《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解：
系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所
示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
22
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
332232 , θθθθθk k =+=
以上两式联立可得：
θθθθ3
22
33232 , k k k k k k +=+=
系统的势能为：
()232323212
332222*********θθθθ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U
利用θωθn
= 和U T =可得： ()()
3232132k k J k k k k k n +++=
ω
1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有
频率。
图E1.4
答案图E1.4
解：
对m 进行受力分析可得：
33x k mg =，即3
3k mg
x =
如图可得：
()()2
2221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==
()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 2122
21212110++=+-+='+=
()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0
3212
2212301
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=+=
则等效弹簧刚度为：
()()2
12322
312
3
212
k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：
()()(
)[
]
222132212
321b
k a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ω
mg b
a a F +=
2
x x 2
1.7 质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图E1.7所
示。确定系统由此产生的自由振动。
图E1.7
答案图E1.7
解：
对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：
21112
1
v m gh m =
，即gh v 21=
对整个系统由动量守恒可得：
()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22
110+=
令2m 引起的静变形为2x ，则有：
22sin kx g m =α，即k
g m x α
sin 22=
令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：
()k
g m m x αsin 2112+=
得：
k
g m x x x α
sin 12120=
-=
则系统的自由振动可表示为：
t x
t x x n n
n ωωωsin cos 00 +
=
其中系统的固有频率为：
2
1m m k
n +=
ω
注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：
t v t x x n n
n ωωωsin cos 0
0-
=
