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第3讲定积分与微积分基本定理1.设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分∫()baf x dx的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对【答案】 A【解析】由∫()baf x dx的几何意义及f(x)>0,可知∫()baf x dx表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积.∴∫()baf x dx>0.2. ∫22ππ-(1+cosx)dx等于( )A.πB.2C.π-2D.π+2【答案】 D【解析】∫22ππ-(1+cosx)dx=(x+sinx)| 22ππ-2(π=+sin22)[ππ--+sin2()]2π-=+π.3.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( )A. ∫()caf x dx B.| ∫()caf x dx|C. ∫()baf x dx+∫()cbf x dx D. ∫()cbf x dx-∫()baf x dx【答案】 D【解析】由定积分的几何意义知选项D正确.4.(2012山东荷泽模拟)设函数()mf x x ax=+的导函数f′(x)=2x+1,则∫21()f x-dx的值等于( )A.56B.12C.23D.16【答案】 A【解析】由于()mf x x ax=+的导函数为f′(x)=2x+1,所以2()f x x x=+,于是∫21()f x-dx=∫221()x x-dx=313(x-212)x|2516=.5.直线y=2x+3与抛物线2y x=所围成的图形面积为 .【答案】 323【解析】 由 223y xy x =+,⎧⎨=,⎩得1213x x =-,=. ∴面积S=∫31(23)x -+dx-∫321x -dx2(3)x x =+|33113x --|33213-=.1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2 【答案】 D【解析】 ∫412x dx=lnx|42=ln4-ln2=ln2.2.(2011福建高考,理5) ∫10(e 2)xx +dx 等于( ) A.1B.e-1C.eD.e+1【答案】 C【解析】 ∵被积函数e 2xx +的一个原函数为e 2xx +,∴∫10(e 2)x x +dx=(e 2)x x +|10(=e 121)(+-e 0+0)= e.3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩ 则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23D.43【答案】 D【解析】 ∫11()f x -dx=∫021x -dx+∫101dx 313x =|01x -+|10 14331=+=.4.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B.1C.2D.12【答案】 A【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为1211S=⨯⨯+∫2πcosxdx12=+sinx|2π12=+sin2π-sin032=.5.函数y=∫(xx-cos22)t t++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】 A【解析】 y=(sin332)tt t++|2xx-=sin3234xx x++,为奇函数.6.(2011湖南高考,理6)由直线33x x yππ=-,=,=与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1C.32D.3【答案】 D【解析】结合图形可得:S=∫33ππ-cosxdx=sin x|33ππ-=sin3π-sin3()3π-=7.由曲线32y x y x=,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712【答案】 A【解析】因为2y x=与3y x=的交点为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为∫12x dx-∫13x d313x x=|1414x-|11113412=-=,选A.8.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】 32-ln2【解析】 S=∫211()x x -d 212(x x =-lnx)|2312=-ln2. 9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .【答案】 -2【解析】 ∵∫20()f x dx=∫10()f x dx+∫21()f x dx, ∴∫21()f x dx=∫20()f x dx-∫10()f x dx=-1-1=-2.10.由曲线2y x =和直线x=0,x=1,y=2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .【答案】 14【解析】 围成图形的阴影部分的面积3S t =-∫20t x dx+∫12t x dx 2324133(1)t t t t --=-+.令S′2420t t =-=,解得12t =或t=0(舍去).可判断当12t =时S 最小1min 4S ,=.11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx;(2) ∫3212(xx dx;(3) ∫3π(sinx-sin2x)dx.【解】 (1) ∫2211(2)x x -d 323(x x =-lnx)|21163=-ln 214332-=-ln2.(2) ∫3212(xx dx=∫312(2)x x ++dx212(x =+lnx+2x)|3292(=+ln3+6)-(2+ln2+4)=ln 3922+.(3) ∫3π (sinx-sin2x)dx=(-cos 12x +cos2x)| 3π11112424()(1)=----+=-.12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫10()f x dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0, 得 20a b c b -+=,⎧⎨=⎩ 即 20c a b =-,⎧⎨=.⎩∴2()(2)f x ax a =+-.又∫10()f x dx=∫120[(2)]ax a +-dx 313[(2)]ax a x =+-|120322a =-=-. ∴a=6,c=-4.从而2()64f x x =-. (2)∵2()64[11]f x x x =-,∈-,, ∴当x=0时min ()4f x ,=-; 当1x =±时,max ()2f x =n .13.如图所示,直线y=kx 分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解】 抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标为1201x x =,=, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=∫120()x x -d 23123()x x x =-|1106=.又由 2y x x y kx ⎧=-,⎨=,⎩ 可得抛物线2y x x =-与y=kx 两交点的横坐标为3401x x k =,=-,所以,2S =∫120()k x x kx ---d 231123()k x x x -=-|13106(1)k k -=-.又知16S =,所以312(1)k -=,于是31324112k ==-.14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】 如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =,代入(2,2)得2p=2,∴22x y =.将点(x,1.5)代入22x y =得3x =,∴水的横断面的面积为S=33-(1.2125)x -dx=(1.3165)x x -33-23=.∴水的横断面的面积为23.。
§3.3 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1] ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 题组三 易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.6．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.题型一 定积分的计算1．(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23. 2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.3．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积典例 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6. 两切线交于点M ⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是 S ＝33222302[(43)(43)]d [(26)(43)]d x x x x x x x x ---+-+-+--+-⎰⎰33222302d (69)d x x x x x =+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94.题型三 定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.2．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( ) A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B.3.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.4．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 6．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 7．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝221201()|()|22x x x x -+-＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝243[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.9．π)d 4x x += ________.答案 2解析 由题意得π)d 4x x +＝ππ220(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33a x x a a ==-=⎰解得a ＝49.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积 31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A.14．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.15．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 答案 π2＋e －1e－2 解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2. 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝4320()|4x x ＝－4.。
3.3定积分与微积分基本定理（复习设计）【知识梳理】 1．定积分的概念在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．概念方法微思考ʃb a f (x )d x 是否总等于曲线f (x )和直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积？提示 不是．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1]ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积， ∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4.4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是______ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 题组三 易错自纠5.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3 D ．2答案 B解析 所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 220＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝611122()d 2d t t t t ⎰⎰＝＋v ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝⎪⎪⎪t 2|112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.7．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 答案 2解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝π2⎰(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )π20|＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 题型一 定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ； (3)ʃ20|1－x |d x ；(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)ʃ1－1e |x |d x ；(6)若ʃ10(x 2＋mx )d x ＝0，求m .解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝⎪⎪x 3321＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x ＝ | |(－cos x )π0－sin x π0＝2.(3)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝⎪⎪⎪⎪12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝ | |－e－x0－1＋e x 1＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.(6)∵ʃ10(x 2＋mx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33＋m 2x 21＝13＋m 2＝0，∴m ＝－23.思维升华 计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例1 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则ʃ2－1f (x )d x 的值为________．答案 π2＋43解析 根据定积分性质可得ʃ2－1f (x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x 2d x ＝π2， ∴ʃ2－1f (x )d x ＝π2＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝π2＋43. 命题点2 求平面图形的面积例2 (1)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案 2ln 2－12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2x －x ＋1d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2ln x －12x 2＋x 21 ＝(2ln 2－2＋2)－⎝⎛⎭⎫0－12＋1＝2ln 2－12.(2)曲线y ＝14x 2和曲线在点(2,1)处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 设曲线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线为l ，∵y ′＝12x ，∴直线l 的斜率k ＝y ′|x ＝2＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 当y ＝0时，x －1＝0，即x ＝1， 所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S ＝ʃ2014x 2d x －12×1×1 ＝⎪⎪112x 320－12＝16.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练1 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)(2018·郑州模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 23－2π3解析 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝5π6π6⎰(2sin x －1)d x＝(－2cos x －x)5π6π62π|.3=-题型三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________ m. 答案 4＋25ln 5解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃbaF (x )d x .跟踪训练2 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433， 所以F (x )做的功为43 3 J.【课时作业】1．ʃ10(1－x )d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 C解析 ʃ10(1－x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＝12. 2．ʃ2π0|sin x |d x 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 ʃ2π0|sin x |d x ＝2ʃπ0sin x d x ＝2(－cos x )|π0＝2×(1＋1)＝4. 3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝⎪⎪π2＋12x 21－1＝π2. 故选B.4．(2018·大连双基测试)π2⎰sin 2x2d x 等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析π2⎰sin 2x2d x ＝π2⎰1－cos x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x π20|＝π4－12. 5．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2(舍负)．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝⎪⎪13x 310＋ln x |e1＝13＋1＝43.故选A. 7．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x 0－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 10＝－13－23 ＝－1，故选D.9．ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝________. 答案 ln 2＋2ln 2 解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫ln x ＋2x ln 221＝ln 2＋4ln 2－2ln 2＝ln 2＋2ln 2.10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3 解析 所求面积S ＝π3π3-⎰cos x d x ＝sin x π3π3|-＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 封闭图形如图所示，则ʃa 0x d x=2332x |a 0＝2332a －0＝a 2，解得a ＝49. 12．(2018·郑州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝ax 2＋b ，ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，∴ʃ30(ax 2＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，∴x 20＝3，x 0>0，∴x 0＝ 3.。
