呵呵出来了，切线，我们都知道，根据切线，肯定能得出一个等式，这样题目思路就清晰了！上面这些，大家是不是都能熟练的背下来呢，其实这道题难得不是这些，难在你是不是明白题意。
还有对圆锥曲线问题，大家心里一定一定要坚定一个信念----那就是直线和曲线联立！！这句话很重要，只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦，比如说这道题，你总不能OA和椭圆联立吧？！只有你能想到用AB去联立，那么后面的一直到韦达定理，一般就可以得8分了。
大家可能会想，谁都知道用AB联立，可是到了高考那样的氛围，你还能像平时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况，你真不一定找到）题目还要：并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由玄长公式，对吧，因为知道了K和M 的关系，所以玄长公式里面只有一个K ，而K又有一定的范围，所以再结合不等式的知识，可以求出范围，当然还要考虑K不存在的情况，不然又要扣分！啰嗦了这么多，想告诉大家的：其实就是一定要有思路。
思路哪里来的？是不是从OA*OB=0这里展开一系列的想法呢？可以说，思路就是一个题眼，得出一个总体框架，然后在实际做题中把各个细节填满，问题在于，你如何知道哪里是题眼？就是知道，你如何正确处理？嗯，问到点子上了，我记得我高二高三的时候，每做一道很典型的题，我都会把这道题想的很透很透，然后，闲暇时，脑子里想的就是最近做过的和新学得知识，时间上了，基本上见些东西，就能本能的搜索到相应的应对方法。
大家可能会问，高考题是会变的，而且数学又是一门很灵活的东西，随便一点变化，都可以出来很多很多的题目。
其实高考是在变，而且变的很灵活。
但是高考中更多的是不变，所谓不变就是知识点不变，考点不变（相对来说吧），以及更重要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变，最多就是变个说法！！就拿OA*OB=0来说，可以衍生出很多不同的说法，比如中点，角分线等等，还有比如向量AF=3FB向量，这个也是大题中常见的。
这样的如何出处理？，带入坐标，会得到两个式子，这两个式子中的一个比较简单比如：X2=3X1，还有一个关于Y 的，如何用，任何时候，都只用其中一个，你如果两个都用，那你就...用哪个呢？很显然啊，用X2=3X1，这个对吧，因为这个简单。
然后再如何做呢？这个可以用韦达定理了吗？其实可以，只要对这个式子做几次变化，就可以用韦达定理了，从而又要联立直线。
或者你可以联立后，解除X1，X2，然后带入X2=3X1，一样可以得到一个等式。
