矩阵乘积的行列式
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(1)矩阵乘积的行列式:
引理5.2.2:一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵
并且detA=det=
证(略)
定理5.2.5设A,B是任意两个n阶矩阵,那么
det(AB)=detA debt
证明:1、先看特殊的情形:A是对角阵,容易得出结论
2、再看一般情形:由引理5.2.2,可以通过第三种初等变换把A化为对角矩阵,并且,detA=det,
A也可以通过第三种初等变换得到,即:A=
型矩阵,于是
AB=B,由行列式性质,第三种初等变换不改变行列式,我没有
det(AB)=det(B)
=det(B)
=det det()
=det detB
=detAdetB
还可推广到多个的情形。
(一)矩阵乘积的行列式
引理:一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角
矩阵
(10)
证:如果A的第一行和第一列的元素不都是零,那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零,于是再通过适当的第三种初等变换可以把A化为
如果A的第一行和第一列都是零,那么A已经具有(10)的形式.
对A进行同样的考虑,易见可用第三种初等变换逐步把A化为对角矩阵