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北京邮电大学2016年硕士研究生招生考试试题参考答案考试科目：通信原理写在前面：本参考答案为邮学考研原创，供广大北邮考生复习参考使用，未经允许，请勿用于其他用途。
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北邮考研路上，邮学伴你前行！一、 选择填空题（每空1分，共30分）二、（1）由题可得，E [A n ]=0，E[A n 2]=1所以，E [x(t)]=E [∑A k g(t −kT S )+∞k=−∞]=∑E [A k ]g(t −kT S )+∞k=−∞=0（2）R X (t,τ)=E [x(t)x(t +τ)]=E [∑A k g(t −kT S )+∞k=−∞∑A m g(t +τ−mT S )+∞m=−∞]=∑∑E [A k A m ]g(t −kT S )g(t +τ−mT S )+∞+∞化简可得，R X(t,τ)=∑g(t−kT S)g(t+τ−kT S)+∞k=−∞=g(t)g(t+τ)∗∑σ(t−kT S)+∞k=−∞（3）由题可得，g(t)=sinc(tT S)G(f)=T S G1T S(f)其图像为由a(t)=g(t)g(t+τ)，可求得，A(f)=G(f)∗G(f)e j2πfτ所以有，A(f)在f=±1T S 、±2T S…处为0。
（4）因为x(t)的自相关函数与时间t有关，所以x(t)不是广义平稳的。
三、（1）P n(f)=P nw(f)∙|H(f)|2 n(t)的功率谱密度图像为P(f)c cf （2）P nL(f)=4P n(f+f C)U(f+f C)功率谱密度图像为（3）P nC (f)=P nS(f)=P n(f+f C)+P n(f−f C)|f|≤f C功率谱密度图像为P(f)（4）E[y(t)]=E[n C2(t)+n S2(t)]=2P n=2×N02×2×B=2N0B（5）n(t)的包络为√y(t)=√n C2(t)+n S2(t)因为n(t)为窄带高斯过程，所以其包络即√y(t)服从瑞利分布。
习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ==========（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L 213141451()4==-g14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰ 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰ 11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.x A B x ,x -⎧+≥>⎨<⎩λλ（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=,01,2,12,0,x x x x ≤<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
习题三1.将一硬币抛掷三次;以X 表示在三次中出现正面的次数;以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球;在其中任取4只球;以X 表示取到黑球的只数;以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35=13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量X ;Y 在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 解如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数;再求概率.. 4.设随机变量X ;Y 的分布密度fx ;y =⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：1 常数A ；2 随机变量X ;Y 的分布函数；3 P {0≤X <1;0≤Y <2}. 解1 由-(34)0(,)d d e d d 112x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 2 由定义;有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他3 {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k1 确定常数k ；2 求P {X ＜1;Y ＜3}；3 求P {X <1.5}；4 求P {X +Y ≤4}. 解1 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =2 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ 3 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰4 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;0.2上服从均匀分布;Y 的密度函数为f Y y =⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：1 X 与Y 的联合分布密度；2 P {Y ≤X }.题6图解1 因X 在0;0.2上服从均匀分布;所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. 2 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求X ;Y 的联合分布密度.解(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y = 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他1 试确定常数c ；2 求边缘概率密度. 解1(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. 2 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y ｜X y ｜x ;f X ｜Y x ｜y .题11图解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1;2;3;4;5;从中任取三个;记这三个号码中最小的号码为X ;最大的号码为Y .1 求X 与Y 的联合概率分布；2 X 与Y 是否相互独立解1 X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 6102 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量X ;Y 的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.031求关于X 和关于Y 的边缘分布； 2 X 与Y 是否相互独立 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY2 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;1上服从均匀分布;Y 的概率密度为f Y y =⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e1求X 和Y 的联合概率密度；2 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0;试求a 有实根的概率.解1 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图2 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ;从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计;并设X 和Y 相互独立;且服从同一分布;其概率密度为fx =⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.解如图;Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ 1 当z ≤0时;()0Z F z =2 当0<z <1时;这时当x =1000时;y =1000z如图a 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图3 当z ≥1时;这时当y =103时;x =103z 如图b3366222210101010()d d d d zy Z x y zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从N 160;202分布.随机地选取4 只;求其中没有一只寿命小于180h 的概率.解设这四只寿命为X i i =1;2;3;4;则X i ~N 160;202;从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ;Y 是相互独立的随机变量;其分布律分别为P {X =k }=pk ;k =0;1;2;…; P {Y =r }=qr ;r =0;1;2;….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(;i =0;1;2;….证明因X 和Y 所有可能值都是非负整数;所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ;Y 是相互独立的随机变量;它们都服从参数为n ;p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.证明方法一：X +Y 可能取值为0;1;2;…;2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1;μ2;…;μn ;μ1′;μ2′;…;μn ′均服从两点分布参数为p ;则X =μ1+μ2+…+μn ;Y =μ1′+μ2′+…+μn ′; X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′;所以;X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.1 求P {X =2｜Y =2};P {Y =3｜X =0}；2 求V =max X ;Y 的分布律；3 求U =min X ;Y 的分布律；4 求W =X +Y 的分布律. 解1{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ 2{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为 V =max X ;Y 0 1 2 3 4 5 P 00.040.160.280.240.283 {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min X ;Y 0 1 2 3 P0.280.300.250.174类似上述过程;有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ;设目标出现点X ;Y 在屏幕上服从均匀分布. 1 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；2 设M =max{X ;Y };求P {M ＞0}.题20图解因X ;Y 的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 1{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== 2 {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0;x =1;x=e 2所围成;二维随机变量X ;Y 在区域D 上服从均匀分布;求X ;Y 关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少题21图解区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰X ;Y 的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他X ;Y 关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立;下表列出了二维随机变量X ;Y 联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61解因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑;故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立;故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====;从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑;故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λλ>0的泊松分布;每位乘客在中途下车的概率为p 0<p <1;且中途下车与否相互独立;以Y 表示在中途下车的人数;求：1在发车时有n 个乘客的条件下;中途有m 人下车的概率；2二维随机变量X ;Y 的概率分布.解1 {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.2 {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立;其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021;而Y 的概率密度为fy ;求随机变量U =X +Y 的概率密度gu .解设Fy 是Y 的分布函数;则由全概率公式;知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立;可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此;得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立;且均服从区间0;3上的均匀分布;求P {max{X ;Y }≤1}. 解：因为随即变量服从0;3上的均匀分布;于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X;Y 相互独立;所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量X ;Y 的概率分布为其中a ;1 a ;b ;c 的值；2 Z 的概率分布；3 P {X =Z }.解 1 由概率分布的性质知;a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-;可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++;得 0.3a b +=.解以上关于a;b;c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.2 Z 的可能取值为-2;-1;0;1;2;{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=;{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=;{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=;{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===;{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====;即Z 的概率分布为3 {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X;Y 独立同分布;且X 的分布函数为Fx;求Z=max{X;Y}的分布函数.解：因为X;Y 独立同分布;所以F X z=F Y z;则F Z z=P{Z ≤z}=P{X ≤z;Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=Fz 2.28.设随机变量X 与Y 相互独立;X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .1求1{|0};2P Z X ≤=2求Z 的概率密度()Z f z分析 题1可用条件概率的公式求解.题2可先求Z 的分布函数;再求导得密度函数.解1 1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤===1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=2(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量X;Y 服从二维正态分布;且X 与Y 不相关;f X x;f Y y 分别表示X;Y 的概率密度;求在Y=y 的条件下;X 的条件概率密度f X ｜Y x ｜y.解：由第四章第三节所证可知;二维正态分布的不相关与独立性等价;所以fx;y= f X x ·F Y y;由本章所讨论知;/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他1求{2};P X Y >2求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析 已知X;Y 的联合密度函数;可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解1； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 12{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰120120(2)57().824x dx x y dyx x dx =--=-=⎰⎰⎰2()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时;()0Z f z =； 当01z <<时;0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰ 当12z ≤<时;121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他。
北京邮电大学2016年硕士研究生招生考试试题参考答案考试科目：通信原理写在前面：本参考答案为邮学考研原创，供广大北邮考生复习参考使用，未经允许，请勿用于其他用途。
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北邮考研路上，邮学伴你前行！一、 选择填空题（每空1分，共30分）二、（1）由题可得，E [A n ]=0，E[A n 2]=1所以，E [x(t)]=E [∑A k g(t −kT S )+∞k=−∞]=∑E [A k ]g(t −kT S )+∞k=−∞=0（2）R X (t,τ)=E [x(t)x(t +τ)]=E [∑A k g(t −kT S )+∞k=−∞∑A m g(t +τ−mT S )+∞m=−∞]=∑∑E [A k A m ]g(t −kT S )g(t +τ−mT S )+∞+∞化简可得，R X(t,τ)=∑g(t−kT S)g(t+τ−kT S)+∞k=−∞=g(t)g(t+τ)∗∑σ(t−kT S)+∞k=−∞（3）由题可得，g(t)=sinc(tT S)G(f)=T S G1T S(f)其图像为由a(t)=g(t)g(t+τ)，可求得，A(f)=G(f)∗G(f)e j2πfτ所以有，A(f)在f=±1T S 、±2T S…处为0。
（4）因为x(t)的自相关函数与时间t有关，所以x(t)不是广义平稳的。
三、（1）P n(f)=P nw(f)∙|H(f)|2 n(t)的功率谱密度图像为P (f)ccf（2）P n L (f )=4P n (f +f C )U (f +f C )功率谱密度图像为P (f)（3）P n C (f )=P n S (f )=P n (f +f C )+P n (f −f C )|f |≤f C功率谱密度图像为P(f)（4）E [y(t)]=E [n C 2(t )+n S 2(t )]=2P n =2×N 02×2×B =2N 0B （5）n (t )的包络为√y(t)=√n C 2(t )+n S 2(t )因为n (t )为窄带高斯过程，所以其包络即√y(t)服从瑞利分布。
2016考研数学：概率真题解析从真题上可以看出，概率继续延续往年的出题特点：重基础，题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求相对低一些。
例如：数学三的第14题，主要考查二维正态分布的性质，一维正态分布的性质，随机变量的独立性，只要考生能够从已知条件中得到X,Y服从什么样的正态分布，再根据正态分布概率密度的对称性即可得到结果;数学三的两道概率大题仍然是我们近几年真题常考的题型，第22题是考查一维离散型随机变量的概率分布及数学期望，难度并不大;第23题主要考查点估计的两种方法，矩估计和最大似然估计，像这种题型解法比较单一，尤其是矩估计，那么对于最大似然估计，需要我们先写出似然函数，然后求当参数为何值时，似然函数能够取得最大值，所以只要我们按照常规步骤去做，就一定能求解出来，对于这种常考题型，在我们平时的钻卡课程中以及日常的测试中是频繁练习的。
下面中公考研数学名师李擂结合概率论这门学科的考试特点以及考试规律，给各位2016年的考生一些复习指导建议。
一、仔细分析考试大纲，抓住重点考试大纲是最重要的备考资料，一定要将大纲中要求的内容仔细梳理一下，在复习过程中一定要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型，只要求掌握一些简单的概率计算即可，不需要在复杂的题目上投入太多精力。
而对于概率的重点考查对象一定要重视，例如，随机变量函数的分布基本上每年都会以解答题的形式考查，其中离散型随机变量函数的分布是比较简单的，连续型随机变量函数的分布是考试频率最高的，也是较难的一类题目，在利用分布函数法求概率密度函数过程中，如何正确寻找分段点以及确定积分上下限是正确解决这类问题的关键，所以平时复习要加强这类题型的训练，一个离散型一个连续型随机变量函数的分布，求最大值、最小值函数的分布考频也是比较高的。
另外，二维连续型随机变量的边缘分布、条件分布也是考试的重点，大家在复习过程中一定要深刻理解他们的定义和计算方法。
随机变量的分布还经常与数字特征结合出题，所以数字特征也是概率的一大重点，但往往考生对于这部分知识掌握的不好，失分现象严重，所以要求大家复习时要灵活应用数字特征相应的计算公式及性质。
北京邮电大学2014—2015学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效一、 填空题（45分，每空3分）1. 设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =,1()3P C =，则 (|)P AB C = . 34 2. 设随机变量X 的分布函数0 01() 01,21 1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩则(1)P X == . 112e -- 3. 设(,)X Y 的概率密度为1,01,(,)10, otherwise,x y f x y x ⎧<<<⎪=-⎨⎪⎩ 则对任意给定的(01)x x <<，()X f x = . 14. 设随机变量X 的概率分布为()(0,1,2,...)!C P X k k k ===，则()D X = . 1 5. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则(())P XE X >= . 1e -6. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为6 01(,)0 x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，其他 则(1)P X Y +≤= . 14 7. 设随机变量,X Y 相互独立，且~(3,4), ~(10,0.3)X N Y b ，则()E X Y += . 68. 设X 和Y 相互独立，X ～)2,1(N ，Y 的分布律为则=≤<}1,1{Y X P . 0.49. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY = . 22()μμσ+10. 将长度为1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为ρ= . -111. 已知随机过程(),(,)X t At B t =+∈-∞+∞，其中A ,B 独立同分布，且A ~N (0，1)，则X (t )的一维概率密度(,)f x t =.22(1)(,),x t f x t x -+=-∞<<+∞12.设{(),0}W t t ≥是参数为2σ(0σ>)的维纳过程，则(2)(1)W W 与的相关系数为. 213.设{(),0}N t t ≥是参数为0λ>的泊松过程，则{(2)2,(4)3|(1)1}P N N N ==== . 232e λλ-14. 设{,0,1,2,}n X n =是齐次马氏链，{1, 2, 3}I =，一步转移概率矩阵为00.50.50.500.50.50.50P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11lim ()n P n →∞= . 13 15. 设平稳过程{(),0}X t t ≥的功率谱密度21()1X S ωω=+，则其自相关函数()X R τ= . ||12e τ-二、 （15分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。
北邮考研详解与指导110505密码学60分钟1+五选三“1”为必考科目1、网络安全与密码学（必考）《网络安全》，徐国爱等，北京邮电大学出版社，2007年《现代密码学教程》，谷利泽等，北京邮电大学出版社，2009年微机原理《微机原理与接口技术》(前八章)王玉良、戴志涛、杨紫珊北京邮电大学出版社数字电路与逻辑设计《数字电路与逻辑设计》(修订本)王树堃、徐惠民编著人民邮电出版社计算机网络《计算机网络》，谢希仁，（第四版）电子工业出版社C 语言程序设计《C 程序设计》，谭浩强，清华大学出版社概率论《概率论》（新版）复旦大学高等教育出版社；《概率论》（南开大学）杨振明科学出版社误区一：以为自己考分高（>350)就高枕无忧了，也不准备复试，反正一定能上。
纠正：第一，考分高不一定排名高，同济经管系350是最后1名。
第二，即使排名高，照样被刷，尤其是非应届生和外校生，这次我复试刷的都是这2种人，而且370的都有。
理由是：不懂本专业知识，上了没法做研究，只会考试！误区二：认为复试前与导师见面，会引起反感，对自己不利。
纠正：我保证这是不可能的，你去与导师见面，表明你的意向和询问导师情况，又不是送礼，怎么会反感呢？面谈之后，说不定导师觉得你这人人际交往能力很强，印象好，就会要你。
总之，复试前一定要与导师面谈，不要到口试完了才知道自己导师是谁！误区三：认为复试中笔试很重要，使劲看书！纠正：1。
首先不是本专业的，你看几天能抵得上人家4年的课？2。
其次口试的重要性远高于笔试，导师对你的印象是最重要的。
我这次复试就是导师一句话说了算，根本不看笔试。
误区四：认为口试时随便穿穿就行了。
纠正：你要是穿件乞丐装，显然是鄙视老师，涵养再好也不要你。
但不要穿的太好，让老师有自卑感。
大方整洁得体就行了。
误区五：觉得英语口试很难。
纠正：英语口试一点不难。
主要是自我介绍（事先背下来），家庭情况等（随便说说），如果变态的话会问专业问题，这需要你背点专业词汇了。
北邮考研详解与指导院系：001信息与通信工程学院专业代码、名称笔试时间专业课笔试内容专业课笔试相关参考书目备注081000信息与通信工程085208电子与通信工程110503军事通信学60分钟《数字电路与逻辑设计》《数字电路与逻辑设计》（第2版），刘培植等编著，2013年出版，北京邮电大学出版社。
一份试卷四门考题，考生选三门作答。
《C 语言程序设计》《C 语言程序设计》（第3版），谭浩强编著，清华大学出版社。
《计算机网络》《计算机网络》（第五版），谢希仁编著，2008年出版，电子工业出版社。
《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》（第4版），盛聚编著，高等教育出版社。
1.充分备考2月中上旬2015年全国硕士研究生考试成绩公布后，34所自划线研究生招生单位也将在3月陆续公布复试分数线，3月底，全国各研招单位复试工作陆续进行。
因此你要在这段时间经常浏览招生单位网站，及时获取复试信息,尽可能多地了解复试内容和形式，并尽早做好相应准备。
听力方面可以找历年四、六级或考研真题，在给定的时间内回答所有题目，同时训练自己的语感。
在口语考试方面，可针对下面几个问题做准备(一般都会涉及这几个方面）：一是自我介绍,如来自什么地方、毕业学校、所学专业、业余喜好、家庭基本情况等信息;二是做好用英语讲解自己专业的准备。
口语测试时老师有可能就你所报的专业展开话题,考查用英语讲解陌生概念的能力，因此可先用笔头组织回答这些问题的要点，然后再根据这些要点来组织语言。
平时在阅读专业文献时，注意多积累一些专业方面的英语词汇。
2.信息灵通在复试的前期准备中，信息是最重要的。
这些信息除了复试的时间、地点、考官等基本常识外，还包括复试的范围、内容及考查方式等。
具体搜集信息的方法有以下几种：首先，要及时向报考学校的招生办咨询复试的形式及时间，经常浏览所报考学校的网站。
其次，关于复试的范围和内容可以向上届师兄师姐询问，他们亲历过复试，所以由他们提供的信息也最为可靠。
北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程试卷》期末考试试卷答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试卷答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是.A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A 。
（B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A 。
（C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈A 。
（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1n n A ∞=∈A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑.3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中1000,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=，则fdP Ω=⎰；若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰. 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y =.2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x =；（2）20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞=；（2）()33n n p ∞==∑.1/2,2 二. 概率题（共30分）1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=所以雅可比行列式220J u v ==-, 故2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩其他.……5分 （2）对0u >，2221(,))2(u u U ug u e gu v d d v v σπσ-∞-∞-==⎰⎰22222222u u u e e u u σσπσσ---==⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他.……4分 （1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
