高中数学第一章立体几何初步章末复习课课件北师大版必修2

正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345
1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B
∴平面ABC⊥平面SBC.
题型一 题型二 题型三
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HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
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UITANGYANLIAN
方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
(3)如图所示,α∩β=l,a⫋α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b⫋β,错误. 答案:(1)(2)
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图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．

又平面 EFGH∩平面 BCD＝FG， ∴BC∥FG，∴FG∥EH. 同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形． ∵AD⊥平面 BCD，∴AD⊥BC. ∴EF⊥FG，∴四边形 EFGH 是矩形．
2．已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正 确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n α，则 m⊥n
C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
解析：若直线与平面垂直，则直线与该平面内的任意一条直 线都垂直．
答案：B
3．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则
∴平面 BDE⊥平面 PAC.
(3)∵PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， ∴PA∥DE. ∵D 为 AC 的中点， ∴DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 ABC. ∴三棱锥 E－BCD 的体积 V＝16BD·DC·DE＝13.
对于规则几何体的表面积和体积问题，可直接利用公式求 解．在求解时首先判断几何体的形状及结构特征，确定基本量， 然后选择公式求解．复杂几何体可通过分割，补形，变换底面等 方式转化为基本几何体求解．
【答案】 (1)B (2)B
立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理较多， 应熟练掌握这些定理，要明确它们之间并不是彼此孤立的，做题 时要充分运用它们之间的联系，转化与化归思想是本部分内容常 用的思想，往往通过作辅助线或辅助平面达到转化的目的．
(2017·北京卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC， PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．

4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90° ； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
明朗化的立体几何问题．
[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； m、n α，m∩n＝A ⇒l⊥α； (2)判定定理 1： l⊥m，l⊥n (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.

栏目 导引
第一章 立体几何初步
因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以点 O 是 BD 的中点． 又点 E 是 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 PB⊆/ 平面 AEC，EO 平面 AEC， 所以 PB∥平面 AEC.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形， 在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正 好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
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第一章 立体几何初步
画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面 的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几 何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到 的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高， 左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．
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第一章 立体几何初步
[解] (1)证明：由已知得 AM＝23AD＝2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC， TN＝12BC＝2.
又 AD∥BC，故 TN∥═ AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于
是 MN∥AT.
因为 AT 平面 PAB，MN⃘平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
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第一章 立体几何初步
(2016·高考全国卷丙)如图，四棱 锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥ BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积．
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第一章 立体几何初步
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE，由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE ＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝ 2 5. 所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM＝13×S△BCM×P2A＝435.

向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
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向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
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混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质

易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF. ∵HD1 平面 BDF，BF 平面 BDF， ∴HD1∥平面 BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.
• 要点三 空间中的垂直关系
• 空间垂直关系的判定方法：
• (1)判定线线垂直的方法：
• ①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所 成的角)；
•(2)画几何体的高
•在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观 图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中 平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变．
• 4．空间几何体的三视图
• 空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种 投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面 图形的形状和大小是全等的，三视图包括主视图、 左视图、俯视图．
• (3)如果圆台的两底面半径分别为r′、r，母线 长为l，则侧面积为π(r′＋r)l，表面积为
• S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
• (4)球的表面积公式：S＝4πR2(其中R为球的半 径)即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
11．几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V 柱体＝Sh(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱＝πr2h. (2)锥体的体积 V 锥体＝13Sh(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h. (3)台体的体积 V 台体＝13h(S＋ SS′＋S′)(其中 S′，S 分别是台 体上、下底面的面积，h 为高)．
• 求证：(1)GE∥平面BB1D1D； • (2)平面BDF∥平面B1D1H.

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( B )
A．平面DD1C1C
B．平面A1B1CD
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解 析 ： 由 于 易 证 BC1 ⊥ B1C ， 又 CD⊥ 平 面 BCC1B1 ， 所 以
CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
1．问题导航 (1)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否 也和这个平面垂直呢？ (2)在作二面角的平面角时，它的大小与在棱上所选点的位置 有关吗？ (3)过平面 α 的一条垂线可以作多少个平面与已知平面垂直？
2．例题导读 P38例2.通过本例学习，学会证明面面垂直的常用方法．解答 本例过程中，证明BC⊥平面PAC时，一是要注意PA与AC相 交；二是利用PA⊥α推出PA⊥BC，即BC是“被垂直”.

3．已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直 的平面有( D )
A．1 对 C．3 对
B．2 对 D．5 对
解析：因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB，同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD，共 5 对．故选 D.
2．对面面垂直的判定定理的两点说明 (1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平 面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线， 即证“线面垂直”． (2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的 依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．

∴OM= (√2)2 + 1 = √3,即球的半径为√3,
4
∴V=3π(√3)3=4√3π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)由题知△SAC,△SAB,△SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图
所示.
1
3
3
所以 OB=OA=2SC=OS=OC=2,即球 O 的半径为2,
所以球 O 的表面积为 S=4π×
内注入水并且放入一个半径为 3√225 的铁球,这时水面恰好和球面
相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?
分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面降
落,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:设△PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面
答案:(1)4√3π (2)9π
3 2
2
=9π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算
半径的关键是寻找球心的位置.
2.当球的半径增加为本来的2倍时,球的表面积增加为本来的4倍,
球的体积增加为本来的8倍.
3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,
4
解析:球的半径为 3,S 球=4π×32=36π;V 球= π×33=36π.
3
答案:D
名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的
表面积、体积的关键是求出球的半径.
2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,
即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
北师大版高中数学必修二第一章《立 体几何初步》整合课件
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。

56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿