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《振动力学》习题集(含问题详解)

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《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结

《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
，即
令 引起的静变形为 ，则有：
，即
令 + 引起的静变形为 ，同理有：
得：
则系统的自由振动可表示为：
其中系统的固有频率为：
注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得：
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
和 相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
利用 和 可得：
1.4在图E1.4所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有频率。
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：

振动力学课后答案

振动力学课后答案

1.8 图示为一周期性方波。

（1）将它展成傅里叶级数；（2）比较（1）的级数与例1.1中的级数，你观察到方波相位前移1/4周期时有什么效应？ 解：一个周期内函数P(t)可以表示为()P P t P ⎧=⎨-⎩ 由于区间[0，T]内()P t 关于2T堆成，一周内面积为0，故0a =0。

()2cos t Tn t ta x n tdt T ω+=⎰320223022cos cos cos p n tdt n tdt n tdt πππωωωππωωωωωωπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰322203022sin sin sin p n n n n n n πππωωωππωωωωωωπωωω⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦040Pn π⎧⎪=⎨⎪⎩ ()2sin t Tn t tb x n tdt T ω+=⎰320223022sin sin sin p n tdt n tdt n tdt πππωωωππωωωωωωπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰322203022cos cos cos p n n n n n n πππωωωππωωωωωωπωωω⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎣⎦= 0 ∴图示方波的傅里叶级数展开式为：()11,3,41sin()cos 2nt n n n P P a n t n t nπωωπ===+=∑∑ 0411(cos cos 3cos 5)35P t t t ωωωπ=+++ 比较例1.1，可以得到：相位前移1/4周期后，傅里叶级数的每一项函数由奇函数变为偶函数，但各分量的幅值不变。

320,22322t t t πππωωωππωω<<<<<<n n 为奇数为偶数2.8 求图所示的系统的固有频率，其中钢丝绳的刚度为k 1.滑轮质量忽略不计。

解：对于系统，钢绳等效为弹性系数为k 1的弹簧。

则每个弹簧的变形分别为：11mg k λ=224mg k λ= 334mgk λ=总变形12312344mg mg mgk k k λλλλ=++=++系统等效刚度为： 12323131244e k k k mgk k k k k k k λ==++系统的固有频率为：n ω==2.27 一个有阻尼的弹簧质量系统，质量是10Kg ，弹簧静伸长时1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm 减至0.16cm ，求阻尼系数c 。

振动力学(高教版)部分课后习题答案

振动力学(高教版)部分课后习题答案


3c 1 2a mk 1 c 2m n l 3
l mgl k 0 a a ， 0 2 2ka2 1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于 mg
薄板的阻尼力为 Fd 2Sv ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 T0 ， 在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。
k2 m x1 k1 c1 m c2 k2 x2 k1
c2
k2 x
m x
m
c2 x
c1 x1
x 1 k1 x x1 c1 x
图 E2.1 解：
答案图 E2.1(a)
答案图 E2.1(b)
等价于分别为 x1 和 x2 的响应之和。先考虑 x1 ，此时右端固结，系统等价为图（a） ，受力为图（b） ， 故：
考虑到 x2 t 的影响，则叠加后的 xt 为：
xt
i 1
2
k
Ai ki2 ci2i2 k2 m
2 2 i
1

c c c sin it tg 1 1 2 2i tg 1 i i 2 k1 k2 i m ki c1 c2 i2
ax2 x1 a 2 k1 b 2 k2 mg ab a b2 k1k2
a 2 k1 b 2 k2 1 1 x x0 x3 mg mg 2 k0 a b k1k2 k3
则等效弹簧刚度为：
ke
则固有频率为：
a b2 k1k2k3 2 a 2 k1k3 b 2 k2 k3 a b k1k2

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

振动理论习题答案

振动理论习题答案

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

振动力学习题集

振动力学习题集

例：一等截面简支梁质量不计，长度I =3m , El = 58800 N m 2。

有一质量m=90kg的物块从梁的中点上方 h =10mm 处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自 由振动的固有频率及振幅。

解:("梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数.碣，因此固有(2 )重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为动形状，所得结果误差很小。

如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状， 可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。

插P10匚求考虑梁的质量时，系统的固有频率I 3频率为：•，n48E「\ ml 348 58800= 34.1s 」 90 33女--■"■■si=mgl 348EI390 9.8 3 j38.44 10 m = -8.44 mm48 58800 振幅为V o梁中点的最大位移为 y 。

2" =2h：st2 -'n=*8.442 2 10 8.44 = 15.5mms = A q =15.5 8.44 = 23.9mm瑞利法(Rayleigh 系统形态的某些假设， ):等效质量的计算方法。

应用这种方法时，必须做有关振动过程中 称之为形状函数或振型。

所假设的振型与真实振型存在差异， 相当于对系统附加了某些约束, 增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。

以静变形曲线作为振 例 1.4.1如图示，悬臂梁(棱柱形)自由端处带有重量 mg 设梁的密度为解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为：y W^QIx'—x3) (0zxG)6EI由此可得B端挠度y m二曲3EI33 y2 y233=M “如二仏m厂空「I为梁作用在B点的等效质量140 2 2 140对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同33M = m m = m I14033 -••• B 端总重为：Mg = (m mjg = (m l)g33即使在订不太小的情况下，等效质量空订也可以应用140将结果用于m二0的极端情况(悬臂段的集中质量为零)，mg可有: st33140：：l(上3EI)g所得的振动周期则为: =2■:=2二33订4—g■, 140 3EIg2 二丫3.567： EIy詁⑴勺lx2-x32l3m—y/VI o3X-2dx21解:（"能量法，动能：一旳2如中）2礼)*22 l1取静平衡位置为零势能点："如2｛磴x ）22• )x 21 I 3= ~(k 1 2k2)2h同一情况的精确解为：N *3.515丫 EI（此处参看Timoshenko,工程中的振动问题，P 2 89,式（m ）近似解的误差约为1.5%, 「：：「，故.-.n '，即近似解的周期小于精确解 的周期，固有频率大于精确解的固有频率。

振动习题答案

振动习题答案

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x tx t x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=&xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I MI 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

振动力学习题集含答案

振动力学习题集含答案
图T 2-2答案图T 2-2
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
2.4在图E2.4所示系统中，已知m， ， ， 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4
解：
取坐标轴 和 ，对连接点A列平衡方程：
即：
（1）
对m列运动微分方程：
即：
（2）
由（1），（2）消去 得：
图E2.7
解：
，
s=1时共振，振幅为：
（1）
远离共振点时，振幅为：
（2）
由（2）
由（1）
， ，
故：
2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
图E1.9答案图E1.9
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图E1.12
解：
平面在液体中上下振动时：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
2.9如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

振动力学习题集含答案

振动力学习题集含答案
图答案图
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
，
，
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
其中I为杆关于铰点的转动惯量：

振动力学习题答案

振动力学习题答案

请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。

求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。

k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。

k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。

即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。

振动力学期末考试试题和答案

振动力学期末考试试题和答案

振动力学（试题） 2008一、填空（每空2分）1、设周期振动信号的周期为T，则其傅里叶级数的展开的基频为＿＿＿＿2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子ζ与阻尼系数的关系为＿＿＿3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力0sinp tω作用下系统响应的稳态振动的幅值为＿＿＿4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成＿＿＿比。

5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为＿＿＿＿＿＿6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系＿＿＿＿＿7、写出瑞利商的表达式＿＿＿＿＿＿8、多自由度系统中共存在r个主固有频率，其相应的主振型＿＿＿正交。

9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是否正交？＿＿＿（答是或否）10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿图T-1二、（20分）系统如图T-2所示，杆AB 为刚性、均质，长度为L ,总质量为m ，弹簧刚度为k ，阻尼系数为c 。

求系统的固有频率及阻尼因子。

三、系统如图T-3所示。

求系统的固有频率与主振型。

图T-23图T-3四、五、（20分）简支梁如图T-5所示，弹性模量为E ，质量密度为 ，横截面积为A ，截面惯性矩为J 。

求梁在中央受集中弯矩M 下的响应。

（假设梁的初始状态为零）图T-5答案一、填空（每空2分）1、周期振动信号的周期为T ，则其傅里叶级数的展开的基频为2/T π2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子ζ与阻尼系数的关系为ζ=3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力0sin p t ω作用下系统响应的稳态振动的幅值为0p B k =4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成＿正＿比。

5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为 加权（M,K ）正交：0()()T T i j pi i j M M i j ϕϕ≠⎧=⎨=⎩0()()T Ti j pi i j K K i j ϕϕ≠⎧=⎨=⎩ 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系()()()x H P ωωω=其中21()()H K M i C ωωω-=-+7、写出瑞利商的表达式 ()T T X KXR X X MX=8、多自由度系统中共存在r 个重固有频率，其相应的主振型＿？加权（M,K ）正交。

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

振动力学习题集

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《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn = 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn = 和U T =可得：()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

振动力学参考答案

振动力学参考答案

请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。

求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则 =设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： 其中2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。

k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。

k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。

即为，，2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。

其中、和是mg k δ=δδ324mgh EJ =k 324EJ h "m x kx =-3n 24mh EJ p =2aah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθg h a l ga h l p T n 3π23π2π222===1k 3k 21211k k k k k+='212132k k kk k k ++='4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1J 2J 3J θF sin α2θαFhmgθF三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。

《振动力学》习题集(含答案解析)

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《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

振动力学考题集[]资料讲解

振动力学考题集[]资料讲解

振动力学考题集[]1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。

A. 单摆；B. 质量-弹簧；C. 匀质弹性杆；D. 无质量弹性梁；2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。

A. c1+c2；B. c1c2/(c1+c2)；C. c1-c2；D. c2-c1；3、（）的振动系统存在为0的固有频率。

A. 有未约束自由度；B. 自由度大于0；C. 自由度大于1；D. 自由度无限多；4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。

A. 相同的，且都是质量；B. 相同的，且都是转动惯量；C. 相同的，且都是密度；D. 可以是不同的；5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。

A. 等于；B. 稍大于；C. 稍小于；D. 为0；6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。

A. 为n；B. 为1；C. 大于n；D. 小于n；7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。

A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。

A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。

A. 大于0；B. 等于0；C. 为无穷大；D. 为一常数值；10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。

A. 杆的纵向振动；B. 弦的横向振动；C. 一般无限多自由度系统；D. 梁的横向振动；11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。

A. k1+k2；B. k1k2/(k1+k2)；C. k1-k2；D. k2-k1；12、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Ku(s)的值一定（）。

《振动力学》习题集(含标准答案)

《振动力学》习题集(含标准答案)

《振动力学》习题集(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T &&+=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T &&&+=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω=&和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ωml m 1 x1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ&&&mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn =&和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ωkk A Ca R θ1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解： 系统的动能为：221θ&J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn =&和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ωkk 2 kJ1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

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《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

求固有频率。

图E1.4答案图E1.4解：对m 进行受力分析可得：33x k mg =，即33k mgx =如图可得：()()22221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212221212110++=+-+='+=()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0321222123011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=则等效弹簧刚度为：()()2123223123212k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：()()()[]222132212321bk a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ωmg ba a F +=2x x 21.7 质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图E1.7所示。

确定系统由此产生的自由振动。

图E1.7答案图E1.7解：对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：211121v m gh m =，即gh v 21=对整个系统由动量守恒可得：()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22110+=令2m 引起的静变形为2x ，则有：22sin kx g m =α，即kg m x αsin 22=令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：()kg m m x αsin 2112+=得：kg m x x x αsin 12120=-=则系统的自由振动可表示为：t xt x x n nn ωωωsin cos 00 +=其中系统的固有频率为：21m m kn +=ω注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：t v t x x n nn ωωωsin cos 00-=1.9 质量为m 、长为l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图E1.9所示。

以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。

若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：l l c a a k I ⋅-⋅-=θθθ， 231ml I =033222=++θθθka cl ml ， 223mlka n =ωn ml cl ξω2322=， 32 1123mkl a c m c n <⇒<⋅=ωξa a k l mg ⋅=⋅02θ， 202ka mgl=θ1.12 面积为S 、质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。

作用于薄板的阻尼力为Sv F d 2μ=，2S 为薄板总面积，v 为速度。

若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。

求系数μ。

l c图E1.12解：平面在液体中上下振动时：02=++kx x S xm μ2T m k n πω==， dn d T πξωω212=-=n n m S m S ωμξξωμ=⇒= 22， kS 222μξ=kS k 2221μξ-=-2020220222T T T ST mk S k T T d dd -=⇒-=πμμππ2.1 图E2.2所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。

求系统动力学方程和稳态响应。

图E2.1答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)解：等价于分别为1x 和2x 的响应之和。

先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：()()x c x k x c c x k k xm 112121+=++++ t A c A k kx x c xm 1111111cos sin ωωω+=++（1）21c c c +=，21k k k +=，mk k n 21+=ω （1）的解可参照释义（2.56），为：()()()()()()()22211111222111121cos 21sin s s t kA c s s t kA k t Y ξθωωξθω+--++--=（2）其中：n s ωω1=，21112ss tg -=-ξθ ()()()212122122122112121k k c c k k k k c s ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+ωωξ()()()()()21212212212122112122121222 121k k c c m k kk k c c k k m s s +++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-ωωωωξ故（2）为：()()()()()()()()211212212212121212112122122121111111111sin cos sin θθωωωωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=t c c m k kc k A c c m k k t A ct A k t xk 2x2 (11x k - )11x x-1()()m k k c c tg k k m k k c tg s s tg 2121121121212111211112ωωωωξθ-++=+-+=-=--- 11112k c tg ωθ-=考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-++=--=∑i i i i i i i i i i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω12212112122212221222sin2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。

已知，︒=30α，m = 1 kg ，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

图 T 2-1答案图 T 2-1解：0sin kx mg =α，1.049218.91sin 0=⨯⨯==kmg x αcm70110492=⨯==-m k n ωrad/st t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm2.2 如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。

求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

图 T 2-2答案图 T 2-2解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=W 2W 12.4 在图E2.4所示系统中，已知m ，1k ，2k ，0F 和ω，初始时物块静止且两弹簧均为原长。

求物块运动规律。

图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：()0sin 012211=+-+-t F x x k x k ω即：()t F x k x k k ωsin 022121+=+（1）对m 列运动微分方程：()1222x x k xm --=即：12222x k x k xm =+ （2）由（1），（2）消去1x 得：t k k kF x k k k k xm ωsin 2120221212+=++（3）故：()21212k k m k k n +=ω由（3）得：()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=t t k k m k F t x n n n ωωωωωωsin sin 22212022.5在图E2.3所示系统中，已知m ，c ，k ，0F 和ω，且t =0时，0x x =，0v x= ，求x k)1x x k - 2xm (2k2系统响应。

验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

图E2.3解：()()()θωωωξω-++=-t A t D t C e t x d d t cos sin cos 0()()2220211s s kF A ξ+-⋅=，2112sstg-=-ξθ ()θθcos cos 000A x C A C x x -=⇒+==()()()()θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--t A t D t C et D t C e t x d d d d td d t sin cos sin sin cos 000()ddd A Cv D A D C v xωθωωξωθωωξωsin sin 00000-+=⇒++-==求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。