统计学第五章参数估计
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统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
国开作业实用卫生统计学-第五章 参数估计 自测练习07参考（含答案）
题目：从某地随机抽取10名7岁男童，测得其平均收缩压为90mmHg，标准差为10mmHg，则7岁男童的收缩压的总体均数的95%的置信区间为（）
选项A：）
选项A：p接近于1或0时
选项B：样本率不太大时
选项C：样本例数足够大
选项D：np和n（1-p）大于5时
答案：np和n（1-p）大于5时
题目：随机抽取北京8岁男童100名作样本，测得其平就能出生体重为3.20kg，标准差为0.5kg。
则总体均数95%置信区间的公式是（）
选项A：）
选项A：是？（ C ）
选项A：假设检验
选项B：统计描述
选项C：区间估计
选项D：点估计
答案：点估计
题目：以下哪个是标准差的符号？（）
选项A：б2
选项B：或 s
答案：б 或 s
题目：评价某人的某项指标是否正常，所用的范围是± Za/2 sp
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：率的标准误的大小表明了从同一总体随机抽样时，样本率与总体率之间的差别大小选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：率的标准误越小，说明此次率的抽样误差越小
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：率的标准误用符号sp
选项A：对
选项B：错
答案：对。
统计学
2
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
吴喜之-统计学基本概念和方法-第五章总体参数的估计分析
例4.对某型号的20辆汽车记录其每5升汽油的行 驶里程（千米），观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7
28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
总体X: 该型号汽车每5升汽油的行驶里程，
例5 设盒内有黑,白两种球，个数之比是9比1，但不知道 哪种球多，有放回取三次，每次取一球，发现第一，三 次取到白球，第二次取到黑球，判断哪种球多？
解 : 设白球比例是 p，到底是0.9还是0.1呢？
如果 p=0.1， P( A) 0.12 0.9 0.009 如果 p=0.9， P( A) 0.92 0.1 0.081
数
用估计量估计总体参数
• 人们往往先假定某数据来自一个特定的总体族（比如 正态分布族）
• 而要确定是总体族的哪个成员则需要知道总体参数值 （比如总体均值和总体方差）
• 人们于是可以用相应的样本统计量（比如样本均值和 样本方差）来估计相应的总体参数
用估计量估计总体参数
• 一些常见的涉及总体的参数包括总体均值(m)、总 体标准差(s)或方差(s2)和(Bernoulli试验中)成功概 率p等（总体中含有某种特征的个体之比例）。
可用矩估计法估计其均值和标准差
x x1 x2 x20 29.8 27.6 26.9 28.695 (千米)
20
20
s
1 19
20 i1
( xi
x)2
1 19
20
( xi
28.695)2 0.98
(千米)
i1
总体均值，总体标准差的估计分别为 28.695,0.98.
统计学贾俊平-第五章-参数估计-练习题答案
2
0.058375,s0.005846, F ?2.464484, F1
0.405764
所以，方差比的置信区间为
4.051926,24.61011
5.10已知置信水平
95%,Z
/2
E1.96,120,E
20
所以，n
z
~Er
138.3，取n=139。
5.11已知
n1n2
n, E 5,112,
215，置信水平1
95%,Z
/2
1.96
所以，n
Z
2 2
1 2
256.7，取
E
n=57。
5.12已知置信水平1
95%,n1
n2n,E=0.05，取1
20.5
Z111212
所以
768.32，取n=769
12的置信区间为八01门2
(2)置信水平195%，
P1P2
0.1 1.96, 0.00096一0.00084
0.0168,0.1832
c
D
S
SI
0- 241609
S1A2
0. 058375
1S2
F0.076457
0- 005846
N
2. 464424
0-405764
1
2置信区间
5.9
Excel得，$0.241609, S20.076457, s；
统计学（第四版）贾俊平 第五章 参数估计 练习题答案
5.1（答案精确到小数点后两位）
（1）已知：n=49，15，
样本均值的标准误差X二=15荷2.14
(2)
已知：置信水平：1
95%,Z2
1.96，
(3)
0.058375,s0.005846, F ?2.464484, F1
0.405764
所以，方差比的置信区间为
4.051926,24.61011
5.10已知置信水平
95%,Z
/2
E1.96,120,E
20
所以，n
z
~Er
138.3，取n=139。
5.11已知
n1n2
n, E 5,112,
215，置信水平1
95%,Z
/2
1.96
所以，n
Z
2 2
1 2
256.7，取
E
n=57。
5.12已知置信水平1
95%,n1
n2n,E=0.05，取1
20.5
Z111212
所以
768.32，取n=769
12的置信区间为八01门2
(2)置信水平195%，
P1P2
0.1 1.96, 0.00096一0.00084
0.0168,0.1832
c
D
S
SI
0- 241609
S1A2
0. 058375
1S2
F0.076457
0- 005846
N
2. 464424
0-405764
1
2置信区间
5.9
Excel得，$0.241609, S20.076457, s；
统计学（第四版）贾俊平 第五章 参数估计 练习题答案
5.1（答案精确到小数点后两位）
（1）已知：n=49，15，
样本均值的标准误差X二=15荷2.14
(2)
已知：置信水平：1
95%,Z2
1.96，
(3)
统计学(李荣平)2014-5
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例：查表求：t0.05（8）， t0.95（8）
o
t (n)
第一节 抽样分布
（三）F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立，则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量，规定σ≤0.6mm时，认为生产过程处于良好控制
状态。为此，每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本，并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01（此时σ=0.6mm），
则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：
（1）C为何值时，S2≥c的概率才小于或等于0.01？ （2）若取得的一个样本的标准差S=0.84，生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体：试验全部可能的观测值叫总体；试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数：样本中包含的单位数叫样本容 量；从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量：总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体：总体容量可数的称有限总体， 不可数的称无限总体。 重置抽样（重复抽样）和无重置抽样（不重复抽样）
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ，称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ；统计量
n 1 i1 i
统计学习题05
答案：CDE
2.下面哪些是影响必要样本容量的因素（）。
A.总体各单位标志变异程度B.允许的极限误差大小
C.推断的可靠程度D.抽样方法和抽样组织方式
E.样本均值和样本统计量
答案：ABCD
3.评价估计量是否优良的常用标准有（ ）。
A.无偏性B.有效性
C.准确性D.一致性
E.随机性
答案：ABC
4.点估计（ ）。
[参考答案]
28.306
2.现有一大批种子，为了估计其发芽率，随机抽取400粒进行发芽试验。结果有15粒每发芽。试以90%的置信度估计这批种子的发芽率。
[参考答案]
[ 0.95 , 0.97 ]
3.设总体X服从参数 的泊松分布，其概率分布率为 ，
x=0，1，2，……试求参数 的极大似然估计量及矩估计量。
A.求每晚睡眠时间总体均值的点估计。
B.假定总体是正态分布，求总体均值的点估计的95%置信区间。
[参考答案]
A.6.86，B.[6.54 , 7.18]
5.在某地方选举进行以前展开的民意测验表明，在随机抽取的121名居民中有65名支持某候选人，试求该候选人支持率的信赖区间。（ =5%）
[参考答案]
0.54-0.089=0.451
答案：C
21.已知σ2的1-α置信区间为，该区间也可表示为（）。
（D）以上答案都不正确
答案：B
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
E. 两者呈相反方向变化
3.在进行参数估计时，我们并不是直接用一个个的具体样本之来估计、推断总体参数，而是根据样本构造出一些特定的量，用这些特定量来估计总体参数，这些根据样本构造的特定量就称为样本统计量。在估计过程中，我们把用来推估总体参数的样本统计量称为估计量。
2.下面哪些是影响必要样本容量的因素（）。
A.总体各单位标志变异程度B.允许的极限误差大小
C.推断的可靠程度D.抽样方法和抽样组织方式
E.样本均值和样本统计量
答案：ABCD
3.评价估计量是否优良的常用标准有（ ）。
A.无偏性B.有效性
C.准确性D.一致性
E.随机性
答案：ABC
4.点估计（ ）。
[参考答案]
28.306
2.现有一大批种子，为了估计其发芽率，随机抽取400粒进行发芽试验。结果有15粒每发芽。试以90%的置信度估计这批种子的发芽率。
[参考答案]
[ 0.95 , 0.97 ]
3.设总体X服从参数 的泊松分布，其概率分布率为 ，
x=0，1，2，……试求参数 的极大似然估计量及矩估计量。
A.求每晚睡眠时间总体均值的点估计。
B.假定总体是正态分布，求总体均值的点估计的95%置信区间。
[参考答案]
A.6.86，B.[6.54 , 7.18]
5.在某地方选举进行以前展开的民意测验表明，在随机抽取的121名居民中有65名支持某候选人，试求该候选人支持率的信赖区间。（ =5%）
[参考答案]
0.54-0.089=0.451
答案：C
21.已知σ2的1-α置信区间为，该区间也可表示为（）。
（D）以上答案都不正确
答案：B
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
E. 两者呈相反方向变化
3.在进行参数估计时，我们并不是直接用一个个的具体样本之来估计、推断总体参数，而是根据样本构造出一些特定的量，用这些特定量来估计总体参数，这些根据样本构造的特定量就称为样本统计量。在估计过程中，我们把用来推估总体参数的样本统计量称为估计量。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
卫生统计学七版 第五章参数估计基础
二、总体均数及总体概率的区间估计
（一）总体均数的置信区间
1、t 分布法
当 未知且 n 较小时，估计双侧置信 区间：
（X
-t
,
s X
,
X
t ,
s X
)
可简写为：
X
t ,
s X
或X t,
s n
总体均数的95%双侧置信区间为：X
t0.05,
s X
例5-2(P95) 已知某地27名健康成年男子血红蛋白 含量的均数为125g/L，标准差为15g/L，试估计该地健康 成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间 。
二项分布 n 31 X 25 n X 6 查附表6，得7 37 改错
该药物治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间为 63%～93%。
2、正态近似法 适用范围：np＞5,且n(1-p)＞ 5
例5-6（P96） 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%，试估计该 仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 np 1200.783 93.96 n(1 p) 1200.217 26.04
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计的范围称为置信区间，用CI（confidence interval）
表示，其置信度为（1 ），一般取置信度为95%，即取为0.05，此区
间的较小值称为置信下限，较大值称为置信上限。一般进行双侧置信区 间的估计。
第五章 参数估计基础
公共卫生学院 邹焰
定量资料
统计描述等级资料（有序分类资 料）
统计学参数估计
统计学参数估计统计学是一门研究如何收集、处理、分析和解释数据的学科，参数估计是统计学中的重要内容之一。
参数估计旨在利用样本数据来推断总体参数的取值范围，从而为决策和推断提供依据。
本文将介绍统计学参数估计的基本概念和方法。
一、参数估计的概念在统计学中，参数是描述总体特征的数字指标，如总体均值、方差、比例等。
总体是指我们研究的对象的全体，参数是对总体特征的数值度量。
而样本是从总体中抽取的一部分个体，样本统计量是对总体参数的估计。
参数估计就是通过样本数据推断总体参数的过程。
二、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法。
它基于一个假设：样本观察值是从总体中独立抽取的，并且满足某种概率分布。
最大似然估计的目标是找到一个参数值，使得观察到的样本出现的概率最大。
以估计总体均值为例，假设总体服从正态分布。
根据最大似然估计的原理，我们需要找到一个样本均值和样本方差，使得样本观察值出现的概率最大。
通常情况下，我们使用样本均值作为总体均值的估计值，并使用样本方差除以样本容量的平方根作为总体均值的标准误差的估计值。
三、区间估计除了点估计，我们经常需要给出参数估计的置信区间。
置信区间是估计总体参数的取值范围，其中包含了真实参数值的可能性特定置信水平。
常见的置信水平有95%和99%，意味着我们有95%或99%的置信度相信参数落在该区间内。
求解置信区间的方法有很多，其中一种常用的方法是使用样本均值加减总体均值的标准误差乘以相应的分位数来计算。
这样得到的区间便是总体参数的置信区间。
四、样本容量对参数估计的影响样本容量对参数估计的精度具有重要影响。
当样本容量较小时，估计的不确定性较高；而样本容量增加时，估计的精度会提高。
这是由于大样本可以更好地反映总体特征，减少抽样误差的影响。
五、假设检验在进行参数估计时，我们常常需要对总体参数是否等于某个给定的值进行假设检验。
假设检验的目的是评估参数估计结果的显著性，判断其是否具有实际意义。
统计学第五章 参数估计作业
2
ˆq ˆ ˆq ˆ p p ˆ Z ,p ] 2 n n
0.2 0.8 0.2 0.8 [0.2- 1.96 ,0.2 1.96 ] 400 400 [0.2- 0.0392,0.2 0.0392] [0.16,0.24 ]
3、 解 : 1 0.95,
2
2 ( Z ) 1 0.025 0.975 Z 1.96
2
0.025
代入置信区间公式: S S [ x - Z , x Z ] 2 2 n n 5 5 [4.5 - 1.96 ,4.5 1.96 ] 100 100 [4.5 0.98,4.5 0.98] [3.52,5.48]
作业:
1、设x1,x2,x3为简单随机抽样的3个观测值.如果采用如下不等权的平均值:
2 2 1 x ' x1 x2 x3 5 5 5
作为总体均值的点估计值,试说明它将比采用等权的平均值:
1 1 1 x x1 x2 x3 3 3 3
作为总体均值的点估计值要差.(提示:用点估计值衡量标准来讨论) 2、某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由16个人组成 的一个随机样本,他们到单位的距离(单位:km)分别是:10,3,14,8,6,9,12,11, 7,5,10,15,9,16,13,2.求职工上班 从家里到单位平均距离在95%的置信区间? 3、根据某大学100名学生的抽样调查,每月平均用于购买书籍的费用为4.5元, 标准差为5元,求大学生每月用于购买书籍费用的区间估计(置信度为95%)?
2 2 1 1、 解：D ( x ' ) D ( x1 x2 x3 ) 5 5 5 4 4 1 D( x1 ) D ( x2 ) D( x3 ) 25 25 25 9 D( x) 25 1 1 1 D ( x ) D ( x1 x2 x3 ) 3 3 3 1 1 1 D ( x1 ) D ( x2 ) D ( x3 ) 9 9 9 1 D( x) 3 D ( x ' ) D ( x ),即以等权的平均值作为 总体均值 的点估计值效果要好于 不等权的平均值 .
ˆq ˆ ˆq ˆ p p ˆ Z ,p ] 2 n n
0.2 0.8 0.2 0.8 [0.2- 1.96 ,0.2 1.96 ] 400 400 [0.2- 0.0392,0.2 0.0392] [0.16,0.24 ]
3、 解 : 1 0.95,
2
2 ( Z ) 1 0.025 0.975 Z 1.96
2
0.025
代入置信区间公式: S S [ x - Z , x Z ] 2 2 n n 5 5 [4.5 - 1.96 ,4.5 1.96 ] 100 100 [4.5 0.98,4.5 0.98] [3.52,5.48]
作业:
1、设x1,x2,x3为简单随机抽样的3个观测值.如果采用如下不等权的平均值:
2 2 1 x ' x1 x2 x3 5 5 5
作为总体均值的点估计值,试说明它将比采用等权的平均值:
1 1 1 x x1 x2 x3 3 3 3
作为总体均值的点估计值要差.(提示:用点估计值衡量标准来讨论) 2、某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由16个人组成 的一个随机样本,他们到单位的距离(单位:km)分别是:10,3,14,8,6,9,12,11, 7,5,10,15,9,16,13,2.求职工上班 从家里到单位平均距离在95%的置信区间? 3、根据某大学100名学生的抽样调查,每月平均用于购买书籍的费用为4.5元, 标准差为5元,求大学生每月用于购买书籍费用的区间估计(置信度为95%)?
2 2 1 1、 解：D ( x ' ) D ( x1 x2 x3 ) 5 5 5 4 4 1 D( x1 ) D ( x2 ) D( x3 ) 25 25 25 9 D( x) 25 1 1 1 D ( x ) D ( x1 x2 x3 ) 3 3 3 1 1 1 D ( x1 ) D ( x2 ) D ( x3 ) 9 9 9 1 D( x) 3 D ( x ' ) D ( x ),即以等权的平均值作为 总体均值 的点估计值效果要好于 不等权的平均值 .
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
统计学参数估计
用样本的
k
阶中心矩
Bk
1 n
n
X
i 1
X
k
去估计总体
的k阶中心矩 E[ X E( X )]k;
并由此得到未知参数的估计量 .
5-25
设总体 X 的分布函数为F x；1，2， ，m ,
1，2， ，m 是 m 个待估计的未知参数 . 设
m E( X m ) 存在，对任意 k , k 1，2， ，m
i 1
在ˆ ˆ1,ˆ2, ,ˆm 处达到最大，则称ˆ1,ˆ2, ,ˆm
分别为1,2, ,m的极大似然估计量.
5-33
n
由于 ln L ln p xi；
i 1
ln L 与 L 有相同的极大值点 .因此，ˆ 为
极大似然估计的必要条件为
ln L
i
ˆ 0
i 1，2， ，m
称它为似然方程, 其中 1,2,...,m .
5-3
在上例中，假如随机抽取了一个容量为30的样本：
平均年薪
是否参加培训
49094.3
是
53263.9
是
49643.5
否
…
…
根据该样本求得的年薪样本平均数、标准差及参加过 培训计划人数的比例分别为：
x xi / n 1554420/ 30 51814.00
s (xi x)2 /(n 1) 325009260 / 29 3347.72
知参n数， X1，X2， ，Xn 的分布律(或分布密度)
为 p xi； ,当给定样本值 x1，x2， ，xn 后，
i 1
它只是参数 的函数，记为 L ，即 n L p xi； i 1
则称 L 为似然函数，似然函数实质上是样本的
【统计学】 第五章抽样与参数估计2
0.3 .1179 .1217 .1255
求已知概率的X值——分位数
正态分布
= 10
.1217
=5 ? X
Shaded areas exaggerated
求已知概率的X值
0 12 3
68.27% 95.45% 99.73%
正态分布标准化
正态分布
Z X
标准正态分布
=1
X
=0 Z
One table!
标准化例子
正态分布
= 10 = 5 6.2 X
标准化例子
Z X 6.2 5 .12
10
正态分布
= 10
= 5 6.2 X
标准化例子
Z X 6.2 5 .12
1. “钟型”和对称性 f(X)
2. 均值、中位数和众数 相等
3. “中间散布”大多 数
4. 随机变量取值无限
X
均值 中位数
众数
正态分布概率密度函数
f( x) σ
1
e
1 2
xμ σ
2
2π
f(x) = 随机变量x的频率
= 总体标准差 = 3.14159; e = 2.71828
概率
=1
.0478
= 0 .12 Z
阴影面积
例题
P(3.8 X 5)
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
= 10
3.8 = 5 X
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
Z X 3.8 5 .12
10
= 10
3.8 = 5 X
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
Z X 3.8 5 .12
.1179
求已知概率的X值——分位数
正态分布
= 10
.1217
=5 ? X
Shaded areas exaggerated
求已知概率的X值
0 12 3
68.27% 95.45% 99.73%
正态分布标准化
正态分布
Z X
标准正态分布
=1
X
=0 Z
One table!
标准化例子
正态分布
= 10 = 5 6.2 X
标准化例子
Z X 6.2 5 .12
10
正态分布
= 10
= 5 6.2 X
标准化例子
Z X 6.2 5 .12
1. “钟型”和对称性 f(X)
2. 均值、中位数和众数 相等
3. “中间散布”大多 数
4. 随机变量取值无限
X
均值 中位数
众数
正态分布概率密度函数
f( x) σ
1
e
1 2
xμ σ
2
2π
f(x) = 随机变量x的频率
= 总体标准差 = 3.14159; e = 2.71828
概率
=1
.0478
= 0 .12 Z
阴影面积
例题
P(3.8 X 5)
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
= 10
3.8 = 5 X
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
Z X 3.8 5 .12
10
= 10
3.8 = 5 X
例题
P(3.8 X 5)
正态分布
Z X 3.8 5 .12
.1179
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通过样本观测分析发现，平均每袋重量 105.36g ， 检测人员以 95%的把握程度确信，该整批食品重量在 101.45~109.27g 之间，且估计误差不超过 4g。
第5章 参数估计
2
学习目标
学习要求： 理解——参数估计的两种方法
——2类抽样误差的实质及计量 掌握——参数估计的优良评判标准
——单一总体参数的区间估计方法 ——样本容量的确定 学习重点： 估计量的评判标准 单一总体参数的区间估计 学习难点： 单一总体参数的区间估计
总体参数： θ
估计量：??
随机变量 ，具有自己的分布
2、估计值（estimated value）：根据某一样本数据计 算出的指定估计量的具体数值。
第5章 参数估计
6
二、参数估计的两种方法
（一）总体参数的点估计（ point estimation ） （二）总体参数的区间估计（ interval estimation ）
实质：估计量抽样分布的标准差 ?抽样允许误差：极限误差，抽样允许的最大误差
实质：估计区间的半径
第5章 参数估计
19
（二）抽样平均误差 (Mean sampling error)
1、样本均值 x 的抽样平均误差
显著性水平 α
3、实质：
样本随机性
估计量：随机变量 （抽样分布）
估计误差： 随机变量
第5章 参数估计
13
4、原理：
在一定概率下估计出包含参数在内的某一抽样分布
的区间
均值的抽样分布
●● ●
●
x-E x μ x有多大的概率 使给出的估计区间包含真实参数在内？
第5章 参数估计
第5章 参数估计
3
第五章 参数估计 (Parameter estimation）
第一节 参数估计的一般问题
第二节 单一总体参数的区间估计
第三节 样本容量的确定
第5章 参数估计
4
第一节 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、参数估计的两种方法
第5章 参数估计
5
一、估计量与估计值
1、估计量 (estimator)： 用来估计总体参数的统计量。
该估计值能不能直接作为真实的总体参数使用 ?
第5章 参数估计
8
3、估计量的优良性准则（点估计）
（1）无偏性（ unbiasedness ）：估计量抽样分布的
数学期望（均值） 等于被估计的总体参数。即：
E( ?? ) ? ?
可以证明，样本均值、样本比率、修正样本方差分别 是总体均值、总体比率、总体方差的无偏点估计。
第5章 参数估计
7
（一）总体参数的点估计（ point estimation ）
1、含义： 利用样本计算的估计值 直接作为 对应总体 参数的取值。 例如:
用样本均值或中位数作为总体均值的估计值， 用样本比率作为总体比率的估计值， 用修正样本方差作为总体方差的估计值。 2、实质：抽样分布曲线上的一个确定数值（点）
Z=3，P=0.9973
9658..4257%%
μ-2 σ x μ-σx ? μ+σ x μ+2σ x x
5、区间估计的基本思路：
思路：利用实际抽样资料，计算出待估总体参数值 在给定置信水平下的上限和下限，即参数可能存在
的区间范围。 对于总体参数 θ ，计算出样本的两个估计值 θ 1
和θ 2，使被估计指标 θ 落在区间[ θ 1，θ 2]内的 概率为1-α ，即P（ θ 1≤θ ≤ θ 2 )=1一α 。则称 区间[ θ 1，θ 2]为总体指标 θ 的置信区间，其估计 置信水平为 1一α ，称α 为显著性水平， θ 1是置信 下限， θ 2是置信上限。
P(??) 样本均值的分布
样本中位数的分布
●
?
第5章 参数估计
??
10
（3）相合性（一致性）（ consistency ） 样本容量越大，估计值越接近被估计的参数。
大样本容量
P(X )
A
B
小样本容量
?
第5章 参数估计
X
11
4、点估计的特点：
优点： 参数与估计量结构设计一致 计算简单，直接
缺点： 没有刻画参数与对应估计值之间的误差 没有给出样本与总体之间估计的把握水平（置信度）
第5章 参数估计
12
（二）总体参数的区间估计（ interval estimation ）
1、含义：在对参数点估计的基础 上，以一定的置信 度估计出包含估计量与参数二者误差信息的 区间。
形式：[ 估计值-允许出现的误差，估计值+允许出现的误差]
2、置信度（ confidence level ）：表明估计量和总 体参数的误差不超过一定范围的 概率，记为1-α 。
第一章 绪论
第二章 统计数据的描述
第四章 抽样与抽样分布
第五章 参数估计
第六章 假设检验
第八章 相关与回归分析
第九章 时间序列分析
第十章 统计指数
第十一章 统计决策
第5章 参数估计
1
案例：食品的包装质量检查
某食品公司生产的某规格袋装食品，产量基本保持 稳定，规定每袋食品合格重量不低于 100g。为对产 品包装质量进行检测，该公司质检部门采用抽样技术： 每天抽取一定数量的食品，检测袋装重量是否符合要 求。现某一天生产的一批 8000袋食品中采用不重复 抽样，随机抽取了 25袋检查。
第5章 参数估计
17
第二节 单一总体参数的区间估计
一、抽样误差 二、单一总体参数的区间估计
第5章 参数估计
18
一、抽样误差（Sampling error）
（一）有关误差的概念 1、抽样误差： 是指由于随机抽样的偶然因素使抽样 估计值与总体参数之间存在的偏差。 2、分类： ?抽样平均误差：反映抽样误差一般水平的指标。
14
Z ? x ? ? 1-α既定 ?/ n
??
x ? Z? /2
?
n
? /2
? /2
1? ?
-Z? / 2
0
Z? / 2
Z
常用Z与置信水平的对应关系（双边显著性水平 α ）
Z=1， P =0.6827; Z=1.64， P=0.9；
Z=1.96，P=0.95;
Z=2，P=0.9545;
Z=2.58，P=0.99;
P(??)
无偏 有偏
A B
●
?
第5章 参数估计
??
9
（2）有效性（ efficiency ）
基于 相同样本容量 计算的两个 无偏 估计量来说， 方差 较小 的那个为有效估计量。即：若两个无偏估计量，
存在 Var( ??1 ) ? Var( ??2 ) ，则前者为有效估计量。
例：与正态分布的中位数相比，样本均值是有效估计量
第5章 参数估计
2
学习目标
学习要求： 理解——参数估计的两种方法
——2类抽样误差的实质及计量 掌握——参数估计的优良评判标准
——单一总体参数的区间估计方法 ——样本容量的确定 学习重点： 估计量的评判标准 单一总体参数的区间估计 学习难点： 单一总体参数的区间估计
总体参数： θ
估计量：??
随机变量 ，具有自己的分布
2、估计值（estimated value）：根据某一样本数据计 算出的指定估计量的具体数值。
第5章 参数估计
6
二、参数估计的两种方法
（一）总体参数的点估计（ point estimation ） （二）总体参数的区间估计（ interval estimation ）
实质：估计量抽样分布的标准差 ?抽样允许误差：极限误差，抽样允许的最大误差
实质：估计区间的半径
第5章 参数估计
19
（二）抽样平均误差 (Mean sampling error)
1、样本均值 x 的抽样平均误差
显著性水平 α
3、实质：
样本随机性
估计量：随机变量 （抽样分布）
估计误差： 随机变量
第5章 参数估计
13
4、原理：
在一定概率下估计出包含参数在内的某一抽样分布
的区间
均值的抽样分布
●● ●
●
x-E x μ x有多大的概率 使给出的估计区间包含真实参数在内？
第5章 参数估计
第5章 参数估计
3
第五章 参数估计 (Parameter estimation）
第一节 参数估计的一般问题
第二节 单一总体参数的区间估计
第三节 样本容量的确定
第5章 参数估计
4
第一节 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、参数估计的两种方法
第5章 参数估计
5
一、估计量与估计值
1、估计量 (estimator)： 用来估计总体参数的统计量。
该估计值能不能直接作为真实的总体参数使用 ?
第5章 参数估计
8
3、估计量的优良性准则（点估计）
（1）无偏性（ unbiasedness ）：估计量抽样分布的
数学期望（均值） 等于被估计的总体参数。即：
E( ?? ) ? ?
可以证明，样本均值、样本比率、修正样本方差分别 是总体均值、总体比率、总体方差的无偏点估计。
第5章 参数估计
7
（一）总体参数的点估计（ point estimation ）
1、含义： 利用样本计算的估计值 直接作为 对应总体 参数的取值。 例如:
用样本均值或中位数作为总体均值的估计值， 用样本比率作为总体比率的估计值， 用修正样本方差作为总体方差的估计值。 2、实质：抽样分布曲线上的一个确定数值（点）
Z=3，P=0.9973
9658..4257%%
μ-2 σ x μ-σx ? μ+σ x μ+2σ x x
5、区间估计的基本思路：
思路：利用实际抽样资料，计算出待估总体参数值 在给定置信水平下的上限和下限，即参数可能存在
的区间范围。 对于总体参数 θ ，计算出样本的两个估计值 θ 1
和θ 2，使被估计指标 θ 落在区间[ θ 1，θ 2]内的 概率为1-α ，即P（ θ 1≤θ ≤ θ 2 )=1一α 。则称 区间[ θ 1，θ 2]为总体指标 θ 的置信区间，其估计 置信水平为 1一α ，称α 为显著性水平， θ 1是置信 下限， θ 2是置信上限。
P(??) 样本均值的分布
样本中位数的分布
●
?
第5章 参数估计
??
10
（3）相合性（一致性）（ consistency ） 样本容量越大，估计值越接近被估计的参数。
大样本容量
P(X )
A
B
小样本容量
?
第5章 参数估计
X
11
4、点估计的特点：
优点： 参数与估计量结构设计一致 计算简单，直接
缺点： 没有刻画参数与对应估计值之间的误差 没有给出样本与总体之间估计的把握水平（置信度）
第5章 参数估计
12
（二）总体参数的区间估计（ interval estimation ）
1、含义：在对参数点估计的基础 上，以一定的置信 度估计出包含估计量与参数二者误差信息的 区间。
形式：[ 估计值-允许出现的误差，估计值+允许出现的误差]
2、置信度（ confidence level ）：表明估计量和总 体参数的误差不超过一定范围的 概率，记为1-α 。
第一章 绪论
第二章 统计数据的描述
第四章 抽样与抽样分布
第五章 参数估计
第六章 假设检验
第八章 相关与回归分析
第九章 时间序列分析
第十章 统计指数
第十一章 统计决策
第5章 参数估计
1
案例：食品的包装质量检查
某食品公司生产的某规格袋装食品，产量基本保持 稳定，规定每袋食品合格重量不低于 100g。为对产 品包装质量进行检测，该公司质检部门采用抽样技术： 每天抽取一定数量的食品，检测袋装重量是否符合要 求。现某一天生产的一批 8000袋食品中采用不重复 抽样，随机抽取了 25袋检查。
第5章 参数估计
17
第二节 单一总体参数的区间估计
一、抽样误差 二、单一总体参数的区间估计
第5章 参数估计
18
一、抽样误差（Sampling error）
（一）有关误差的概念 1、抽样误差： 是指由于随机抽样的偶然因素使抽样 估计值与总体参数之间存在的偏差。 2、分类： ?抽样平均误差：反映抽样误差一般水平的指标。
14
Z ? x ? ? 1-α既定 ?/ n
??
x ? Z? /2
?
n
? /2
? /2
1? ?
-Z? / 2
0
Z? / 2
Z
常用Z与置信水平的对应关系（双边显著性水平 α ）
Z=1， P =0.6827; Z=1.64， P=0.9；
Z=1.96，P=0.95;
Z=2，P=0.9545;
Z=2.58，P=0.99;
P(??)
无偏 有偏
A B
●
?
第5章 参数估计
??
9
（2）有效性（ efficiency ）
基于 相同样本容量 计算的两个 无偏 估计量来说， 方差 较小 的那个为有效估计量。即：若两个无偏估计量，
存在 Var( ??1 ) ? Var( ??2 ) ，则前者为有效估计量。
例：与正态分布的中位数相比，样本均值是有效估计量