方程(组)的应用(三)

苏科版七年级数学下册第十章《二元一次方程组》实际应用解答题常考题（三）1．在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是，未知数q表示的是；张红所列出正确的方程组应该是；（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？2．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，李老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些量．某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，且规定每辆汽车按规定满载，一共用了8辆汽车运送．（1）小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组，请写出小宇所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示，y表示，该方程组中“？”处的数应是，“*”处的数应是．（2）小琼同学的思路是设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电．下面请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量．（3）如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运完这190台家电后的总运费是多少？3．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．4．丹东的草莓久负盛名，当下正是草莓的销售旺季，某日，我市一水果店以3650元购进两种不同品种的草莓，若按标价出售可获毛利润1600元（毛利润＝售价﹣进价），这两种草莓的进价、标价如下表所示：价格/品种A品种B品种进价（元/千克）35 45标价（元/千克）50 65求这两个品种的草莓各购进多少千克．5．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A 商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．（1）求出商品A、B每个的标价．（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？6．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次 4 5 31第二次 3 6 30（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？7．由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．8．甘肃省白银市具有悠久的历史和灿烂的文化，在历史长河中，黄河文化、西夏文化、中原文化等多种文化在这里相互渗透，融合发展．千姿百态、景象万千的景泰黄河石林，被称为“中华自然奇观”．寿鹿山、屈吴山、哈思山、铁木山等自然景观各具特色，引人入胜．一外地游客到某特产专营店，准备购买红枸杞和小口大枣两种盒装特产．若购买3盒红枸杞和2盒小口大枣共需285元；购买1盒红枸杞和3盒小口大枣共需270元．（1）请分别求出每盒红枸杞和每盒小口大枣的价格；（2）该游客购买了4盒红枸杞和2盒小口大枣，共需多少元？9．2019年2月《上海市生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了20%；②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占70%；③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有20%的废纸；④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．根据上述信息回答下面的问题：（1）学校现在每天生活垃圾重量是多少千克？（2）学校现在每天的可回收物和干垃圾各多少千克？（用二元一次方程组解）10．某体育器材店有A、B两种型号的篮球，已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元．（1）A、B型号篮球的价格各是多少元？（2）某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个，总费用为5700元，这所学校购买了多少个B型号篮球？11．喜迎元旦，某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如下表：进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩30 40雪容融35 50 （1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？（2）如果销售完100个吉祥物所得的利润，全部捐赠，那么，该玩具店捐赠了多少钱？12．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？13．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？14．司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？15．疫情期间，为保护学生和教师的健康，某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照教育局要求，学校必须储备足够使用十天的口罩，该校师生共计800人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？参考答案1．解：（1）方程组中未知数p表示的是：甲工程队修建的天数，未知数q表示的是：乙工程队修建的天数，列出正确的方程组应该是：．故答案为：甲工程队修建的天数，乙工程队修建的天数，；（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据题意，得，解得，所以甲工程队修建的天数＝＝12（天），乙工程队修建的天数＝＝6（天）．答：甲、乙两个工程队分别修建了12天、6天．2．解：（1）依题意得：x表示使用甲种汽车的数量，y表示使用乙种汽车的数量，“？”处的数应是8，“*”处的数应是190．故答案为：使用甲种汽车的数量；使用乙种汽车的数量；8；190．（2）依题意得：，解得：，∴＝＝5．答：使用甲种汽车5辆．（3）180×5+300×（8﹣5）＝1800（元）．答：该公司运完这190台家电后的总运费是1800元．3．解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：，解得：，答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m＜n，依题意，得：25m+10n＝200，∴m＝8﹣n．∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴或或，∵m＜n，∴不合题意舍去，∴共2种购买方案，方案一：购进A型车4辆，B型车10辆；方案二：购进A型车2辆，B型车15辆．4．解：设A品种的草莓购进x千克，B品种的草莓购进y千克，由题意得：，解得：，答：A品种的草莓购进40千克，B品种的草莓购进50千克．5．解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，依题意得：，解得：．答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．（2）设商店打m折出售这两种商品，依题意得：9×9×+8×12×＝141.6，解得：m＝8，9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．6．解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，依题意得：，解得：．答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨．（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，依题意得：4m+3n＝45，∴n＝15﹣m．又∵m，n均为正整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．7．解：（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，依题意，得：，解得：，答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨．（2）依题意，得：3a+4b＝31，∵a，b均为正整数，∴或或．∴一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆；（3）方案一所需租金为100×1+120×7＝940（元）；方案二所需租金为100×5+120×4＝980（元）；方案三所需租金为100×9+120×1＝1020（元）．∵940＜980＜1020，∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．8．解：（1）设每盒红枸杞的价格为x元，每盒小口大枣的价格为y元，由题意得：，解得：，答：每盒红枸杞的价格45元，每盒小口大枣的价格为75元；（2）4×45+2×75＝330（元），答：该游客购买了4盒红枸杞和2盒小口大枣，共需330元．9．解：（1）400×（1﹣20%）＝320（千克）．答：学校现在每天生活垃圾重量是320千克；（2）设学校现在每天的可回收物有x千克，干垃圾有y千克，依题意得：，解得：．答：学校现在每天的可回收物有160千克，干垃圾有60千克．10．解：（1）设A型号篮球的价格为x元，B型号的篮球的价格为y元，依题意得：，解得：．答：A型号篮球的价格为50元、B型号篮球的价格为80元．（2）设这所学校买了m个A型号篮球，买了n个B型号篮球，依题意得：，解得：．答：这所学校购买了30个B型号篮球．11．解：（1）设冰墩墩进x个，雪容融进了y个，由题意可得：，解得：，答：冰墩墩进40个，雪容融进了60个；（2）∵利润＝（40﹣30）×40+（50﹣35）×60＝1300（元），∴玩具店捐赠了1300元．12．解：设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，依题意得：，解得：．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．13．解：设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，依题意得：，3×①﹣②得：11x+5y+2z＝5．答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需5元．14．解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶的速度为v，依题意得：，解得：x＝6y．又∵x，y均为1～9内的自然数，∴x＝6，y＝1，∴10y+x＝16，10x+y＝61，100y+x＝106．答：第一块里程碑上的数为16，第二块里程碑上的数为61，第三块里程碑上的数为106．15．解：（1）设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，依题意，得：，解得：．答：学校购进甲种口罩400盒，购进乙种口罩600盒．（2）购买的口罩总数为：400×20+600×25＝23000（个），全校师生两周需要的用量为：800×2×10＝16000（个）．∵23000＞16000，∴购买的口罩数量能满足教育局的要求．。

线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。

线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。

本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。

一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。

下面将详细介绍这三种方法。

1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。

通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。

举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。

然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。

2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。

通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。

仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。

3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。

通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。

考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。

通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。

二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。

二元一次方程组解应用题（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：（金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票题中的两个相等关系：1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数可列方程为：2、10分邮票的总价+ =全部邮票的总价可列方程为：10X+ =（做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？题中的两个相等关系：1、做4个小狗的时间+ =3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：（倍数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+ =现在全市总人口可列方程为：2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口可列方程为：（1+0.8％）x+ =（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为：2、萍果总数=可列方程为：（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。

第13讲一元一次方程的实际应用（三）【板块一】积分问题方法技巧1．根据已知条件或积分表中隐含的条件，得出胜1场，平1场，负1场所得的积分．2．相等关系：胜场总积分十平场总积分十负场总积分＝最终积分．题型一已知胜1场，平1场，负1场的积分【例1】某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？【练1】为有效开展阳光体育活动，某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九（1）班在8场比赛中得到13分，问九（1）班胜、负场数分别是多少？题型二通过积分表求胜1场，平1场，负1场的积分【例2】下表为中国足球超级联赛第27轮部分积分榜：（1（2）若第27轮后，某队积分54分，胜场是负场的整数倍，问该队胜几场？【练2】下表是欧洲足球冠军杯第一阶段G组赛（每个队分别与其它三个队进行主客比赛各一场，即每个队进行6场比赛）积分表的一个部分，本次足球小组赛中切尔西队总积分为多少分？针对练习11．爷爷和孙子下棋，爷爷赢一盘记2分，孙子赢一盘记3分，平局时爷爷记0分，孙子记2分，下了14盘后两人得分相等（其中平局2盘），则爷爷赢了（）A．6盘B．7盘C．8盘D．9盘2．当今世界杯足球赛的积分如下：赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某小组四个队进行单循环赛后，其中某队积7分，若该队赢了x场，平了y场，则（x，y）是（）A．（1，4）B．（2，1）C．（0，7）D．（3，－2）3．小明是班级的篮球明星，在一场比赛中，他一人独得23分（没有罚球得分），如果他投进2分球比3分球多4个，那么他在这场比赛中投进的2分球有个．4．某次综合实践竞赛共有26道题目，规则是：答对1题得3分，答错1题扣1分，不答得0分，第一小队共有5题没有回答，得了51分，那么该队共答对了道题．5．在一次有7个队参加的足球循环赛（每两个队之间赛且只赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比负场数多2场．结果共积11分，问该队战平几场？【板块二】分段计费问题◇方法技巧◇1．常见的分段收费：水费，电费，煤气费，个人所得税，打折销售等．2．相等关系：第一段费用十第二段费用＋…＝总费用．题型一分段计费问题【例3】为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1．5元／吨，超过月用水标准量部分的水价为2．5元／吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？【练3】为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290．5元．已知该用户六月份用电量大于五月份用电量，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？题型二打折销售问题【例4】已知A，B两家商店的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元．（1）问随身听和书包的单价各是多少元？（2）现在这两家商店搞促销，促销方式如下：商店A：所有的商品打八折销售；商店B：每购物满100元，立即返还25元（例如，购物205元，则立即返还50元）．小明身上带了400元钱，想买随身听和书包各一个，那么，他应该选择在哪一家商店购买更省钱？【练4】某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：①一次购买金额(称为应付款，下向)不超过1万元不予优惠；②一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；③一次购买金额超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分给予八折优惠．(1)若顾客第一次购买原料应付款8000元，第二次应付款24000元，则实际共付款元；若他是一次购买同样数量的原料，则实际付款元；(2)某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料实际付款若干元，第二次购买实际付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，则实际付款可少付金额为1540元，只知第一次购买的原材料应付款不超过1万元，问第一次到底花费多少钱?针对练习21．某出租车收费标准是：起步价6元(即行驶距离不超过3千米需付6元车费)，超过3千米后，每增加1千米加收1.4元(不足1千米按1千米计)，某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17．2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是（）A．13 B．11 C．9 D．72．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a 元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为( )A．13立方米B．14立方米C．15立方米D．16立方米3．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费( )A．60元B．66元C．75元D．78元4．行李托运费用的计算方法：当行李的重量不超过40千克时，每千克收费1元；超过40千克时，超过的部分每千克2元，某旅客托运了x千克的行李．(1)请用x的代数式表示托运行李的费用；(2)当x＝60时，求托运行李的费用．【板块三】方案设计问题◆方法技巧◆1．选择方案时，先列一元一次方程求出两种方案费用相等时，变量的取值，再根据题意，选择合理的方案．2．设计最佳方案时，经常将题目中提供的两种方案结合起来，才能设计出最佳方案．题型一选择购物商场方案【例5】为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格是多少?(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算?【练5】国庆节期间，某地的李老师带领部分生物兴趣小组的同学租用商务车到微山湖湿地公园进行野外生物调查，每张车票原价是30元，甲车车主说：“乘坐我的车可以打折8折(即原价的80%)优惠”．乙车车主说：“乘坐我的车只要超过6人，超过的人数一律按半价收费．”（1）如果李老师带领x(x＞6)名同学去微山湖湿地公园则租用甲车和乙车的费用分别是多少元?（2）如果李老师带领10名同学去微山湖湿地公园，则租用哪辆车比较合算?（3）如果租用甲车和乙车的费用相等，试估算出李老师应带几名同学去(直接写出答案，不必写过程）题型二选择购买门票方高【例6】公园门票价格规定如下表：某校七(1)都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：(1)两班各有多少学生?(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱?(3)如果七(1)班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱?【练6】为庆祝“六一“儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人)准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱?(2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出?(3)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案．题型三设计生产天数方案【例7】一牛奶制品厂现有鲜奶9吨．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1吨鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1吨鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕，假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少?【练7】某公司以每吨600元的价格收购了100吨某种药材，若直拉在市场上销售每吨的售价为1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：(受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕．(1)若全部粗加工，可获利多少元?(2)若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利多少元?(3)若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，可获利多少元?针对练习31.为庆祝文峰商场正式营业三周年，商场推出了两种购物方案.方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠.以x(元)表示商品价格.（1）若按方案一购买，需付款元（用含x的代数式表示），若按方案二购买，需付款元（用含x的代数式表示）；（2）若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱.2.某开发公司生产若干件某种新产品需要加工后才能投放市场.现有甲、乙两个加工厂都想加工这批产品.已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且知单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用120元. （1）求这批新产品共有多少件？（2）若公司董事会制定了如下方案：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成，但在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并由公司为其提供每天5元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由.。

初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——行程问题3（附答案）1．小林沿着笔直的公路靠右匀速行走，发现每隔5分钟从背后驶过一辆101路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆101路公交车．假设每个每辆101路公交车行驶速度相同，而且101路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（）A．3分钟B．3.75分钟C．4分钟D．5分钟2．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（）A．B．C．D．3．小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的速度是70米/分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的二元一次方程组是A．B．C．D．4．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（）A．B．C．D．5．小明郊游时，早上8时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午3时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（）A．28 km B．14km C．7km D．答案不唯一6．甲和乙骑摩托车分别从某大道上相距6000米的A、B两地同时出发，相向而行，匀速行驶一段时间后，到达C地的甲发现摩托车出了故障，立即停下电话通知乙，乙接到电话后立即以出发时速度的43倍向C地匀速骑行，到达C地后，用5分钟修好了甲摩托车，然后乙仍以出发时速度的43倍匀速向终点A地骑行，甲仍以原来速度向B地匀速骑行，2分钟后，发现乙的一件维修工具落在了自己车上，于是立即掉头并以原速度74倍的速度匀速返回（此时乙未到达A地）.在这个过程中，两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（甲与乙打、接电话及掉头时间忽略不计）则当乙到达A地时，甲离A地的距离为________米.7．某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地，快递车若以50公里/小时的速度行驶，会迟到24分钟；若以75公里/小时的速度行驶，可提前24分钟．则甲，乙两地的距离为___．8．一条船顺流航行，每小时航行20千米；逆流航行，每小时航行16千米．设这条轮船在静水中的速度是x千米/时，水流速度是y千米/时，根据题意，得方程组：______．9．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差_____分钟．10．某铁路桥长1750m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了80s，整列火车完全在桥上的时间共60s；火车的长度为________________. 11．小亮和小花约定周六早晨在一直线公路AB上进行（A→B→A）往返跑训练，两人同时从A点出发，小亮以较快的速度匀速跑到点B休息1分钟后立即原速跑回A点，小花先匀速慢跑了5分钟后，把速度提高到原来的53倍，又经过6分钟后超越了小亮一段距离，小花又将速度降低到出发时的速度，并以这一速度匀速跑到B点看到休息的小亮，然后立即以出发时的速度跑回A点．若两人之间的距离记为y（米），小花的跑步时间记为x（分），y和x的部分函数关系如图所示，则当小亮回到A点时小花距A点________米．12．已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整个火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是_____. 13．小明和父亲在一直线公路AB上进行（A→B→A）往返跑训练，两人同时从A点出发，父亲以较快的速度匀速跑到点B休息2分钟后立即原速跑回A点，小明先匀速慢跑了3分钟后，把速度提高到原来的43倍，又经过6分钟后超越了父亲一段距离，小明又将速度降低到出发时的速度，并以这一速度匀速跑到B点看到休息的父亲，然后立即以出发时的速度跑回A点，若两人之间的距离记为y（米），小明的跑步时间记为x （分），y和x的部分函数关系如图所示，则当父亲回到A点时小明距A点______米．14．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次.则甲每分钟跑_____圈.15．某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8:10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头.走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进.到达码头时已经比原计划迟到了20min.已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为____min.16．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：（1）小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点，他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给滴滴快车的乘车费相同（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算两人各自的实际乘车时间.17．小刚和小亮两人骑自行车，在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒就相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个人的速度各是多少？18．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机．（1）在这个问题中，1小时20分＝小时；（2）相向而行时，汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程；（3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？19．某铁路桥长1800m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用25s，整列高铁在桥上的时间是20s，试求此列高铁的车速和车长. 20．科学考察队的一辆越野车需要穿越一片沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能行驶600km，队长想出一个方法，在沙漠中设若干个储油点（越野车穿越出沙漠，就可以另外加油）.（1）如果穿越全程大于600km的沙漠，在沙漠中设一个储油点A，越野车装满油从起点S出发，到储油点A时从车中取出部分油放进A储油点，然后返回出发点，加满油后再开往A，到A储油点时，取出储存的所有油放在车上，再从A出发到达终点，此时，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少km？（2）如果穿越全程大于600km的沙漠，在沙漠中设2个储油点A，B，越野车装满油从起点S出发，到储油点A时从车中取出部分油放进A储油点；然后返回出发点S加满油，到储油点A时取出储油点A的全部油放到车上，再到达储油点B，从车中取出部分油放进B储油点；然后返回出发点S加满油，到B储油点取出储存的所有油放在车上，最后到达终点.此时，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少km？21．某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时.原路返回时，以每小时6千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了3.5小时.问平路和坡路的路程各多少千来？22．如图为地铁调价后的计价表．调价后小明、小伟从家到学校乘地铁分别需要4元和3元．由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元．已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校的里程多5 km，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米．23．如图①所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，假设列车匀速行驶．如图②表示列车离乙地路程y（千米）与列车从甲出发后行驶时间x（小时）之间的函数关系图像．（1）甲、丙两地间的路程为千米；（2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当行驶时间x在什么范围时，高速列车离乙地的路程不超过100千米．24．甲.乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问大客车每小时行多少千米？小轿车每小时行多少千米？A B C D四个车站的位置如图所示.25．己知,,,(1)求,A D两站之间的距离;(用含,a b的代数式表示)(2)一辆汽车从A站出发，每小时行驶60千米，经过B站到达C站(在B站没有停留).所用时间为1.5小时.汽车在C站短暂停留后，继续以相同速度行驶，再行驶2小时到达D站，求,a b的值以及汽车从B站行驶到C站一共用了多少小时?参考答案1．B【解析】【分析】设同向行驶的相邻两车的距离及车、小林的速度为未知数，等量关系为：5×车速-5×小林的速度=同向行驶的相邻两车的距离；3×车速+3×小林的速度=同向行驶的相邻两车的距离；把相关数值代入可得同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除可得所求时间．【详解】设101路公交车的速度是x米/分，小林行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米.每隔5分钟从背后驶过一辆101路公交车，则5x−5y=s.①每隔3分钟从迎面驶来一辆101路公交车，则3x+3y=s.②由①,②可得s=308x,所以sx=308=3.75，即101路公交车总站发车间隔的时间是3.75分钟.故答案选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用. 2．C【解析】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意得：．故选C．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系再列出方程．3．D【解析】试题分析：由他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，根据关键语句“到学校共用时20分钟”可得方程：x+y=20，根据关键语句“骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分．他家离学校的距离是3350米”可得方程：200x+70y=3350，两个方程组合可得方程组：。

一、数字问题1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9，如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。

2、一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。

二、利润问题1、“五一”黄金周，人民商场女装部推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客买了一套女装和一套男装，优惠前需付700元，而他实际付款580元。

问男装、女装原价各是多少元？2、某商场欲购甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率为20%；乙种商品进价为20元，利润率为15%，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？三、配套问题1、某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？2、一张桌子由桌面和四条腿组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌腿300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌腿配套？3、某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲零件12个或乙零件23个，应分配多少人生产甲零件，多少人生产乙零件，才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套？（每3个甲零件和2个乙零件配成一套）4、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身16个，或制作盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。

现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？5、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，先计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？四、行程问题1、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米。

若甲、乙两人同时向东走30分钟，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇，问甲乙两人的速度分别是多少？2、甲、乙两人骑自行车从相距34.5km 的两地相向出发，在甲走了1.5h ，乙走了2h 后相遇；第二次他们同时从两地相向出发，经过45h ，两个还相距9.5km 。

第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。

二元一次方程组应用题（一）1、两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？解法一：解：设第一车间计划每月生产x台，第二车间计划每月生产y台。

解法二：解：设上个月第一车间生产x台，第二车间生产y台。

2、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的工程由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元；若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，选甲公司还是选已公司？请说明理由。

3、某水果批发市场批发香蕉的价格如下表所示：张倩两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次）共付264元，则张倩第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？4、某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出旅游，如果每辆车乘坐22人，就会余下一人；如果开走一辆车，那么所有师生刚好平均分乘余下的车辆。

问原先去租多少辆客车和学校师生共有多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）- 1 -- 2 -5、一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房7间，如果每个房间都注满，那么共有多少租房方案？5、羊圈里白羊的只数比黑羊的脚数少2，黑羊的只数比白羊的脚数少187，则白羊与黑羊各有多少只？．6、小明到商店买东西，下面是他和售货员阿姨的对话：“我买这种牙膏3支，这种牙刷5把”．“一共15元6角”．付款后，小明说：“阿姨，这支牙膏我不要了，换一把牙刷吧！”“还需找你2元”．从他们的对话中你能知道牙刷、牙膏的单价吗？7、如图，周长为68cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的长方形，求长方形ABCD 的长和宽．8、长沙市某公园的门票价格如下表所示：某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？9、两个水池共贮水40吨，如果甲池再注进水4吨，乙池再注进水8吨，则两池的水一样多，那么两池原来有水分别为多少吨？10、用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子少了3尺，求这根绳子长．11、古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）12、已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数。