球的表面积和体积
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球的表面积和体积
1.球的表面积公式:S球面=4πR2(R为球半径) 2.球的体积公式:V球=4
3
πR3(R为球半径)
球的表面积和体积的计算
过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为12π cm2,试求此球的表面积.
若截面不过球的半径的中点,而是过半径上与球心距离为1的点,且截面与此半径垂直,若此截面的面积为π,试求此球的表面积和体积.
球的表面积及体积的应用
一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥取出后,圆锥水面的高是多少?
圆柱形容器的壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少?
有关球的切、接问题
求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,切球的体积.
有三个球,第一个球切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
一个球有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积.
基础训练
1.若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于( )
A.1
2
B.1C.2 D.3
2.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍.
3.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为48π cm2,试求此球的表面积和体积.
4.正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )
A.3∶π B.2∶πC.1∶2π D.1∶3π
5.(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A.25π B.50πC.125π D.都不对
4.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( )
A.R B.2R C.3R D.4R
6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.πa2 B.7
3
πa2C.
11
3
πa2D.5πa2
7.圆柱形容器盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径是________cm.
提高训练.
1.一只小球放入一长方体容器,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径是()
A.3或8 B.8或11 C.5或8 D.3或11
2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ,AB =2, BC =4,则球O 的表面积为( )
A . 24π B.32π C. 48π D.192π
3.一几何体的三视图如右图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为( )
A .4π
B .π3
C .π2
D .π
4. 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )
A.
3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+
5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( )
A .5π
B .12π
C .20π
D .8π
6.【省抚州市一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的全面积是( )
A . 18
B .36
C . 45
D . 54
7.【省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为( )
A . 4π
B .π3
C .π2
D .π
8.【省市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.2a π
B. 237a π
C. 23
11a π D. 25a π
9.【省实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π25
10. 【全国高考新课标(I )理】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )
A 、500π3
cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 3
11. 矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )
A.π12125
B.π9125
C.π6125
D.π3
125 12.在半径为R 的球放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为( )