如图，已知在直角△ABC 中，∠C=90°， BD 平分∠ABC 且交AC 于点D 。 （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ； （2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数。
解：（1）∵∠BAC= 30°，∠C=90°， ∴∠ABC= 60°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD= 30°， ∴∠ABD=∠BAD，
∴AD= BD；
（2）∠BPA= 180°-∠ABP -∠BAP =180°-∠ABC -∠BAC
=180°-（∠ABC+∠BAC）
=180°-×90°=135°。
如图，在△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF⊥AC 于F ，并与BC 边上的高AE 交于G ．求证：EG=EC ． 证明：
连接AD ， ∵边AB 的垂直平分线交BC 于D ，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD=22.5°， ∴∠ADE=22.5°+22.5°=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∴∠ACE+∠FDC=90°，∠ACD+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠FDC， 在△DEG 和△AEC 中
∠DEA＝∠AEC DE ＝AE
∠GDE＝∠CAE
∴EG=EC．
如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3． （1）若AC=BC ，求BC 的长；
（2）若△ABD 的周长为13，求△ABC 的周长．
解：（1）∵DE 是AC 的垂直平分线，AE=3， ∴AC=2AE=6，
已知：如图所示，在和中，，
，， 且点在一条直线上，
连接分别为的中点． 求证：①；②是等腰三角形．
（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAE=∠CAD ，
∵AB=AC ，AD=AE ， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴BE=CD ． ②∵△ABE ≌△ACD ，
∴∠ABE=∠ACD ，BE=CD ， ∵M 、N 分别是BE ，CD 的中点，
∴BM=CN ． 又∵AB=AC ， ∴△ABM ≌△ACN ． ∴AM=AN ，
即△AMN 为等腰三角形．
如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连结BF ．求证：D 是BC 的中点．
E
证明：∵AF ∥BC ， ∴∠AFE=∠DCE ， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ， ∵∠AEF=∠DEC ， ∴△AEF ≌△DEC ， ∴AF=DC ， ∵AF=BD ， ∴BD=CD ， ∴D 是BC 的中点。
如图，△ABD，△ACE 都是正三角形，BE 和CD 交于O 点，则∠BOC。
ABC △ADE △AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠B A D ，，BE CD M N ，，，BE CD ，BE CD =AMN △C E
N D A B
M
A
B
D
C
E
F
∵△ABD，△ACE 都是正三角形 ∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE ， ∴∠DAC=∠EAB ∴△DAC≌△BAE（SAS ）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD， ∴∠BOC=∠CDB+∠DBE =∠CDB+∠DBA+∠ABE =∠ADC+∠CDB+∠DBA =120°。
已知在△ABC 中，BA=BC ，∠B=120°，AB 的垂直平分线DF 交AC 于D ， 求证： DC=2AD
解：连结BD ，由DE 是AB 的垂直平分线可知AD=BD ， 又∵∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°， ∴∠ABD=30°，
∴∠ CBD=120°-30°=90°。
在Rt △CBD 中，DC=2BD 。所以DC= 2AD 。
如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，D 是BC 上一点，EC⊥BC，EC=BD ，DF=FE ．求证：
（1）△ABD≌△ACE； （2）AF⊥DE．
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BCA=45°． 又∵EC⊥BC，
∴∠ACE=90°-45°=45°． ∴∠B=∠ACE． 在△ABD 与△ACE 中
AB ＝AC ∠B＝∠ACE
DB ＝EC
∴△ABD≌△ACE（SAS ）． （2）由（1）知△ABD≌△ACE ，
∴AD=AE．
等腰△ADE 中，DF=EF ， ∴AF⊥DE．
D E
C
B
A
