高二下学期期末复习卷(数学).pdf

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年福建省福州第一中学高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x 2−x−12<0}，B ={x ∈R |log 2(5−x )<1}，则(∁R A )∩B =( )A. {x |−3<x ≤4}B. {x |−3≤x <4}C. {x |x ≥4}D. {x |4≤x <5}2.“a +b <−2，且ab >1”是“a <−1，且b <−1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设函数f (x )=3x (x−a )在区间(0,32)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. [−3,0)C. (0,1]D. [3,+∞)4.A 校和B 校进行排球决赛，决赛规则为“5局3胜”，已知每局比赛A 校获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则A 校在先失一局的情况下，战胜B 校的概率为( )A. 297625B. 189625C. 162625D. 271255.新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数(x)12345治愈人数(Y)21736103142由表格可得Y 关于x 的非线性回归方程为y =6x 2+a ，则此回归模型第5周的残差为( )A. 0B. 2C. 3D. ―26.已知关于x 的不等式x 2−(a +1)x +a <0恰有四个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (5,6]B. [−4,−3)C. [−4,−3)∪(5,6]D. (−4,−3]∪[5,6)7.设(13)a =2,b =log 1213,c =(12)−13，则有( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c8.已知实数a ，b 满足a >b >0，且a a =b b ，e 为自然对数的底数，则( )A. b >1eB. a +b >2eC. a a <e a−1D. a a <e−1e二、多选题：本题共3小题，共15分。

黑龙江省龙东联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数 学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4. 本试卷主要考试内容：集合、逻辑、不等式、函数、导数、数列.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知函数，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3. 褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一个电路中，流过的电荷量Q （单位：C ）关于时间t （单位：s ）的关系式为，则当时，该电路的电流为（ ）A. B. C. D. 5. 若函数在上单调，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V 与水的高度h 的函数关系的是x ∃∈N 22x x -∉N x ∃∉N 22x x -∈N x ∃∈N 22x x -∈N x ∀∉N 22x x -∈N x ∀∈N 22x x -∈N()f x =()()()22g x f x f x =+⎡⎣(-∞⎡⎣⎡⎤⎣⎦()3sin Q t t t =-πt =23πA ()23π1A+3πA()23π1A-()()()log 2,12,1a x x f x a x a x ⎧+>⎪=⎨--≤⎪⎩R ⎛⎝()2,⎛+∞ ⎝ ()2,+∞()2,⎫+∞⎪⎪⎭A. B. C. D.7. 若，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若一个函数的值域为，则称该函数为全域函数，则下列函数为全域函数的是（ ）A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）A. 恰有一个极值点B. 有最小值但没有最大值C. 直线与曲线的公共点个数最多为4D. 经过点可作曲线的两条切线11. 已知实数a ，b 满足，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则B. 的最小值为2C. 若，则D. 若，则的最小值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. ______.13. 已知函数满足，若，则______.8log 27a =0.991.5b =0.25log 0.1c =c a b>>c b a>>a b c>>a c b>>P ABCD -PA =P ABCD -R 1y x=()lg 1y x =-tan y x =y x x=()2e xf x x=()f x ()f x ()2y k x =+()y f x =()0,0()y f x =0ab a b ++=1a >-1b >-2a b ++1a <-490a b ++≤0b >()21114b b a b+++22log 330.1254-+=()f x ()()101012f x f x ++-+=-()()g x f x x =+()191i g i ==∑14. 已知，若不等式恒成立，则a 的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a 的取值范围.16.（15分）已知函数.（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）设函数，若，求a 的取值范围.17.（15分）已知函数.（1）若，求的图象在点处的切线方程；（2）若关于x 的方程恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.18.（17分）最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a ，b 的最大公约数记为，a ，b ，c 的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a ，b 的最小公倍数记为，a ，b ，c 的最小公倍数记为.例如，.（1）求的值；（2）若数列满足，，求数列的前n 项和；（3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：.19.（17分）已知，函数，.0a >e ln x aa x ≥{}92A x a x a =<<-221B y y xx ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭1a =()A B R ðA B A = ()21622xxf x -+=⨯+()f x ()f x ()()32xg x f x -=-()()4220g x g a x +-≥()()1e x f x ax a =-+1a =()f x ()()1,1f ()1ef x =-(),a b (),,a b c [],a b [],,a b c ()4,6,82=[]3,99=()[]lg 15,25lg 4,5,10+{}n b ()6,9n n n b =*n ∈N {}n nb n S {}n a 12a =2414a a a =[]1111,2ni i i a a =+<∑a ∈R ()22e4e 9xx f x a =+-()224g x a x =-+（1）讨论的单调性；（2）证明：，.()f x 0x ∀>()()0f x g x +>龙东联盟高二期末考试数学参考答案1. D 命题“，”的否定为“，”.2. D 由题可知的定义域为，则，解得，所以的定义域为.3. B 由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”，所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件.4. B 由题意得，则，则当时，该电路的电流为.5. D 当时，，解得；当时，，解得.综上，a 的取值范围是.6. A 在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，故选A.7. A 因为，，所以.8. B 设正四棱锥的高为h ，底面边长为x ，则，则，所以正四棱锥的体积，则.当时，.所以9. BCD 的值域为，A 错误.，的值域均为，B ，C 均正确.的值域为，D 正确.10. AC 的定义域为，，则在和上单调递增，在上单调递减，故是唯一的极值点，故A 正确；在上的最小值为x ∃∈N 22x x -∉N x ∀∈N 22x x -∈N ()f x =(],2-∞2222x x ≤⎧⎨≤⎩1x ≤≤()g x ⎡⎤⎣⎦()23cos Q t t t '=-()22π3πcos π3π1Q =-=+'πt =()23π1A +1a >20log 32a a a a ->⎧⎨≥--⎩2a >01a <<20log 32a a a a-<⎧⎨≤--⎩1a ≤<()2,⎫+∞⎪⎪⎭3310.9924423log 3log 3log 9log 8 1.5 1.52a b ===>==>=44log 10log 9c a =>=c a b >>P ABCD -(222x h ⎫+=⎪⎪⎭22362x h =-P ABCD -()()(2311362033V h x h h h h ==-<<()()213663V h h '=-0h <<()0V h '>h <<()0V h '<()max V h V==1y x=()(),00,-∞+∞ ()lg 1y x =-tan y x =R 22,0,0x x y x x x x ⎧-<==⎨≥⎩R ()f x ()(),00,-∞+∞ ()()3e 2x xf x x ='-()f x (),0-∞()2,+∞()0,22x =()f x ()f x ()0,+∞，又因为当时，，所以无最小值，故B 错误；直线恒过点，当k 足够大时，直线与曲线有2个交点，直线与曲线有2个交点，则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确；易知点不在的图象上，设切点为，则，解得，则经过点只可作曲线的一条切线，故D 错误.11. ACD 对于选项A ，由，，得，解得，A 正确.对于选项B ，取，满足，此时，B 不正确.对于选项C ，由，得，取，，则，由，得，则，则，当且仅当，时，等号成立，从而，C 正确.对于选项D ，由，得，则.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，D 正确.12. 13 .13. 76 由题可知，，所以.()2e 24f =x →-∞()0f x →()f x ()2y k x =+()2,0-()2y k x =+()()0y f x x =<()2y k x =+()()0y f x x =>()2y k x =+()y f x =()0,0()f x 0020e ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()000200300e 0e 20x x x x x x --=-03x =()0,0()y f x =1a >-0ab a b ++=11ba b =->-+1b >-2a b ==-0ab a b ++=22a b ++=-0ab a b ++=()()111a b ++=()1s a =-+()1t b =-+1st =1a <-0s >0t >()()14144a b s t -+-+=+≥=2s =12t =490a b ++≤0b >1101a b +=>+()()221111111144b b a b b a b b+++=++++-()()2111141b a a b=+++-+()()2111111111141b a b a b b b +++-≥+-=+-≥-=+()()2011411ab a b b a a b b ⎧⎪++=⎪⎪=+⎨+⎪⎪=⎪⎩121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩()21114b b a b+++22222223log 32log 3log 33330.125482224913-⨯+=+=+=+=()()()()()()1010101010108g x g x f x f x x x ++-+=++-++++-+=()19189476i g i ==⨯+=∑14. 因为，，所以等价于.若，则，，显然恒成立.若，令，则在上恒成立，则在上单调递增，由，得，则，则在上恒成立.令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，从而，解得.综上所述，a 的取值范围为.15. 解：（1）当时，.……1分，……2分当且仅当时，等号成立，……3分所以，，……5分当.……7分（2）因为，所以.……8分当时，，解得.……9分当时，，……11分解得.……12分综上，a 的取值范围为.……13分16. 解：（1）令，则，……1分则，……3分所以的解析式为.……4分（2）为偶函数.……5分理由如下：因为的定义域为，且，所以为偶函数.……8分(]0,e 0x >0a >e ln x aa x ≥e ln x a x x x a ≥01x <≤e 0x ax a >ln 0x x ≤e ln xax x x a≥1x >()ln f x x x =()1ln 10f x x =>'+>()1,+∞()f x ()1,+∞e ln x a x x x a ≥()e a x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭e x a x ≥1ln xa x ≥()1,+∞()ln x g x x =1x >()21ln xg x x-'=()1,e x ∈()0g x '>()g x ()e,x ∈+∞()0g x '<()g x ()()max 1e e g x g ==11ea ≥0e a <≤(]0,e 1a ={}17A x x =<<2212y x x=+≥1x =±[)2,B =+∞(),2B =-∞R ð()(),7B A =-∞R ðA B A = A B ⊆A =∅92a a ≥-3a ≥A ≠∅292a a a ≥⎧⎨<-⎩23a ≤<[)2,+∞2x t +=2x t =-()2222162222t t t t f t --+-=⨯+=+()f x ()2222xx f x +-=+()f x ()f x R ()()2222xx f x f x -+-=+=()f x（3），……9分易证是上的奇函数，……10分因为，所以.……11分因为，都是增函数，所以是上的增函数，……12分所以，……13分则，……14分因为，所以，即a 的取值范围是.……15分17. 解：（1）由，得，则.……2分因为，，……5分所以的图象在点处的切线方程为.……7分（2）显然不符合题意，当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，所以，……9分化简可得.因为在上单调递减，且，所以不等式的解集为.……2分当时，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，所以关于x 的方程不可能有两个不同的实数解.综上，a 的取值范围为.……15分18.（1）解：.……2分（2）解：因为，，……3分且2与3互质，所以，……4分()2222xx g x +-=-()g x R ()()4220g x g a x +-≥()()422g x g x a ≥-22xy +=22xy -=-()g x R 422x x a ≥-()24max2a x x≥-()22422111x x x -=--+≤1a ≥[)1,+∞1a =()e xf x x =()()1e xf x x +'=()1e f =()12e f '=()f x ()()1,1f 2e e y x =-0a =0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()f x →+∞x →-∞()0f x →()1min 11e e a f x f a a -⎛⎫=-=-<- ⎪⎝⎭11e0aa --<()11eag a a =-()0,+∞()10g =11eaa --<()1,+∞0a <()f x 1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()f x →-∞x →-∞()0f x →()1ef x =-()1,+∞()[]()lg 15,25lg 4,5,10lg 5lg 20lg 5202+=+=⨯=623n n n =⋅()293n n=3n n b =所以，，……5分两式相减得……6分，……8分所以.……9分（3）证明：设的公差为d .因为，，所以，则，……10分因为公差d 为整数，所以，.……11分当时，因为与互质，所以，……13分所以，……15分所以.……17分19.（1）解：因为，所以.……1分若，则在上恒成立.……2分若，则由，得，当时，，当时，.……4分综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.……6分（2）证明：.……7分1213233n n S n =⨯+⨯++⋅ 231313233n n S n +=⨯+⨯++⋅ 2123333n n n S n +-=+++-⋅ ()11313123331322n n n n n ++--=-⋅=⋅--1213344n n n S +-=⋅+{}n a 12a =2414a a a =()()223213d d d ++=+()()3210d d --=1d =1n a n =+*n ∈N 1n +2n +[]()()1,212n n n n ++=++[]()()11111,1212n n a a n n n n +==-++++[]1111111111111,233412222ni i a a n n n =+=-+-++-=-<+++∑ ()22e4e 9xx f x a =+-()()24e 4e 4e e x x x x f x a a ='=++0a ≥()0f x '>(),-∞+∞0a <()0f x '=()ln x a =-()(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>0a ≥()f x (),-∞+∞0a <()f x ()()ln ,a -+∞()(),ln a -∞-()()2222e4e 94xx f x g x a a x +=+-+-+22244e 2e 9x xa a x ⎛=+-++- ⎝令，则要证，即证恒成立，……8分即证，即证，需证.……9分令，，则，……11分当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即，……13分则，……15分则，当且仅当时，等号成立，从而，证毕.……17分()22244e 2e 9xxh a a a x ⎛=+-++- ⎝()()0f x g x +>()0h a >22216e 162e 90x x x ⎛⎛⎫∆=-+-< ⎪ ⎝⎭⎝2e 9x ⎛+> ⎝e 3x+>()2e 2e xx x ϕ=-0x >()22e 2e x x ϕ='-10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0x ϕ'<()x ϕ1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>()x ϕ()102x ϕϕ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭2e 2e xx ≥e x ≥>e 3x+>≥49x =e 3x +>。

i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

呼和浩特第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．命题“，”的否定是( )A.， B.，C.， D.，3．若，，成等差数列，则( )A.C. D.4．设a ，b ，c 为实数，且，则下列不等式正确的是( )5．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为( )A. B. C. D.6．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为( ){}|6U x x =∈≤N {}1,2,3,4A ={}1,3,5B =()U A B = ð{}1,2,3,4,5{}6{}0,6{}0,1,3,5,6()0,1x ∀∈20x x -<()0,1x ∀∉20x x -≥()0,1x ∃∈20x x -≥()0,1x ∀∉20x x -<()0,1x ∀∈20x x -≥lg a lg b lg c b =2ac =2b ac=()2lg lg b a c =+0a b <<<2bc <>22ab b >>()f x []3,3-()f x '03x ≤≤()f x ()f x 1x =()()0f x f x ⋅'>()()3,10,1-- ()()3,11,3-- ()()1,00,1- ()()1,01,3-A. B. C.7．已知函数的图象关于对称，且对，，当且恒成立.若对任意的恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.8．已知函数的图象上存在点P ，函数的图象上存在点Q ，且点P 、Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知数列的前n 项和为,，且，则下列说法中正确的是( )A.C.是等比数列D.是等比数列10．下列说法正确的是( )A.已知等比数列是递增数列，q 是其公比，则B.数列的前n 项和为，，A 、B 为常数.对任意常数A 、B ，都是等差数列C.设，，D.设，，()e e x x y x -=-cos y x x=y =()cos e e x x y x -=+()1y f x =-1x =()y f x =x ∈R (]12,,0x x ∈-∞12x x ≠0<()()2221f ax f x <+x ∈R ((),1-∞(-∞)+∞12ln ,e e y a x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭21y x =--20,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22,e 1⎡⎤-⎣⎦212,3e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦213,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭{}n a n S 23a =()*122n n a S n +=+∈N 1a =4792={}n a {}1n S +{}n a ()110a q ->{}n a n S n S An B =+{}n a 0a >0b >a b +=0a >0b >a b +=+11．已知定义域为R 的函数满足，，且为奇函数，则( )A.B.函数的一个周期为4C.D.三、填空题12．__________.13．已知函数在上单调递增，则a 的取值范围是__________.14．函数与函数四、解答题15．已知集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.16．已知为正项数列的前n 项和，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若的前n 项和为.17．已知函数.（1）若，求在区间上的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：18．若正整数m ,n 最大公约数为1，则称m ,n 互质.对于正整数k ,是不大于k 的正整数()f x ()()2f x f x x -=+()02f =()11y f x =+-()13f -=-()y f x x =+()20242022f =-191()152i f i ==-∑12011lg125lg 1)864-⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭()()2lg 6f x x x =--(),a +∞()2ln f x x =+()e g x =212A x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{}22|210B x x x m =--+<2m =()A B R ðx A ∈x B ∈n S {}n a 11a =211n n n S S a +++={}n a n b =}n b n T ()()1ln f x ax x a =--∈R 1a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0a >()1f x ≥()k ϕ中与k 互质的数的个数，称为欧拉函数.例如,.设数列是等比数列，且.数列的前n 项和为，满足.（1）求,的通项公式；（2）设，求的前2024项和（结果用m 表示，数字用分数）；19．已知函数.（1）在的切线斜率为2，求a ；（2）当时，①，证明：；②判断的零点个数，并说明理由.()k ϕ()21ϕ=()32ϕ={}n a ()332n n a ϕ={}n b n S ()2n n S n n a =+{}n a {}n b 20243m =n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3222223n n b b b a n ++++> ()()e ln 1x f x x ax =+-()f x 0x =1a =0x ≥()0f x ≥()f x参考答案1．答案：C解析：，，，故,，故选：C.2．答案：B解析：命题"，"的否定是"，"，故选：B.3．答案：B解析：因为、、成等差数列,所以,即.故选B.4．答案：D解析：对于A ，令对于B ，当时，，故B 错误；对于C ，令对于D ，，且，即，故D 正确5．答案：A解析：由图可得：时,，单调递增,则,所以,时,，单调递减,则,所以,因为是定义在上的奇函数,所以当时,，单调递减,则,所以,时,，单调递增,则,所以,综上：的解集为.故选:A.6．答案：C解析：设题设函数为,由图可知0,若,但此时,矛盾,故可排除D;由的图象得为奇函数,由于为偶函数,所以排除A;当的值为0,所以排除B.{|6}{0,1,2,3,4,5,6}U x x =∈≤=N {1,2,3,4}A ={1,3,5}B ={1,2,3,4,5}A B = (){0,6}U A B ∴= ð(0,1)x ∀∈20x x -<(0,1)x ∃∈20x x -≥lg a lg b lg c 21g 1g 1g 1g()b a c ac =+=2b ac =a =->0c =220ac bc ==b =-<0a b << 2a ab ∴>2ab b >22a ab b >>(0,1)x ∈()0f x >()f x ()0f x '>()()0f x f x '⋅>(1,3)x ∈()0f x >()f x ()0f x '<()()0f x f x '⋅<()f x [3,3]-(3,1)x ∈--()0f x <()f x ()0f x '<()()0f x f x '⋅>(1,0)x ∈-()0f x <()f x ()0f x '>()()0f x f x '⋅<()()0f x f x '⋅>(3,1)(0,1)-- ()f x (0)f =()()cos e e x x f x x -=+(0)2f =()f x ()f x ()e e x x y x -=-x =cos y x x =故选C.7．答案：A解析：解析:函数的图象关于直线对称,函数的图像关于y 轴对称,即为偶函数.又当且恒成立,在区间上单调递减,在区间上单调递增.,，即，恒成立.令,则在区间上恒成立.令，当,即时,在区间上单调递增,符合题意;当,即或时,应满足,解得,此时a 的取值范围为或综上,a 的取值范围是.故选项A 符合题意.8．答案：B解析：由题意可知，函数上存在点Q 关于原点的对称点P 在函数的图象上,可以转化为函数关于原点对称的函数与的图象有交点，函数关于原点对称的函数为,即，所以(1)y f x =-1x =∴()f x ()f x 12,(,0]x x ∈-∞12x x ≠0<()f x ∴(,0]-∞()f x ∴[0,)+∞()2(2)21f ax f x <+ 2221ax x ∴<+22424441a x x x <++()42244410x a x ∴+-+>2(0)t x t =≥()2244410t a t +-+>[0,)+∞()22()4441h t t a t =+-+∴2102a t -=≤11a -≤≤()h t [0,)+∞min ()(0)10h t h ∴≥=>2102a t -=>1a <-1a >()2244160a ∆=--<a <<0≠∴1a <<-1a <<(21y x =--12ln ,e e y a x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭21y x =--12ln ,e e y a x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭21y x =--22()11y x x -=---=--21y x =+，与在上有交点，由得，设，即与在上有交点，，令，得，所以在上单调递增，令，所以在上单调递减，所以，，又由，，所以要想有交点，a 的取值范围为，故选：B.9．答案：ABD解析：，且,又，，A 选项正确;又，，，2ln y a x =+21y x =+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22ln 1a x x +=+212ln a x x =+-2()12ln g x x x =+-y a =()y g x =1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222()2x g x x x x -'=-=()0g x '>1e x <≤()g x (1,e]()g x '<1x ≤<()g x 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭min ()(1)2g x g ==22(e)e 12ln e e 1g =+-=-211112ln 3e ee g ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭22e 1 2.51 5.253->->>2max ()e 1g x =-22,e 1⎡⎤-⎣⎦23a = ()*122n n a S n +=+∈N2122a S ∴=+11S a =112a ∴=∴1122,(2)22n n n n a S n a S +-=+⎧≥⎨=+⎩12,(2)n n n a a a n +∴-=≥13,(2)n n a a n +∴=≥C选项错误;，,又，D选项正确；，B选项正确.故选:ABD.10．答案：AD解析：对于A，因为等比数列是递增数列，所以且，即，且所以,且,所以，所以A正确；对于B，因为，所以，当时，，所以当时，不满足，所以数列不一定是等差数列，所以B错误；对于C，因为，所以当且仅当，当且仅当C错误；对于D，因为，，，，故选：AD()*122n na S n+=+∈N122n n nS S S+∴-=+()()*1131,n nS S n+∴+=+∈N113112S a+=+={1nS∴+13132nnS-∴+=⨯=44312S+==48179122S∴=-=∴{}na1n na a+->0q>111n na q a q-->0q>11(1)0na q q-->0q>1(1)0a q->nS An B=+1(1)(2)n n na S S An B A n B A n-=-=+---=≥1n=11a S A B==+0B≠1a n a A={}na0,0,1a b a b>>+=211()2a b a b=++=+≤++=a b==≤a b==a>0b>1a b+=1414()559b aa bb a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23=b=解析：对于A ，因为为R 上的奇函数，所以，所以，因为，所以，所以A 错误，对于B ，令，因为，所以，所以,所以为偶函数，因为为R 上的奇函数，所以,即.所以，所以，所以，所以，所以，所以所以是以4为周期的周期函数，即函数的一个周期为4，所以B 正确，所以所以，所以C 正确；对于D ，因为，，所以,所以，，，，，，，，，，，所以,所以D 正确.故选：BCD(1)1y f x =+-(01)10f +-=(1)1f =()()2f x f x x -=+(1)(1)2123f f -=+=+=()()g x f x x =+()()2f x f x x -=+()()f x x f x x --=+()()g x g x -=()g x (1)1y f x =+-(1)1(1)10f x f x -+-++-=(1)(1)2f x f x -+++=(2)()2f x f x ++-=(2)2()4f x x f x x ++++--=()(2)4g x g x -++=()(2)4g x g x ++=(4)(2)4g x g x +++=()(4)g x g x =+()g x ()y f x x =+(2024)2024(2024)(0)(0)2f g g f +====(2024)2022f =-()()2f x f x x -=+(2)()2f x f x ++-=(2)()22f x f x x +++=(2)()2(1)f x f x x ++=-(2)(0)21f f +=⨯(1)(3)20f f +=⨯(4)(6)2(3)f f +=⨯-(5)(7)2(4)f f +=⨯-(8)(10)2(7)f f +=⨯-(9)(11)2(8)f f +=⨯-(12)(14)2(11)f f +=⨯-(13)(15)2(12)f f +=⨯-(16)(18)2(15)f f +=⨯-(17)(19)2(16)f f +=⨯-19191()(0)()i i f i f f i ===-+∑∑22(10347811121516)152=-+⨯+--------=-解析：易知故答案为:12.13．答案：解析：函数在上单调递增,在上单调递增,且大于0恒成立,则,解得.a 的取值范围是.故答案为：.14．答案：1或e解析：不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为；易知，，因此，可得，即，即，即，解得；.故答案为：1或e15．答案：（1）；112122011111lg125lg 1)lg 1251lg1000131812864888--⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=÷++=++=++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭[)3,+∞ ()2()lg 6f x x x =--(,)a +∞26y x x ∴=--(,)a +∞21260aa a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩3a ≥∴[3,)+∞[3,)+∞()2ln f x x =+()11,x y ()e x g x =()22,x y ()f x '=()e x g x '=2e x =21e 1x x =()21ln e 0x x =12ln 0x x +=2121e ln 2x x x x --==-2111121e ln 2x x x x x x x --=-11111ln ln x x x x --=-()()111ln 10x x +-=1x =11x ==e =()()[)1,02,3A B =-R ð（2），解得，所以，所以，当时，，所以；（2）因为”“是“”的充分不必要条件，则，因为，则对任意的恒成立，令，所以，即，解得或，所以m 的取值范围为16．答案：（1）；（2）解析：（1）由题意知：，①当时，，②①-②可得，，，，，当时，，即，又，，解得或（舍去），，从而，()(),11,-∞-+∞ ()2010220x x x x x ⎧-≤≥⇔≥⇔⎨--≠⎩02x ≤<[)0,2A =()[),02,A =-∞+∞R ð2m ={}()2|2301,3B x x x =--<=-()()[)1,02,3A B =-R ðx A ∈x B ∈A B ⊂≠{}22|210B x x x m =--+<22210x x m --+<[)0,2x ∈()2221f x x x m =--+()()0020f f <⎧⎪⎨≤⎪⎩221010m m ⎧-+<⎨-+≤⎩1m >1m <-()(),11,-∞-+∞ n a n =11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭12n T ≤<211n n n S S a +++=2n ≥21n n n S S a -+=()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-0n a > 10n n a a +∴+>()112n n a a n +∴-=≥1n =2122S S a +=222120a a a --=11a = 22220a a ∴--=22a =21a =-211a a ∴-=()111n n a a n +-=≥数列是首项为1，公差为1的等差数列，数列的通项公式为；（2）证明：由（1）知，，即单调递增，数列是一个递增数列，17．答案：（1）在区间上有极小值，无极大值；（2）答案见解析；（3）证明见解析解析：（1）当时，，，列表；（2）函数的定义域为,∴{}n a ∴{}n a ()111n a n n =+-⨯=()()()()111112121212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ n ∈N >142n -<+n T <11242n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭∴{}n T 11126n T T ∴≥=-=n T ≤<()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()10f =1a =()1ln f x x x =--()111(0)x f x x x x-∴=-=>'()f x ()0,+∞()1f x a x ='=-当时，，从而，故函数在上单调递减；当时，若，从而；若，从而，故函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增.所以最小值为，只需证明：构造函数，容易证得.18．答案：（1）；；（2）；（3）证明见解析解析：（1）由可得,；又因为数列是等比数列,设的公比为q ,可得,因此；所以,即；可得；即;当时,满足上式,0a ≤10ax -<()0f x '<()f x ()0,+∞0a >0x <<10-<()0f x '<x >10->()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭111111111ln 1ln 10f f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-⇔=--≥-⇔+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln 1g a a a=+-3n n a =()21*243,n n b n n n -=+⋅∈N 20244051322T m =-()332n n a ϕ=13(3)32a ϕ==23(9)92a ϕ=={}n a {}n a 213a q a ==3n n a =()23n n S n n =+⋅211(1)13,2n n S n n n --⎡⎤=-+-⋅≥⎣⎦()22113(1)13,2n n n n n b S S n n n n n --⎡⎤=-=+⋅--+-⋅≥⎣⎦()21243,2n n b n n n -=+⋅≥1n =116S b ==即可得；所以，的通项公式分别为,.（2）由（1）可知,设;，两式相减可得即所以(3)设,即可得,当时,,原不等式成立;当时,即可得,所以即.19．答案：（1）；（2）①证明见解析；②在上有两个零点，理由见解析解析：（1）由可得()21*243,n n b n n n -=+⋅∈N {}n a {}n b 3n n a =()21*243,n n b n n n -=+⋅∈N 1(24)3n n b n n -=+⋅0113126383(24)3123n n n b b b b T n n-=++++=⨯+⨯+++⋅ 1236383(24)3n n T n =⨯+⨯+++⋅ 0121263232323(24)3n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-+⋅ ()1131362(24)333(24)313n n n nn n --=+⨯-+⋅=+-+⋅-33322n n T n ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭202420243340513202432222T m ⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭1233n n n c c c c a ++++== 113323(2)n n n n c n --=-=⋅≥1n =112631b a =>=2n ≥111244232330n n n n n b c n n n ---⎛⎫-=+⋅-⋅=⋅> ⎪⎝⎭2n n b c n >3121232222123n n n b b b b c c c c a n ++++>++++= 3122222123n n b b b b a n++++> 1a =-()f x (1,)-+∞()e ln(1)x f x x ax =+-e ()e ln(1)1x xf x x a x '=++-+可得,解得.（2）当时,,其定义域为；可得；①证明:当时,令则则因此可知在上单调递增,即，因此,可得在上单调递増,所以,即在上单调递增,因此,即可得时,.②由，可知在上单调递增,易知当x 趋近于-1时,趋近于,又，根据零点存在定理可得在上存在唯一零点,设，，即可得时,,时,,所以在上单调递减,在上单调递增，因此,当x 趋近于时,趋近于,令,，所以在上单调递増,上单调递减,上单调递增,即可得,当x 趋近于时,趋近于，即可得在上有唯一零点,且(0)12f a '=-=1a =-1a =()e ln(1)x f x x x =+-(1,)-+∞e ()e ln(1)11x xf x x x '=++-+0x ≥e ()()e ln(1)11x xg x f x x x '==++-+()222e e 21()e ln(1)e 1(1)n 1()l 11x x xx g x x x x x x x '=++-=+⎡-⎤+⎢⎥⎣+++⎦+221()ln(1)01(1)h x x x x x =++-≥++22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +'=-+=>++++()h x [0,)+∞()(0)1h x h ≥=()e ()0x g x h x '=≥()g x [0,)+∞()()(0)0g x f x g '=≥=()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=0x ≥()0f x ≥()0h x '>(1,)x ∈-+∞()h x (1,)-+∞()h x -∞(0)10h =>()h x (1,0)-()0h m =(1,0)m ∈-(1,)x m ∈-()0h x <(,)x m ∈+∞()0h x >()f x '(1,)m -(,)m +∞()(0)0f m f ''<=1-()f x '+∞()0f n '=n m <()f x (1,)n -(,0)n (0,)+∞()(0)0f n f >=1-()f x -∞()f x (1,)n -(0)0f =即的一个零点为0,上无零点,综上可知,在上有两个零点.()f x (0,)+∞()f x (1,)-+∞。

2024年春期高2022级高二期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I 卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线过点(1,2)-，(3,2+，则此直线的倾斜角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．已知221:202C x y x y ++-+= ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A ．1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =（）A ．20B ．16C ．14D ．124．已知双曲线C 经过点()0,1，则C 的标准方程为（）A ．221x y -=B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．2213x y -=5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A ．3B ．6C ．10D ．156．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）A ．25B ．45C ．815D ．897．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知2()log 2)cos f x x x x =+-，且0.1231(log ),(0.)9),log 43(a f b f c f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）A ．7n =B ．只有第4项的二项式系数最大C ．各项系数之和为1D ．5x 的系数为56010．下列说法中正确的是（）附：2χ独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值α0.10.050.01aχ 2.7063.8416.635A ．已知离散型随机变量14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()14323D X +=B ．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C ．若()()()121,,4312P A P P AB B ===，则事件A 与B 相互独立D ．根据分类变量x 与y 的观测数据，计算得到2 3.154χ=，依据0.05α=的独立性检验可得：变量x 与y 独立，这个结论错误的概率不超过0.0511．将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）AB ．该几何体的体积为6C ．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D ．直线//AD 平面BCE第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．数列{}n a 满足()1432n n a a n -=+≥且10a =，则数列{}n a 的通项公式是．13．过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为．14．已知1F 、2F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足1260F PF ∠=︒，若12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?17．已知数列{}n a 的通项公式为n a n =，在n a 与1n a +中插入21n n +-个数，使这21n n ++个数组成一个公差为n d 的等差数列，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，(1)求{}n d 的通项公式及n S ；(2)设12nn n na b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .18．已知函数2()22ln f x x ax x =-+.(1)当22a =()y f x =的单调减区间；(2)若()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右两个顶点分别为A ，B ，直线by x a=与直线x a =的交点为D ，且△ABD 的面积为23(1)求C 的方程；(2)设过C 的右焦点F 的直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =-，直线1l 交C 于M ，N 两点，2l 交C 于G ，H 两点，线段MN ，GH 的中点分别为R ，S ，直线RS 与C 交于P ，Q 两点，记△PQA 与△PQB 的面积分别为1S ，2S ，证明：12S S 为定值.1．C【解析】利用斜率的计算公式即可得出倾斜角．【详解】解：已知直线过点(1,2)-，(3,2+，设直线的倾斜角为α，则tan k α=又[0α∈ ，)π，3πα∴=．故选：C ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握斜率的计算公式是解题的关键．2．A【分析】配方后化为标准方程即可得.【详解】由已知圆的标准方程为2213((1)24x y ++-=，圆心是1(,1)2-，半径是2．故选：A ．3．D【分析】由等差数列的性质求得5a ，然后依次求得6a ，公差，最后求得6S ．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴375210a a a +==，55a =，所以56657a a a a ==，∴公差652d a a =-=，∴1543a a d =-=-，∴6656(3)2122S ⨯=⨯-+⨯=，故选：D ．4．C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在y 轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C 经过点()0,1及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C 经过点()0,1，所以双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为22221(0,0)y xa b a b-=>>.因为双曲线C 经过点(0,1)，所以2222101a b-=，解得1a =．又因为ce a==所以c 则222211b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221y x -=．故选：C.5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有13C 种方法，放入两个盒子有23C 种方法，所以不同放法的种数为1233C C 6+=.故选：B 6．D【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，事件A 包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则422212114348C C C C C 27()C 35P A =+=，又1211434282C C C C 24()C 35P AB ==，则()8()()9P AB P B A P A ==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为89．故选：D ．7．B【分析】直线MN 的方程为21y x =+，联立直线与抛物线的方程得到12244p x x -+=，结合C 是MN 的中点，可得6p =，由抛物线的定义可将r MF +转化为MC MF +，当,,C P M 三点在一条直线时，可求得r MF +的最小值.【详解】圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的圆心()1,3C ，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，设直线MN 的方程为()321y x -=-，化简为：21y x =+，2212y x y px=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：()244210x p x +-+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以12244p x x -+=，因为C 是MN 的中点，所以12241224x x p +-=⇒=，解得：6p =，故()3,0F ，:3l x =-，由抛物线的定义可知，过点M 作MH l ⊥交l 于点H ，过点C 作CP l ⊥交l 于点P ，所以MF MH =，所以=4r MF MC MF CP ++≥=，当,,C P M 三点在一条直线时取等.故选：B.8．D【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系.【详解】因函数2()log 2)cos f x x x x =+-的定义域为R ，且22()()[()log 2)cos ][log 2)cos ]f x f x x x x x x x --=----+-122[log 2)log 2)]x x x -=--+2log 0x ==，所以函数()f x 为偶函数；当(0,2)x ∈时，因2t x =单调递增，而2log y t =在定义域内也为增，故由同增异减原则，2log 2)y x =也为增，2log 2)y x x =+也为增，又因cos y x =-在(0,2)x ∈上为增函数，故()f x 在(0,2)上为增函数.又因221(log )(log 3),3a f f ==100.0.9100.9<<=，231log 32,1log 42<<<<由223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3-⋅-=-=⋅，因222lg2lg43lg2lg4()(lg2)(lg3)22+⋅<=<，故321log 4log 32<<<，由2()log 2)cos f x x x x =+-在(0,2)上为增函数可得:0.132(0.9)(log 4)(log 3)f f f <<，即a c b >>.故选：D.9．AD【分析】根据二项式系数之和为2n 运算求解，进而判断A ；根据二项式系数的性质分析判断B ；令1x =，求各项系数之和，进而判断C ；对于D ：结合二项式系数的通项分析判断.【详解】对于A ：由题意可知：各项的二项式系数之和为2128n =，解得7n =，故A 正确；可得7221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于B ：因为7n =，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B 错误；对于C ：令1x =，可得各项系数之和为()7121-=-，故C 错误；对于D ：因为二项展开式的通项为()()72371771C 22C ,0,1,2,,7r rrr r r r T x x r x --+⎛⎫=⋅-=-⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令375r -=，解得4r =，所以5x 的系数为()4472C 560-=，故D 正确；故选：AD.10．BC【分析】A 选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；B 选项，根据百分位数的定义进行计算；C 选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；D 选项，根据独立性检验的标准进行判断.【详解】对于A ：根据二项分布的方差公式，可得()11841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴()()23238D X D X +==，∴A 错误；对于B ：1075%7.5⨯=，根据百分位数的定义，这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B 正确；对于C ：∵()23P B =，∴()21133P B =-=，∴()()()1114312P A P B P AB ⨯=⨯==，根据事件独立性的定义可知，事件A 与B 相互独立，∴C 正确；对于D ：根据2χ的值以及常用的概率值与相应临界值可知，依据0.05α=的独立性检验，可得变量x 与y 相互独立，即认为变量x 与y 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D 错误．故选：BC 11．AC【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，1112ABD S =⨯⨯ ，所以表面积为6=A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以2213323AO AM ==⨯⨯，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为3DO =，所以题图所示几何体的体积为1223346D ABC V V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC，因为AO OM ==所以()111,,0,0,0,,1,0,0,,,222B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，所以0102x x y -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得0y x =-=，所以取()0,n =-，又36360,,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎛-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =--⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.12．141n n a -=-【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设()14n n a a λλ-=++，则143n n a a λ-=+，又因为()1432n n a a n -=+≥，所以33λ=，则1λ=，所以()1141n n a a -+=+，因为1110a +=≠，所以10n a +≠，所以1141n n a a -+=+为常数，所以{}1n a +是首项为1，公比为4的等比数列，所以111144n n n a --+=⨯=，所以141n n a -=-.故答案为：141n n a -=-13．210x y ++=【分析】由导数的几何意义得出切线方程()()1113e xy y n x x -=--，进而由切点的位置得出11,x y ，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为()11,x y ，()13e 1x f x x '=-+，()11113e 1x f x x '=-+.则切线方程为()111113e 1x y y x x x ⎛⎫-=--⎪+⎝⎭，因为()1,1-在切线上，所以()1111113e 11x y x x ⎛⎫-=---⎪+⎝⎭，即()1113e 12x y x =-++又()111ln 13e 2x y x =+-+，所以()111ln 13e 0xx x ++=，令()ln 13e xy x x =++，()131e 1x y x x'=+++，当1x >-时，0'>y ，所以()ln 13e xy x x =++在()1,-+∞上单调递增，所以方程()111ln 13e 0xx x ++=只有唯一解为10x =.即切点坐标为()0,1-，故所求切线方程为12y x +=-，即210x y ++=.故答案为：210x y ++=14．45##0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径()3r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PF PF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122212433sin 603231122PF F b S PF PF ⨯=︒=⨯ ；设12PF F △的外接圆半径为R，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F cF PF ==∠=︒，可得R =；易知12PF F △的周长为121222l PF PF F F a c =++=+，利用等面积法可知()1221323PF F b lr a c r S ===+，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ===-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：4 5 .【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr=可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.15．(1)0.96(2)0.8336【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率319420C10.20.96CP=-⨯=.（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率()40.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336 P=+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2）11 2B D=【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM B N ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭ 11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠121=52520255-=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以()minsin θ=112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT =，即11B H =1B H =所以DH ===则11sin B D DHB DH∠==所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠=[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ= ．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE 在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅()21)35t t +=+，sin DFE ∠1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ=sin θ，当12t =，即112B D =，面11BB CC 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，最小值为3．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．17．(1)111n d n n =-+，1n nS n =+(2)1362n n n T -+=-【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求n S .（2）利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）因为在n a n =，11n a n +=+之间插入21n n +-项，使这21n n ++个数成公差为n d 的等差数列，所以()()2111n n nd nn +-=++-⇒21111n d n n n n ==-++，所以11111122311n n S n n n =-+-++-=++ .（2）易知112n n n -+=，所以012123412222nn n T -+=++++ ，123112341222222n n n n n T -+=+++++ 两式相减得12311111112222222n n nn T -+⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111122132312212n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，所以1362n n n T -+=-.18．(1))1-；(2)9,ln28⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.【分析】(1)a =f(x)求导，解()0f x '<得递减区间；(2)分析出由()0f x '=所得的一元二次方程的两根12,x x 的关系，再对12()f x mx ≥分离参数，消元，构建新函数，求其最小值即得.【详解】(1)2222()2(0)x f x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=得11x +，21x =，由()0f x '<11x -<+.所以，()f x的单调减区间为)1-.(2)()()221x ax f x x-+'=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，且12xx <，∴12,x x 是方程210x ax -+=的两正根，则1252x x a +=≥，121=x x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，∴()213211111112222ln 22ln f x x ax x x ax x x x x -+==-+()323112*********ln 22ln x x x x x x x x x x =-++=--+，由12x x a +=，121=x x ，得11152x x +≥，∴1102x <≤，令()3122ln ,02x x x x x x ϕ=--+<≤，()232ln x x x ϕ'=-+，令()232ln h x x x =-+，()()22213620x x h x x x-='-+=>，h(x)在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，则有()1312ln 0242h x h ⎛⎫≤=-+< ⎪⎝⎭即()0x ϕ'<，∴()x ϕ在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，∴()19ln228x ϕϕ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，故9,ln28m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦【点睛】不等式的恒成立，求参数的取值范围问题，等价转化是解题的关键，借助分离参数，构造函数，求其最值的思想.19．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）联立方程组，求出D 点坐标，然后利用三角形面积列出,a b 的一个方程，再结合题目所给离心率为12，解出,a b 即可（2）先设出直线12,l l 的方程，分别与椭圆联立方程组，求出交点坐标，再根据PQ 斜率是否存在分类讨论，求出直线PQ 所过定点，最后利用高相等，面积比等于底边之比求出答案即可【详解】（112=，所以b a ①由b y xa x a⎧=⎪⎨⎪=⎩，知(),D a b 由△ABD的面积为122a b ⨯⨯==ab ②由①②解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩.所以C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意知()1,0F ，()11:1k l y x =-，()22:1l y k x =-，联立方程()1221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221114384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211221843k x x k +=+，所以2121214243x x k k +=+，代入直线1l 的方程121213243y y k k +-=+，所以211221143,4343k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222243,4343k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，将点R ，S 的坐标代入，得()()21122244330,44330,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知1k ，2k 为方程()244330m n k k n +++=的两个根，则123244n k k m n ⋅==-+，得811n m =-，所以直线88:1111PQ y mx m m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以直线PQ 过定点8,011E ⎛⎫⎪⎝⎭.②当直线PQ 的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，因为122k k =-不妨设1k =，2k =22122212448434311k k k k ==++即直线8:11PQ x =，满足过定点8,011E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为PQA △的面积为112P Q S AE y y =-，PQB △的面积为212P Q S BE y y =-，所以1282151187211AE S S BE +===-，为定值.。

高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X  ===   ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。

上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知数列为正项等比数列，，，则______．2. 曲线在点处的切线斜率为_____________.3. 在二项式的展开式中，的系数为______．（用数字作答）4. 若随机变量X 服从标准正态分布，则______．5. 一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______．6. 将序号分别为4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x （单位：万千米）对应维修保养费用y （单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程万千米/万千米1245维修保养费用万元/万元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是______．8. 已知数列满足：（为正整数），则______．9. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为__________.10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R ，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为___________的{}n a 31a =79a =5a=e xy =()1,e (51x ()0,1N ()0P X <=351,2,3,4x y 0.5ˆ8ˆy x a =+{}n a 321423nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=n n a =8n +n n n P n P11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.12. 在n 维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标，其中．定义：在n 维空间中两点与的曼哈顿距离为在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则______．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）A. 学生身高和体重没有相关性B. 学生身高和体重呈正相关C. 学生身高和体重呈负相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件()2,n n N ≥∈()12,,,n a a a ⋅⋅⋅{}()0,11,i a i n i ∈≤≤∈N ()12,,,n a a a ⋅⋅⋅()12,,,n b b b ⋅⋅⋅1122n na b a b a b -+-+⋅⋅⋅++()E X =x y x y 0.8255r =0.8255()y f x =()y f x '=R ()y f x =R ()y f x '=R15. 设，，随机变量X 的分布列是（ ）a则方差（ ）A 既与有关，也与有关B. 与有关，但与无关C. 与有关，但与无关D. 既与无关，也与无关16. 数列的前n 项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ）①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.A. ①②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）17. 袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X 表示摸出的黑球个数．（1）采用不放回摸球，求X 的分布；（2）采用有放回摸球，求X 的分布、期望．18. 设，已知函数．（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a 的值及函数的单调区间；（2）若函数在区间上严格增，求实数a 的取值范围．19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）男生女生合计.的01a <<n R ∈Xn1n +P1a-()D X n a a n n a n a {}n a n S {}n a ()f x ()f x R {}n a ()f x n ()n n S f a ={}n a ()f x {}21n +{}2nR a ∈()ln a f x x x=+()y f x =()()1,1f ()y f x =()y f x =[]1,e同意7050120不同意305080合计100100200（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关?（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．参考公式和数据：，其中，．若，，，．20. 已知数列的各项均为正数，，且．（1）求证：数列等差数列；（2）若数列满足，是否存在正整数m ；使得成立，并说明理由．（3）设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．21. 已知，设函数的表达式为（其中）（1）设，，求曲线在点处的切线方程；是95%A B ()|P B A A B ()185,169X N ～()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()2 3.8410.05P χ≥≈()2,X N μσ～()0.6827P X μσ-<≈()20.9545P X μσ-<≈()30,9973P X μσ-<≈{}n a 113a =()11221n n n a a n a --=≥+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b 1213n n nb a -⎛⎫=⨯⎪⎝⎭4m b ≥1n n na c a +={}n d {}n c {}n d {}n t 20241ii t=∑,R a b ∈()y f x =()2ln f x a x b x =⋅-⋅0x >1a =1b =()y f x =()()1,1f（2）设，，集合，记，若在D 上有两个不同的极值点，求b 的取值范围；（3）当，，时，记，其中n 为正整数．求证：．2a =-R b ∈(]0,1D =()()3g x f x x =+()y g x =0a =0b <1x >()()()1nn nh x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()122nnn h x h x ⎡⎤+≥+⎣⎦上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学 简要答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）【1题答案】【答案】3【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】10【4题答案】【答案】##【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】5.66【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】【10题答案】【11题答案】【答案】【12题答案】e 120.5651814,134,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩815R 1148【答案】二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分【13题答案】【答案】B 【14题答案】【答案】D 【15题答案】【答案】B 【16题答案】【答案】C三、解答题（本大题满分78分）【17题答案】【答案】（1）分布列略 （2）分布列略；【18题答案】【答案】（1）；减区间是，增区间是 （2）【19题答案】【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由略；②977【20题答案】【答案】（1）证明略 （2）不存，理由略 （3）4139166【21题答案】【答案】（1） （2） （3）证明略在8031() 1.2E X =2a =()0,2()2,∞+(],1-∞()2|3P B A =y x =90,16⎛⎫⎪⎝⎭。

2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x |−1≤2x +1≤3 }，B ={x|x−2x≤0 }，则A ∩B =( )A. {x |−1≤x <0 } B. {x |0<x ≤1 } C. {x |0≤x ≤2 } D. {x |0≤x ≤1 }2.设p:1<x <2,q:2x >1，则p 是q 成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)的部分图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. 5e x −5e −xx 2+2B. 5sin xx 2+1C. 5e x +5e −x x 2+2D. 5cos xx 2+14.设随机变量X 的分布列P(X =k)=m4k 2−1(k =1,2,3,4,5)，则P(X ≥4)=( )A. 235B. 325C. 2225D. 33355.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=−5，S 6=21S 2，则S 8=( )A. 120B. 85C. −85D. −1206.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f(x)=lg x.设a =f(65),b =f(32)，c =f(52)，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b7.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名男医生、4名女医生，要求每个乡镇分配3名医生，则每个乡镇均有男医生的分配方法种数为( )A. 360B. 1480C. 1080D. 14408.已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 的图象上两个不同的点，则( )A. log 2y 1+y 22<x 1+x 22 B. log 2y 1+y 22>x 1+x 22C. log 2y 1+y 22<x 1+x 2 D. log 2y 1+y 22>x 1+x 2二、多选题：本题共3小题，共15分。

东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}52. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48B. 24C. 12D. 83. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ） A. 12−B. 13−C 12−或13−D. 1−或13−4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤D. {2λλ≤−或}2λ≥5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−6. 已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =.的（ ） A. 511B. 61C. 41D. 97. 已知函数(1)y f x =+是定义在R 上偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）的A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−..的19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2mB x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}5【答案】C 【解析】【分析】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，再运用集合的交集即可. 【详解】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，则集合{|2x x >或0}x <， 又{}0,1,2,3,5A =， ∴ {}3,5A B = . 故选：C.2. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48 B. 24C. 12D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理确定258a a +=，根据等差数列性质有25168a a a a +=+=，在应用等差数列前n 项和公式即可求解..【详解】因为2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，所以258a a +=， 又因为{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质有：25168a a a a +=+=， 设{}n a 的前6项和为6S ，则()166638242a a S +×==×=.故选：B3. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ）A. 12−B. 13−C. 12−或13−D. 1−或13−【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可.【详解】()2213y x a x =+−−，则图像开口向上，对称轴为直线122ax −=. 当1212a −≤时，即12a ≥−，3x =时有最大值1,即9(21)331a +−×−=，解得13a =−； 当1212a−≥时，即12a ≤−，=1x −时有最大值1,即1(21)(1)31a +−×−−=，得1a =−； 故1a =−或13a =−.故选：D ．4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤ D. {2λλ≤−或}2λ≥【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得p ¬为真命题，再参变分离求解即可．【详解】由题意，p 为假命题，故p ¬为真命题，故()20,,10x x x λ∀∈+∞−+≥﹐故()10,,x x xλ∀∈+∞≤+，又当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 所以λ的取值范围是{}2|λλ≤ 故选：A ．5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−【答案】C 【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x=≥， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ， 当0a =时，集合{}100B xx x x=≥=>，满足题意；当>0a 时，集合110Bx a x x x a=≥=<≤ ，此时需满足11a ≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ∞∞ =≥=−∪+，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1−∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.6. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算法则可求得12nn n a a +=，即可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由1lg lg lg 2n n n a a ++=可得1lg lg 2nn n a a +=， 即12nn n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=； 即356413242a a a a a a a a =⋅==⋅⋅==， 由11a =可得22a =，因此数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以()()91239139248S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()54112212611212×−×−=+=−−.故选：B7. 已知函数(1)y f x =+R 上的偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =【答案】D 【解析】【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，可知()f x 对称轴为1x =，又2()31)(f x f x ++−=可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()f x 关于1x =对称，则(1)(1)f x f x −=+，又2()31)(f x f x ++−=，所以2(1)3)(f f x x +++=，即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=−++=−++=， 函数()f x 的周期为4，取0x =，则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===， 所以()()401f f ==，则D 选项正确，B 、C 选项错误；由已知条件不能确定()1f 的值，A 选项错误； 故选：D. 8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e【答案】A 【解析】【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到1a =，再代入得12ln x x =，化简得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数()21ln (0)th t t t+=>，利用导数求解其最大值即可. 【详解】依题意，()()2e x f x x ′=+，可知<2x −时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；2x >−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则2x =−时，()f x 取得极小值()212ef −=−，也即为最小值； 又()1ln 1,0ea g x x a x −−′=++<<时，()0g x ′<，此时()f x 单调递减；1e a x −−>时，()0g x ′>，此时()f x 单调递增；则1e a x −−=时，()g x 取得极小值()11e ea a g −−−−=−，也即为()g x 最小值.由121e ea −−−=−，解得1a =. 因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >−>，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1t t tt x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln t h t t −−=′，当()120e ,0t h t −<′<>，此时()f x 单调递增； 当()12e ,0t h t −>′<，此时()f x 单调递减；故12e t −=时，()h t 取极大值12ee 2h − = ，也即为最大值.故选：A .【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出1a =，再代入减少变量得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上单调递增函数 【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =即可判断B 错误，对选项C ，令()0xxf x a a−==−求解即可判断C 正确，对选项D ，根据指数函数单调性即可判断D 正确.【详解】函数()1xx x x f x a a a a − =−=−， 对选项A ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，()()xxf x a a f x −−=−=−， 所以函数()f x 是奇函数，故A 正确. 对选项B ，()000f a a ==−，故B 错误.对选项C ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，令()0xxf x a a−==−，解得0x =，为故C 正确.对选项D ，当1a >时，101a <<，所以x y a =和1xy a=−在R 上为增函数，所以函数()1xxf x a a=−在R 上为单调递增函数，故D 正确.故选：ACD10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，结合已知可得()0g x ′>，即可判断A ；将已知条件化为2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，再令()e ()x h x xf x =−并应用导数研究单调性得()(1)e (1)h x h f ≥=−，进而判断B 、C 、D.【详解】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，则e ()()()0xg x f x xf x x′′=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则(π)(e)π(π)e π((e π)(e))e f g f f g f >>⇒>⇒，A 对； 由题设2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞， 令()e ()x h x xf x =−，则1()e ()()e (1)x xh x f x xf x x′′=−−=−， 当01x <<时()0h x ′<，即()h x 递减；当1x >时()0h x ′>，即()h x 递增；所以()(1)e (1)h x h f ≥=−， 若2e (2)2f =，则2(2)e 2(2)0(1)h f h =−=>，所以(1,2)上2()()0h x f x x′=<，()f x 递减；(2,)+∞上2()()0h x f x x ′=>，()f x 递增； 故2x =为()f x 的极值点，B 对；若(1)e f =，则()0h x ≥，即()0f x ′≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，故1x =不是()f x 的极值点，C 错； 若(1)e f <，则()0h x >，即()0f x ′>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 对. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B 、C 、D ，由2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，并构造()e ()x h x xf x =−且应用导数研究其单调性和极值为关键.11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C. ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得到n a ，1n a +的关系式，选项A ，将式子变形，可判断数列{}n a 的增减性；选项B ，利用递推关系式得到1n a −与11n a +−同号，结合112a =即可判断；选项C ，将式子变形，利用B 中的结论即可判断；选项D ，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和，然后结合递推关系式即可求解． 【详解】由题意知211n n n a a a +=−+， 选项A ：所以()2110n n n a a a +−=−≥，故1n n a a +≥，若存在1n n a a +=，则有()2110n n n a a a +−=−=，即存在1n a =，当1n =时，11a =，与112a =矛盾， 当2n ≥时，由211n n n a a a +=−+得2111n n n a a a −−=−+，若1n a =，有2110n n a a −−−=，则10n a −=或11n a −=，若10n a −=与112a =且1n n a a +≥矛盾；若1n a =时有11n a −=，递推可得11a =，与112a =矛盾， 综上，不存在1n n a a +=，所以1n n a a +>，故数列{}n a 递增，故A 正确． 选项B ：数列{}n a 递增，112a =，故12n a ≥，故()2111n n n n n a a a a a +=−−=−，所以1n a −与11n a +−同号， 因11102a −=−<，所以10n a −<，即1n a <． 综上，112n a ≤<，故B 正确． 选项C ：由选项B 知112n a ≤<，所以()()2211212112312102n n n n n n n n n a a a a a a a a a +−−=−+−−=−+=−−≤ ，即()1112n n a a +≤+，故C 错误．选项D ：由题意，2n n S T −可视为数列{}22n n a a −的前n 项和，因为2121n n n n a a a a +−=+−， 所以()()()12231112111n n n n n S T a a a a a a n a a ++−=+−++−+++−=+− ， 又{}n a 递增，所以110n a a +−<，故112n n n S T n a a n +−=+−<，即()12n n S T n <+，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】思路点睛：选项中的不等式，要通过已知条件进行构造，如C 选项需要构造121n n a a +−−的形式，并判断121n n a a +−−的符号；D 选项则需构造2n n S T −，比较2n n S T −与n 的大小关系，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和是解题关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 【答案】1200 【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解.【详解】因为n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且30S ≠，为可知3S ，63S S −，96S S −，129S S −也成等比数列， 又因为330S =,6120S =，则6333S S S −=， 可得296303270S S −=×=，3129303810S S −=×=，所以96270390S S =+=，1298101200S S =+=. 故答案为：1200.13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式21m m −<，解出即可.【详解】因为0,0x y >>且3x y +=，则()14x y ++= 则()11111111214141y x x y x y x y x y+ +=+++=++ +++1214≥×+= ， 当且仅当11y x x y+=+，即1,2x y ==时，等号成立， 因为不等式2111m m x y +>−+恒成立，则21m m −<m <<， 所以实数m的取值范围为.故答案为：.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】()(),42e,−∞−+∞ 【解析】【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m−<<，解得答案. 【详解】当0x ≥时，()exx f x =，()1e x xf x =′−， 当[)0,1x ∈时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x ′≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =， 当0x <时， ()11e 2x f x +=−−，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位， 再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到， 画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =−，当0m =时，()2g x =−，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =−=，即()2f x m =， 函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m−<<，解得2e m >或4m <− 故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞−−∪+. 故答案为：()(),42e,∞∞−−∪+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想.需要熟练掌握.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30e e x y −−=（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为()()1e x f x x =+，则()()()1e e 2e x x x f x x x =++=+′，可得()12e f =，()13e f ′=，即切点坐标为()1,2e ，斜率3e k =，所以切线方程为()2e3e 1y x −=−，即30e e x y −−=. 【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ， 由（1）可知：()()2e xf x x +′=，令()0f x ′>，解得2x >−；令()0f x ′<，解得<2x −；所以函数()f x 的单调递减区间为(),2∞−−，单调递增区间为()2,∞−+，且函数()f x 的极小值为()212e f −=−，无极大值. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 【答案】（1）213na n =−（2）111−【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】因为212nn S n =−， 当1n =时，1111a S ==−； 当2n ≥时，()()()122111221321n nn n n a S S n n n − ==−−−−=−−−；经检验：111a =−满足213n a n =−，所以213na n =−. 【小问2详解】由（1）得：()()1111112132112213211n n n b a a n n n n +===×− −−−−， 所以11111111111112119979112111111T =−+−++−=−−=−−−−− . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21na n =− （2）()1133n n S n +=−⋅+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式列式解出1,a d ，即可得到答案； （2）由条件可得()()11233n n n n n b +−⋅−−⋅=，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，的则()1214561243427a a a d a a a a d +=+= ++=+= ，解得112a d = = ，所以()12121n a n n =+−=−. 【小问2详解】由（1）可知：()()()121333123nn n n nn n n b n a +=−⋅=−⋅−−⋅=⋅，则()()()()343110313023133331213n n n n n n S n ++=−−+×−+×−×+⋅⋅⋅−⋅−−⋅=−⋅++，所以()1133n n S n +=−⋅+.18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−.【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数求原函数的单调性；（2）根据题意利用导数分析原函数单调性和最值可得ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，()()12ln 21g x g ≤=−，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e ′=−x f x a ， 若0a ≤，则()e 0x f x a ′=−>对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，令()0f x ′>，解得ln x a >；令()0f x ′<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增； 综上所述：若0a ≤，()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增. 【小问2详解】若e a =，则()e e xf x x =−，由（1）可知：()f x 在(),1∞−内单调递减，在()1,∞+内单调递增，所以()()10f x f ≥=，即e e 0x x −≥当且仅当1x =时，等号成立， 因为()()0,e ,0,a x ∞∈∈+，则ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，即()0f x >；因为()2ln(1)g x x x =+−，则()21111xg x x x −=−=′++， 且0x >，令()0g x ′>，解得01x <<；令()0g x ′<，解得1x >； 可知()f x 在()1,∞+内单调递减，在()0,1内单调递增， 可得()()12ln 21g x g ≤=−，即()12ln 2g x −≥−； 所以FF (xx )=ff (xx )−gg (xx )>1−2ln 2. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos ,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）证明见详解 （2）(]0,2 （3）m b m =【解析】【分析】（1）令()()()π,0,4F x f x g x x=−∈，求导，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0F x >； （3）利用（1）中结论，cosπ2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =−<<+∑，可得m b m =.【小问1详解】令()()()2πsin 2sin,0,24ax F x f x g x ax x x =−=−∈， 若2a =，则()()22sin 2sin 2sin sin F x x x x x x x =−=−， 又因为π04x <<，2sin 0x >． 设()sin h x x x =−，π04x <<， 则ℎ′(xx )=1−cos xx >0，可知()h 在π0,4上单调递增， 可得()()00h x h >=， 即()0F x >，所以()()f x g x >. 【小问2详解】 因为()22sin1cos 22axg x ax ==−， 由（1）可知：()sin cos 1F x ax x ax +−，π04x <<， 原题意等价于()0F x >对任意π0,4x∈恒成立， 则()()sin cos sin Fx a x x x ax −′=+， 当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，则sin sin2ax x ≤， 可得()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos F x a x x x x a x x x x x ′ ≥+−=−+− ，由（1）得sin 0x x −>，则()0F x ′>，可知()F x 在π0,4上单调递增，则()()00F x F >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin x F x a x x x ax ϕ==+−′，π04x <<， 则()()()222cos sin cos 2cos cos x a x x x a ax a a ax a ax a ϕ =−−<−=−′， 因为201a <<，可知存在0,2a πθ ∈ ，使得2cos a a θ=， 当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220x a a a ϕ < ′−=， 可知()x ϕ在()0,θ上单调递减，则()()00x ϕϕ<=， 即()0F x ′<在()0,θ上恒成立，可知()F x 在()0,θ上单调递减，则()()00F F θ<=，不合题意； 综上所述：a 的取值范围为(]0,2．所以a 的取值范围为(]0,2.【小问3详解】由（1）可知2a =时，cos212sin 12x x x x >−>−，则cos π2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)=π�1kk −1kk+1�， 1n =时，()1πcos21n kk k ==+∑； 2n =时，()1πcos21n k k k =+∑ 3n ≥时，∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)≥√22+√6+√24+nn −2−π2�13−1nn+1�>nn −2+3√2+√6π， √2√6�2−202√12184>0，则√2√6�2>202，即200−>，π411066−>−−=>π16>， 得∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)>nn −2+3√2+√64−π6>nn −1，又()1πcos21n k n k k =<+∑， 1n =时，01<<，2n =时，12<<， 所以N n ∗∈时，都有()1π1cos 21n k n n k k =−<<+∑， ()*1πcos ,21n n n k A a a n k k = ==∈ +∑N ，则N n ∗∈时，集合A 在每个区间()1,n n −都有且只有一个元素， 对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b， 由2m m m −=，所以m b m =.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。