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E
D
C
B
A
立体几何专题复习
热点一：直线与平面所成的角
例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方
形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒
=∠=，3AE =
.
（1）求证：AB ⊥平面BCF ；
（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.
变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC ===
2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,︒如右图.
（1）求证：AE ⊥平面;BDC
（2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.
变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．
(1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角
例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D-AF-E的余弦值．
变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.
(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．
变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．
热点三：无棱二面角
例3．如图三角形BCD 与三角形MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.
（1）求点A 到平面MBC 的距离；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.
变式5：在正方体1111ABCD A B C D -中，1K BB ∈，1M CC ∈，且114BK BB =，13
4
CM CC =． 求：平面AKM 与ABCD 所成角的余弦值．
变式6：如图1111ABCD A B C D -是长方体，AB ＝2，11AA AD ==，求二平面1AB C 与1111A B C D 所成二面角的正切值．
高考试题精选
1．[2014·四川，18] 三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A-NP-M的余弦值．
2．[2014·湖南卷] 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．
3．[2014·江西19] 如图1-6，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
M O
H F
E
D
C B
A 立体几何专题复习 答案
例1.（2014，广二模）
（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，
∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面
ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=
∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.
在Rt △BFC 中，2
2
2
4FB FC BC +==，又FB FC =，得2FB =.
∴2EM =
. ……………3分
在△AME 中，3AE =
，1AM =，2EM =，
∴2
2
2
3AM EM AE +==，
∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分
（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，1
12OH AB =
=. 由（1）知EF ∥AB ，且1
2EF AB =，
∴EF ∥OH ，且EF OH =.
∴四边形EOHF 是平行四边形.
∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分
∵FH BC ⊥，,AB
BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，
∴EO ⊥AO . ……………10分
