第19章四边形

八年级数学下册第19章四边形知识归纳沪科版年级：姓名：第19章 四边形知识归纳四边形知识点：一、 关系结构图：二、知识点讲解：1．平行四边形的性质（重点）：ABCD 是平行四边形⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2.平行四边形的判定（难点）：ABDOCC D AB A BCD O.3. 矩形的性质： 因为ABCD 是矩形⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形． 四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（6. 菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.7.正方形的性质：ABCD 是正方形⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（8. 正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD 是正方形.ABDOCADBCADBCOCD BAOCDBAO名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补；⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。

S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。

章复习第19章四边形一、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边____________的四边形叫做平行四边形．注：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”．2、平行四边形的性质⑴平行四边形的邻角____，对角____．⑵平行四边形的对边____且____．⑶平行四边形的对角线________．3、平行四边形的判定⑴定义法：两组对边分别______的四边形是平行四边形．⑵两组对边分别________的四边形是平行四边形．⑶两组对角分别________的四边形是平行四边形．⑷对角线________的四边形是平行四边形．⑸一组对边________且________的四边形是平行四边形．4、三角形中位线定理⑴三角形中位线的定义：连接三角形________的线段叫做三角形的中位线．⑵三角形中位线定理：三角形的中位线________，且____________．二、特殊的平行四边形1、矩形：⑴定义：有—个角是____角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．注：矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件．⑵性质：①具有平行四边形的所有性质；②矩形的四个角都是____角；③矩形的对角线________．注：①矩形既是____对称图形，也是____对称图形；②由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于____________．⑶矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线________的平行四边形是矩形；③有____个角是直角的四边形是矩形．2、菱形⑴定义：有一组邻边________的平行四边形叫做菱形．菱形必须满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等．⑵性质：①具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边________；③菱形的两条对角线________，并且每一条对角线____________.由菱形的两条对角线互相垂直可得菱形面积的另一个计算公式：菱形的面积=________________．⑶菱形的判定：①定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线____________的平行四边形是菱形；③____条边相等的四边形是菱形．3、正方形⑴定义：既是____形又是____形的四边形叫做正方形．注：正方形常见的定义还有：①有一组邻边相等的矩形叫做正方形；②有一个角是直角的菱形叫做正方形．⑵性质：正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．①边：四条边________、邻边________、对边________；②角：四个角都是________；③对角线：________、_________且_______；每一条对角线平分____________； ④正方形一条对角线上一点到另一条对角线的两端距离________．⑶正方形的判定：判定一个四边形为正方形主要根据定义，其一般顺序为：①先证明四边形是平行四边形；②再证明它是矩形（或菱形）；③最后证明它是菱形（或矩形）．正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间的关系：如右图．三、梯形1、梯形的定义及分类⑴定义：一组对边________，另一组对边________的四边形叫做梯形．⑵梯形的相关定义：①梯形的底：梯形中________的两边叫做梯形的底；注：通常把较短的底叫做________，较长的底叫做________．②梯形的腰：梯形中________的两边叫做梯形的腰；③梯形的高：梯形________的距离叫做梯形的高．⑶梯形的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧________________________________________________相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做________梯形．2、等腰梯形⑴性质：①等腰梯形两腰________，两底________；②等腰梯形同一底边上的两个角________；③等腰梯形的两条对角线________；④等腰梯形是____对称图形，上、下底中点的连线所在直线是________．⑵判定：①定义法：两腰相等的梯形是等腰梯形；②在同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形；③对角线________的梯形是等腰梯形．注：①解决梯形问题的基本思路是：梯形问题−−转化三角形或平行四边形问题．−→②各种四边形关系如下页图：四、重心1、线段的重心就是线段的____．2、平行四边形的重心是它的两条对角线的________．3、三角形的三条____线交于一点，这一点就是三角形的重心．五、平行四边形问题的常见辅助线1、有中线时，常加倍中线构造平行四边形．2、矩形、菱形中，常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．3、有垂线时，常构造垂直平分线或作垂线构造矩形或菱形．4、有正方形一边中点时，常取另一边中点构造图形．5、图形具有等邻边特征时，可以把图形某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．6、有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形．六、梯形中常见的辅助线1、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图(1)．2、从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形，如图(2)．3、平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形，如图(3)．4、延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形，如图(4)．5、有一腰中点时常用的作辅助线方法：①过此中点作一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形，如图(5)．②把一底的端点与中点连接并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形，如图(6)．6、有底的中点时常过中点作两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，如图(7)．七、典型例题*例1 如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC =8，若将矩形折叠，使B 点与D点重合，则折痕EF 的长为( )．A ．215B ．415 C ．5 D ．6*例2 如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点．(1)求证：四边形MENF 是菱形；(2)若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系并说明你的结论．平行四边形 练习题1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130°，则∠D 的度数是 °.2．□ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____.3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 .4．如图，在平行四边形□ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度．5．平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ） A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:46．在平行四边形A B C D 中，60B ∠= ，那么下列各式中，不能．．成立的是（ ） A ．60D ∠= B ．120A ∠=C ．180CD ∠+∠= D ．180C A ∠+∠=7．如图，在□ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证：△ABF ≌△DCE ．8．如图，小明用一根36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长为8m ，其他三条边各长多少?9．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 上的点，且DE ＝BF ．求证：AE ＝CF ．*10．如图，已知：□ABCD 中，B C D ∠的平分线C E 交边A D 于E ，A B C ∠ 的平分线B G 交C E 于F ，交A D 于G ．求证：AE D G =．A B CD E 第4题图 A B DE F C A BC D E FG。

第十九章四边形19.1.1 平行四边形及其性质(一)一、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析例1是教材P84的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P84例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是3602．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质(二)一、教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P85的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还︒和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P85的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P85）．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，①已知一边长12，求各边的长②已知AB=2BC，求各边的长③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm7的两条线段，则ABCD的周长是__5，cm___cm．七、课后练习1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．19.1.2 平行四边形的判定（一）一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点3．重点：平行四边形的判定方法及应用．4．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P87的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

第十九章“四边形”简介1. 引言在几何学中，四边形是指由四条线段连接所围成的平面图形。

四边形作为基本的几何形状之一，在数学、物理以及工程学等领域中被广泛应用。

本章将介绍四边形的定义、性质和分类，以及在实际应用中的一些常见的四边形形状。

2. 四边形的定义四边形是一个拥有四条边和四个角的平面图形。

它的特点是四个顶点、四条边和四个内角。

四边形的形状可以各异，但要满足以下两个条件：•四边形的任意两个相邻边不会相交；•四边形的对角线相交于一点。

正因为以上的条件限制，四边形可以定义为具有四条边的几何形状，并且这四条边两两不相交且对角线交于一点。

3. 四边形的性质3.1 内角和四边形的内角和等于360度。

也就是说，四边形的四个内角的度数和为360度。

3.2 对角线四边形的对角线是指连接四边形两个非相邻顶点的线段。

一个四边形总共有两条对角线。

3.3 相邻角和相邻角是指两个共享同一边的角。

对于任意一个四边形，相邻角的度数和等于180度。

3.4 对边平行性如果一个四边形的两组对边各自平行，则这个四边形是一个平行四边形。

3.5 对边长度关系在平行四边形中，对边的长度是相等的。

也就是说，平行四边形的对边长度相等。

4. 常见的四边形形状4.1 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，其四个内角均为直角。

矩形的对边相等且平行，同时对角线长度相等。

4.2 正方形正方形是一种特殊的矩形，其四个内角均为直角且边长相等。

正方形的对边长度相等且平行，同时对角线长度相等。

4.3 长方形长方形是一种特殊的矩形，其四个内角均为直角，但相邻边的长度可以不等。

4.4 平行四边形平行四边形是对边均平行的四边形。

平行四边形的对边长度相等。

5. 总结本章简要介绍了四边形的定义、性质和常见形状。

四边形作为几何学中的基本形状之一，在数学、物理以及工程学等领域中有着广泛的应用。

通过了解四边形的定义和性质，我们能够更好地理解和应用这一基本几何形状。

在实际应用中，熟练掌握不同四边形的性质和特点，有助于解决实际问题，并提高我们的空间想象和解决问题的能力。

第十九章《四边形》提要：本章重点是四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.本章难点在于四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面学习三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思不容易理解，所以是难点.习题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n个图形中有白色地面砖块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________．4．在正方形ABCD所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD为菱形,∠A=60°, 对角线BD长度为10c m，则此菱形的周长c m．6．已知正方形的一条对角线长为8c m，则其面积是__________c m2．7．平行四边形ABCD中，AB=6c m，AC+BD=14c m，则∠AOC的周长为_______．8．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠B=__________．9．等腰梯形ABCD中，AD∠BC，∠A=120°，两底分别是15c m和49c m，则等腰梯形的腰长为______．10．用一块面积为450c m2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条c m．11．已知在平行四边形ABCE中,AB=14cm,BC=16cm,则此平行四边形的周长为cm. 12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明图19-2图19-1ABCDO图19-3（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm . 16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为 和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm . 20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：∠矩形； ∠菱形； ∠等腰三角形（腰与底边不相等）； ∠等边三角形； ∠平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠∠D ．∠∠∠∠∠22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）AB C D图19-611图19-4 A BCO图19-523．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（ ） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（ ） A ．1张 B ．2张 C ．3张 D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（ ）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形． 27．下列说法正确的是（ ）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从∠AB //CD ；∠AB ＝CD ；∠BC //AD ；∠BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ． ∠∠ D ． ∠∠29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB =CD B ．AC =BDC ．当AC ∠BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 （ ） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是 （ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ ）A D CB F E 图19-7 ·A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．菱形、矩形或正方形 35．如图19-8,直线a ∠b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 （ ）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∠AB 交AC 于点E ,DF ∠AC 交AB于点F ,那么四边形AFDE 的周长是 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∠CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; （3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是 （ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在∠ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MNA BC D EF图19-9 图19-10 图19-11 D A EBC图19-12交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC 交AB 于点E ，DF ∠AB 交AC 于F ． 试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ∠DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ∠AB 于F ，如果AB =6，EF =5，AE B CF O N M D图19-13 A EB DC F1图19-142O图19-15 A BN M C D O AD求梯形ABCD 的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：∠画出的圆应符合比例要求； ∠为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）45．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ∠MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图19-19, 中,DB=CD , 70=∠C ,AE ∠BD 于E .试求DAE ∠的度数.D A B C ME N图19-18图19-17ABCD47．如图19-20, 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21∠）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图∠的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图∠）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图∠）,说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .（图∠） （图∠） （图∠） （图∠）49．如图19-22，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC于F ，DC =6c m ，AD =2c m ，求DE 、EF 、FC 的长．图19-19图19-20图19-21ABCD图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE ＝15°，试求∠COE的度数。