北师大版九年级数学下册1.6 利用三角函数测高(含答案)

1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40 mmD. 160 m2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;（3）量出测倾器的高度AC＝h。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》填空专项练习题（附答案）1．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里．（结果保留根号）3．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C的距离是海里（结果保留根号）．4．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．5．如图，城中有一高层建筑物A，一辆汽车在一条东西方向的笔直公路上由西向东行驶，在点B处测得建筑物A位于它的东北方向，此时汽车与建筑物相距2公里，继续行驶至点D处，测得建筑物A在它的北偏西60°方向，此时汽车与建筑物距离AD为公里．6．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为米．7．如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里/小时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是海里．8．如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东60°，则船行驶的路程约为．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73，≈2.45）9．一艘轮船以15千米时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向；继续航行一小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．11．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．12．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶海里．13．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B 点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为m．14．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小雅同学在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，她沿着河岸向东步行60米后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，则河面的宽度是米．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．16．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为km．18．如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于米．19．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为海里．21．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．22．如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100米到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是米．（结果保留根号）23．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离千米．24．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为km．参考答案1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x米，在Rt△APC中，∠APC＝30°，∴AC＝PC•tan30°＝x（米），在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，∴BC＝CP•tan60°＝x（米），∵AB＝200米，∴AC+BC＝200，∴x+x＝200，∴x＝50≈87，∴PC＝87米，∴点P到赛道AB的距离约为87米，故答案为：87．2．解：作BD⊥AC于点D．∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cos C＝，∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，则BC＝BD＝20（海里）．故答案为：20．3．解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB＝90°，由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5+5，∴x＝×（5+5）＝5+5，即AC＝（5+5）海里，故答案为：（5+5）．4．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小岛A到航线BC的距离是6海里，故答案为：6．5．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，根据题意可知，∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝2公里，在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（公里），在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝2（公里），即此时汽车与建筑物距离AD为2公里．故答案为：2．6．解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACB＝∠CAD，∴BC＝AB＝20米，在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，∴CD＝BC•cos∠BCD＝20×＝10（米），故答案为：10．7．解：连接AB幷延长，如图，由题意得：AB＝12×＝20（海里），∵从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，∴∠CAB＝34°，∠ACB＝68°﹣34°＝34°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝20海里，即小岛B处到灯塔C的距离是20海里，故答案为：20．8．解：作AD⊥BC于D，则∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AD＝AB＝10，CD＝AD＝10，∴BC＝BD+CD＝10+10≈39（km）；故答案为：39km．9．解：如图，由题意得，AB＝15千米，∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，设CD＝x千米，则AD＝（x+15）千米，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD，即15+x＝x，解得x＝（千米），即CD＝BD＝千米，需要的时间为：÷15＝（时），答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．11．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．12．解：设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可知：∠BAD＝30°，∠C＝15°，∴∠BED＝30°，∴AD＝DE＝x，CE＝BE＝AB＝2x，∴AD+DE+CE＝60，即x+x+2x＝60，解得x＝15（﹣1）（海里）．答：甲船每小时行驶15（﹣1）海里．故答案为：15（﹣1）．13．解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，∴∠ABE＝∠BAF＝53°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，∴AC＝＝＝500（m），即A，C两点之间的距离为500m，故答案为：500．14．解：如图，过A作AD⊥BC于D，由题意可知：BC＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60（米）．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．即这条河的宽度为30米，故答案为：30．15．解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB＝60海里，BC＝3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AQ＝AB＝30，BQ＝AQ＝30，在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝30，∴BC＝30+30＝3x，解得：x＝10+10（海里/时）．即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；故答案为：10+10．16．解：如图，过C作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym，在Rt△ECB中，tan53°＝≈，即≈①，在Rt△AEC中，tan37°＝≈，即≈②，由①②得：x＝120，y＝90，∴EC＝120m，BE＝90m，∴AE＝70+90＝160（m），∴AC＝＝＝200（m），故答案为：200．17．解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OA sin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OA cos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD+BD＝2+2（km），故答案为：（2+2）．18．解：如图，过点B作BC⊥OA于C，在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝4（米）．在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝BC＝（米），∴AO＝AC+CO＝（4+）米，故答案为：（4+）．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点，∴AC＝40×＝20（海里），∵∠A＝45°，∠BCE＝75°，∴∠B＝∠BCE﹣∠A＝30°，∵CD＝AC sin45°＝20×＝10（海里），∴BC＝2CD＝20≈28.3（海里），即此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里，故答案为：28.3．20．解：在Rt△P AB中，∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），∴PC＝2×30×＝60（海里），故答案为：60．21．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．22．解：设CD＝x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD＝CD＝x米，BD＝CD＝x米，∵AD+BD＝AB＝100米，∴x+x＝100，解得：x＝150﹣50，即河宽CD是（150﹣50）米，故答案为：（150﹣50）．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝4，sin∠BAD＝，∴BD＝AB•sin∠BAD＝4×＝2（千米），在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBD＝∠C，∴CD＝BD＝2千米，∴BC2＝BD2+CD2＝（2）2+（2）2＝24，∴BC＝2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米，故答案为：2．24．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝15（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝5（km），∴AC＝AE+CE＝（15+5）km，∴A，C两港之间的距离为（15+5）km，故答案为：（15+5）．。

6 利用三角函数测高1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5 m ，AB 为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的高度)，那么这棵树高( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫533＋32mB.⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋32m C.533 m D ．4 m2．如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD ，EF .一天，他在A 处测得树顶D 的仰角∠DAC ＝30°，在B 处测得树顶F 的仰角∠FBE ＝45°，线段BF 恰好经过树顶D .已知A ，B 两处的距离为2 m ，两棵树之间的距离CE ＝3 m ，A ，B ，C ，E 四点在一条直线上，则树EF 的高度约为__5.7__ m ．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4，结果精确到0.1 m)3．如图，某市在城市建设中要拆除旧烟囱AB ，在烟囱正西方向的楼CD 的顶端C ，测得烟囱的顶端A 的仰角为45°，底端B 的俯角为30°，已量得DB ＝21 m ．拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向35 m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：距离烟囱正东方向35 m 远的一棵大树不会被歪倒的烟囱砸到．理由如下：由题意得四边形CDBG 是矩形，∴CG ＝BD ＝21 m ．∵∠GCB ＝30°，∠ACG ＝45°，CG ⊥AB ，∴BG ＝CG ·tan 30°＝21×33＝73(m)，AG ＝CG ·tan 45°＝21×1＝21(m)， ∴AB ＝AG ＋GB ＝21＋73≈21＋7×1.73＝33.11(m)． ∵33.11<35，∴距离烟囱正东方向35 m 远的一棵大树不会被歪倒的烟囱砸到．4．(2019·吉林长春模拟)当地时间2019年4月15日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶B 的高度，在地面选取了与塔底D 共线的两点A ，C ，点A ，C 在D 的同侧，在A 处测量塔顶B 的仰角为27°，在C 处测量塔顶B 的仰角为45°，A 到C 的距离是89.5 m ．设BD 的长为x m ，则下列关系式正确的是( A ) A ．tan 27°＝x x ＋89.5 B ．cos 27°＝x x ＋89.5C ．sin 27°＝xx ＋89.5D ．tan 27°＝x ＋89.5x5.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3 m 到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A ，B ，C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC )，则建筑物CD 的高度为__7__m.6．(2018·四川遂宁中考)如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿着坡度为i＝1∶3的坡面AD走了200 m到达D处，此时在D 处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC(结果保留根号)．解：如图，作DF⊥AC于点F.∵i＝DF∶AF＝1∶3，AD＝200，∴tan∠DAF＝3 3，∴∠DAF＝30°，∴DF＝12AD＝12×200＝100.∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100 m．∵∠BAC ＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200.在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BEBD，∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×32＝1003，∴BC＝BE＋EC＝(100＋1003)m.答：山高BC为(100＋1003)m.易错点忽略测倾器的高度7．如图所示，有一名同学用一个含30°角的直角三角尺估测他们学校的旗杆AB的高度．他将30°角的相邻直角边水平放在1.3 m高的支架CD上，三角尺的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D，B两点间的距离为15 m.(1)试求旗杆的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1.732)；(2)请你设计出一种更简便的估测方法．解：(1)如图所示，过点C作CE⊥AB于点E.∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形BDCE是矩形，∴CD＝BE＝1.3 m，BD＝CE＝15 m.在Rt△ACE中，AE＝CE tan 30°＝15×3＝53(m)，3∴AB＝AE＋BE＝53＋1.3≈10.0(m)．故旗杆的高度约为10.0 m.(2)∵旗杆底部可以到达，∴使用含45°角的直角三角尺进行测量更简便．8．(2019·重庆中考A卷)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26 m，在距山脚点A水平距离6 m的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(C) (参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11)A．17.0 m B．21.9 m C．23.3 m D．33.3 m第8题图第9题图9．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m 的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为__7.2__m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)10．某校九年级某班开展数学活动，如图，小明和小军合作用一副三角板代替测倾器测量学校旗杆的高度，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6 m，小明的身高(AB)1.5 m，小军的身高(CD)1.75 m，求旗杆的高EF(结果精确到0.1 m)．解：过点A作AM⊥EF交EF于点M，过点C作CN⊥EF交EF于点N，如图所示．∴四边形ABFM、四边形CDFN都是矩形，∴MN＝NF－MF＝CD－AB＝1.75－1.5＝0.25(m)．∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME.设AM＝ME＝x m，则CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m.∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝ENCN＝x－0.25x＋6＝33，解得x ≈8.8.∴EF ＝EM ＋MF ≈8.8＋1.5＝10.3(m)． ∴旗杆的高EF 为10.3 m.11．如图，小山上有一棵树．现有测倾器和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB .要求： (1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)根据(2)中的数据计算AB .解：(1)测量图案(示意图)如图所示． (2)测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测倾器，测得此时树顶端A 的仰角∠AHE ＝α； 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C ，D 之间的距离CD ＝m ； 第三步：在点D 安装测倾器，测得此时树顶端A 的仰角∠AFE ＝β； 第四步：用皮尺测出测倾器的高h .(3)计算：令AE ＝x ，则tan α＝x HE ，得HE ＝xtan α. 又tan β＝x EF ，得EF ＝xtan β.∵HE －FE ＝HF ＝CD ＝m ，∴x tan α－xtan β＝m ， 解得x ＝m tan α·tan βtan β－tan α，∴AB ＝m tan α·tan βtan β－tan α＋h .。

1.6 利用三角函数测高同步练习一、单选题1、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A、B、3C、D、以上的答案都不对2、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A、20米B、米C、米D、米3、如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为( )A、3米B、4.5米C、6米D、8米4、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长为10米，斜坡AB的坡度i＝1：，则河堤高BE等于( )米A、B、C、4D、55、.某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A、7mB、9mC、12mD、15m6、某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC 的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A、8B、9C、10D、127、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30度的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（）A、米B、C、40米D、10米8、如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A、5cosaB、C、5sinaD、9、如图, 山坡AC与水平面AB成30°的角，沿山坡AC每往上爬100米，则竖直高度上升（）米A、50B、50C、50D、3010、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A、10mB、10mC、15mD、5m11、在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，=，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为（）A、2400米B、2400米C、2500米D、2500米12、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC 为（）米．A、7tanαB、C、7sinαD、7cosα13、如图，C．D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（）A、2kmB、3kmC、kmD、3km14、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为（）A、55mB、60mC、65mD、70m15、济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A、47mB、51mC、53mD、54m二、填空题16、如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠ B的正切值为________．17、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________ 海里．（结果保留根号）18、如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=________ m（结果保留根号）．19、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为________ m ．（≈1.7）20、活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________三、解答题21、水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD坡比为1:1.5，坝顶宽DC=2米，坝高4米，求：（1）坝底AB的长；（2）迎水坡BC的坡比.22、小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45° ．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)25、在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）答案部分一、单选题1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】A11、【答案】D 12、【答案】A 13、【答案】B 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】4018、【答案】（4+ ）19、【答案】32.4 20、【答案】三、解答题21、【答案】解：（1）如图，作CF⊥AB，DE⊥AD，垂足分别为点F，E. ∴四边形CDEF是矩形．∴CF=DE=4，EF=CD=2.∴BF=CFcot30°=，AE=1.5DE=6.∴AB=BF+EF+AE=+2+6=+8（2）∵CF=4，BF=，∴迎水坡BC的坡比为：CF/BF=.22、【答案】解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，∴∠DAF=30°，∴AF=DF=10，在Rt△FGA中，AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，∴AB=1.5+5 ．答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=B D-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（4）2，x=4．答：河床面的宽减少了4米．25、【答案】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．。

北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）A．50B．51C．50+1D．1012．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A 处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）A．100m B．50m C．50m D．m3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（ ）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里4．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）A．20米B．米C．米D．米5．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地（ ）A．m B．100m C．150m D．m6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）A．82米B．163米C．52米D．30米7．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．10．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米．12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）14．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）15．军方派出搜救船在失事海域搜寻飞机残骸和黑匣子（如图）．在海面A处搜救船测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续直线航行2千米后再次在B处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底C处距离海面的深度？（参考数据：）16．如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．（1）用含α、β和m的式子表示h；（2）当α＝45°，β＝60°，m＝50米时，求h的值．（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）17．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2021米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）18．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．19．如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A 点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）21．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A 处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．（参考数据＝1.732）22．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．23．某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD 向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）24．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB．（保留根号）25．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案1．解：设AG＝x米，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x（m），在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x（m），∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝（50+1）米．故选：C．2．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故选：A．3．解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，故CP＝AP＝40（海里），则PB＝＝40（海里）．故选：A．4．解：∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，则BC＝AB tan∠BAC＝30×＝10米．如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，则FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故选：A．5．解：AD＝AB•sin60°＝50；BD＝AB•cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故选：D．6．解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB＝＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD﹣BC＝（﹣1）x＝60，解得x≈82．故选：A．7．解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB•tan30°＝30×＝10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．8．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）．故答案为：750．9．解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．故答案为：12．10．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝50m．∴DC＝BD•sin60°＝50×＝43.3．故答案为：43.3．11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE＝CD＝6米，AC＝DE．设BE＝x米．在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝x米，∴AC＝DE＝x米．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝×x＝3x米，∵AB﹣BE＝AE，∴3x﹣x＝6，∴x＝3，AB＝3×3＝9（米）．即旗杆AB的高度为9米．故答案为9．12．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．13．解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，∵在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE+BE＝x+x＝100（3+），解得x＝100，∴AC＝2x＝200．在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得y＝100（3﹣），∴AD＝2y＝200（3﹣）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；（2）∵由（1）可知，DF＝AF＝×100（3﹣）≈219．∵219＞200，∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．14．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CD tan∠ACD＝1000米，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD tan∠BCD＝3000米，∴AB＝BD﹣AD＝2000米．答：此时渔政船和渔船相距2000米．15．解：过C作CD垂直AB于D点，设CD为x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，AC＝CD＝2x，AD ＝AB+CD＝2+x，∴在Rt△ACD中有：（2+x）2+x2＝（2x）2，∴（舍去）．答：海底C处距海面2.732千米．16．解：（1）在Rt△ABC中，有BC＝AB÷tanα＝；同理：在Rt△ABD中，有BD＝AB÷tanβ＝；且CD＝BC﹣BD＝m；即﹣＝m；故h＝，（2）将α＝45°，β＝60°，m＝50米，代入（1）中关系式可得h＝，＝，＝75米+25米，≈118.3米．17．解：设CF＝x米，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x米，＝tan30°，即AC＝x米，∵AC﹣BC＝1200米，∴x﹣x＝1200，解得：x＝600（+1），则DF＝h﹣x＝2021﹣600（+1）≈382（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约382米．18．解：根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴BD＝AD﹣AB＝CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝36°，∴tan36°＝，∴BD＝CD•tan36°，∴CD•tan36°＝CD﹣112，∴CD＝≈≈415（m）．答：天塔的高度CD约为：415m．19．解：根据题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝200米，CD⊥AB，则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，则BC＝AB＝200米，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝200×＝100（米）．答：河宽CD为100米．20．解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，3x＝（x+100），解得x＝50+50＝136.6，∴CD＝CE+ED＝136.6+1.5＝138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m．21．解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，∵A在B北偏东60°方向上，∴∠ABD＝30°，又∵A在C北偏东30°方向上，∴∠ACD＝60°又∵∠ABC＝30°，所以∠BAC＝30°，∴∠ABD＝∠BAC，所以AC＝BC∵BC＝120，所以AC＝120在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝120，∴CD＝60，AD＝在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，∴AB＝第一组时间：第二组时间：因为207.84＞150所以第二组先到达A处．答：第二组先到．22．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45度．∴BD＝PD＝x．在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°∴AD＝x∵AD＝AB+BD∴x＝12+x∴x＝∵6（+1）＜18∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．23．解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∠ADE＝60°，CD＝18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴CE＝x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝tan60°＝，∴DE＝x，∵CD＝18，且CE﹣DE＝CD，∴x﹣x＝18，解得：x＝27+9，∵BE＝1米，∴AB＝AE﹣BE＝（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．24．解：设AF＝x；在Rt△AGF中，有GF＝＝x，同理在Rt△AEF中，有EF＝＝x．结合图形可得：GE＝CD＝EF﹣GF＝30即x﹣x＝30，解可得：x＝15；故AB＝15+答：塔高AB为15+米．25．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝x．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝x．∵BD+CD＝BC，∴x+x＝150，∴x＝75（3﹣）≈95．即A点到河岸BC的距离约为95m．。

北师大初中数学九年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！1.6 利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点) 2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】 测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B 处6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，≈31.732)． 解析：由题意可得四边形BCED 是矩形，所以BC ＝DE ，然后在Rt △ACE 中，根据tan ∠AEC ＝，即可求出AC 的长．ACEC解：∵BD ＝CE ＝6m ，∠AEC ＝60°，∴AC ＝CE ·tan60°＝6×≈6×31.732≈10.4(米)，∴AB ＝AC ＋DE ＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB 的高度约为11.9米． 方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少厘米(结果精确到0.1cm ，参考数据：≈1.732)?3解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G .∴四边形BFDG 矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×＝10(cm)．在Rt12△ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×＝15(cm)．∴CE ＝323CF ＋FD ＋DE ＝10＋15＋2＝12＋15≈3337.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB 是1.7m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD 是1.5m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B 、N 、D 在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：≈1.7，结果保3留整数)．解析：过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ，由△AEM 是等腰直角三角形得出AE ＝ME ，设AE ＝ME ＝x m ，根据三角函数列方程求出x 的值即可求解．解：过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ，则EF ＝AB －CD ＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt △AEM 中，∵∠AEM ＝90°，∠MAE ＝45°，∴AE ＝ME .设AE ＝ME ＝x m ，则MF ＝(x ＋0.2)m ，FC ＝(28－x )m.在Rt △MFC 中，∵∠MFC ＝90°，∠MCF ＝30°，∴MF ＝CF ·tan ∠MCF ，∴x ＋0.2＝(28－x )，解得33x ≈10.1，∴MN ＝ME ＋EN ＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN 的高度约为12米． 方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度 2．测量底部不可到达的物体的高度 3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高 .相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6 利用三角函数测高同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60∘方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30∘方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟2. 如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60∘方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A.200米B.2003米C.40033米 D.4002米3. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15∘方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60∘的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A.32kmB.33kmC.4 kmD.(33−3)km4. 一艘观光游船从港口A以北偏东60∘的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37∘方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（）A.1 sin37B.1cos37C.sin37∘D.cos37∘5. 如图，学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A点坐标为（）A.(3, 33)B.(−3, −33)C.(3, −33)D.(−3, 33)6. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60∘方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30∘方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=()米．A.250B.500C.2503D.50037. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60∘方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.123海里B.63海里C.6海里D.43海里8. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45∘和北偏东15∘方向，那么在B处船与小岛M的距离为（）A.20海里B.202海里C.153海里D.203海里9. 如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30∘方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60∘方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A.1小时B.3小时C.2小时D.23小时10. 如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=50∘，则A，B间的距离应为（）A.15sin50∘米B.15tan50∘米C.15tan40∘米D.15cos40∘米二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 一船向东航行，上午9时，在灯塔的西南20海里的B处，上午11时到达这灯塔的正南方向C处，则这船航行的速度是________海里/小时．12. 如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．13. 如图所示，一艘轮船在A处观测到北偏东45∘方向上有一个灯塔B，轮船在正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时后到达C处，又观测到灯塔B在北偏东15∘方向上，则此时轮船与灯塔B相距________海里．（结果保留根号）14. 如图，小华家位于校门北偏东70∘的方向，和校门的直线距离为4km的N处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离NM约为________km．（用科学计算器计算，结果精确到0.01km）．15. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60∘，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为________海里．16. 海滨城市某校九(2)班张华（图5中的A处）与李力（图中的B处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔P的方位角为北偏东60∘、北偏东30∘，此时他们相距800米．(1)∠PBC=________∘．(2)求灯塔P到沿海路的距离（结果用根号表示）17. 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东30∘的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，则港口A与小岛C之间的距离________．(2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1)18. 如图，一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75∘方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为________海里（结果不取近似值）．19. 如图，要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30∘，在C点测得∠BCD=60∘，又测得AC=40米，则小岛B到公路l的距离为________米．20. 如图，点B在点A的北偏西30∘方向，且AB=8km，点C在点B的北偏东60∘方向，且BC=15km，则A到C的距离为________km．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西14.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30∘，且与A相距30km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60∘，且与A相距6km的C处．(1)求该轮船航行的速度；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．22. 胡老师散步途径A，B，C，D四地，如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45∘方向，在B地正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地北偏东75∘方向，B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程（即A→B→C→D的路程）大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7）23.马来西亚航空公司的一架载有239人的波音777−200飞机与管制中心失去联系，我国救援船舰马上开展搜救工作，一艘搜救船与某日上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B（如图），此时测得船和灯塔相距602海里，船以每小时30海里的速度向南偏西24∘的方向航行到C处，这时望见灯塔在船的正北方向（参考数据：sin24∘≈0.4，cos24∘≈0.9）．(1)求几点钟船到达C处；(2)求船到达C处时与灯塔之间的距离．24. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）25. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64∘方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin64∘≈0.90，cos64∘≈0.44，tan64∘≈2.05，2取1.414．26. 一天晚上，小明和爸爸在公园的一块空地上散步，他们从点P出发，沿北偏东60∘步行200米到达点A处，接着向正南方向步行一段时间到达点B处．在点B处掌上电脑观测到出发点P处在北偏西37∘方向上，接着他们沿线段BP路线回到出发点P．求小明和爸爸这次散步共走了多少米？（精确到1米，参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，2≈1.414，3≈1.732）答案1. B2. A3. A4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. B11. 5212. (1+3)小时13. 30214. 1.3715. 116. 6017. 41.0海里18. 20219. 20320. 1721. 解：(1)∵∠1=30∘，∠2=60∘，∴∠BAC=30∘+60∘=90∘，∴△ABC为直角三角形．∵AB=30km，AC=63km，∴BC= AB2+AC2=127(km)．∵1小时20分钟=113小时，∴127÷113=97(km/ℎ)．故该轮船航行的速度为97km/ℎ；(2)能；理由如下：作BR⊥AN于R，作CS⊥AN于S，延长BC交l于T．∵∠2=60∘，∴∠4=90∘−60∘=30∘．∵AC=63，∴CS=12AC=33，AS=3CS=9，又∵∠1=30∘，∴∠3=90∘−30∘=60∘．∵AB=30，∴AR=12AB=15，BR=3AR=153．∵CS // BR，∴△STC∽△RTB，∴ST RT =CSBR，STST+9+15=3153，解得：ST=6．∴AT=6+9=15，又∵AM=14.5km，MN长为1km，∴AN=15.5km，∵14.5<AT<15.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．22. 解：过B作BH⊥AD于H．依题意∠BDH=45∘，∠CBD=75∘，∠BAD=75∘−45∘=30∘．在Rt△BDH中，HD=BH=BD⋅cos45∘=2，在Rt△ABH中，AH=BHtan30=6，AB=BHsin30∘=22，∴AD=AH+HD=6+2．∵∠ABD=180∘−75∘=105∘，∴∠ADC=45∘+60∘=105∘，∴∠ABD=∠ADC．又∠DAB=∠CAD，∴△ABD∽△ADC，∴AD AC =BDCD=ABAD，即6+2AC=2CD=26+2，解得：AC=2+，CD=+1．∴奥运圣火从A地到D地的路程是AC+CD=22+6+3+1≈8(km)．23. 解：(1)延长CB与AD交于点E．∴∠AEB=90∘，∵∠BAE=45∘，AB=602，∴BE=AE=60．根据题意得：∠C=24∘，sin24∘=AEAC，∴AC=150．150÷30=5，所以13点到达C处；(2)在直角三角形ACE中，cos24∘=ECAC，即cos24∘=60+BC150，BC=75．所以船到C处时，船和灯塔的距离是75海里．24. 解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，∵∠CKA=90∘，∠CAK=45∘，∴∠CAK=∠ACK=45∘，∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，∴HD=x−30+10=x−20，在RT△BHD中，∵∠BHD=30∘，∠HBD=30∘，∴tan30∘=HDBH，∴3 3=x−20x，解得x=30+103．∴河的宽度为(30+103)米．25. BP的长为153海里和BA的长为161海里．26. 小明和爸爸这次散步共走了约820米．。