分式方程及其解法(1)

分式方程的解法分式方程是含有分式表达式的方程，如a/b=c/d。

解决分式方程的关键是找到未知数的值，使得等式两边相等。

下面将介绍两种常见的分式方程解法。

方法一：通分求解对于简单的分式方程，可以通过通分的方法来求解。

首先，找到分式方程中各部分的最小公倍数作为通分的分母，然后将等式两边的分数的分母都改为最小公倍数。

例如，对于方程1/x + 1/(x+1) = 1/2，最小公倍数为2x(x+1)，则可以将方程改写为：2(x+1) + 2x = x(x+1)接下来，将分数转化为整数，展开方程，整理各项系数：2x + 2 + 2x = x^2 + x整理得到二次方程：x^2 + x - 4 = 0通过解二次方程，可以得到x的值。

方法二：消元法求解对于复杂的分式方程，可以通过消元法求解。

这种方法适用于分式方程中含有两个未知数的情况。

首先，将方程中的分式表达式转化为简单的代数式，然后消去其中一个未知数，将方程转化为只含有一个未知数的方程。

例如，对于方程1/(x-1) + 1/(y+1) = 2和1/(x+1) + 1/(y-1) = 4，可以通过消元法求解。

首先，将方程约分得到：(x+y)(y-1) = 2(x-1)(x+1)(x+y)(x+1) = 4(y+1)(y-1)展开整理方程，得到：x^2 + x + y^2 - y - 2x + 2 = 4y^2 - 4x^2 - 3x + y^2 - 5y - 2 = 0通过解这个方程，可以得到x和y的值。

综上所述，分式方程的解法包括通分求解和消元法求解。

通过选择合适的方法，可以解决各种类型的分式方程。

在解题过程中，需要注意展开方程、整理各项，以及解算一元二次方程等相关的数学知识。

视察这个方程与我们学过的一 元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.

教学重点
将实际问题中的等量关系用分式方程表示。找实际问题中的等量关系。
教学难点
将实际问题中的等量关系用分式方程表示。找实际问题中的等量关系。
教具准备
小黑板、课件等
教师教学过程
教师复备内容
一、课前预习与导学
1、什么叫做分式方程？解分式方程的步骤有哪几步？
2、判断下面解方程的过程是否正确，若不正确，请加以改正。
设甲每天加工服装x件，可得方程：
2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是 。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？
设这个两位数的十位数字是x，可得方程：
3、某校学生到距离学校15km的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发40min后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？
设自行车的速度为xkm/h，可得方程：
（二）探索活动：
1、上面所得到的方程有什么共同特点？
2、这些方程与整式方程有什么区别？
结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
3、如何解分式方程 ＝ ？
解：这个分式方程的两边同乘各分式的最简公分母x(x+1)，可以得到一元一次方程
20（x+1）=24x
解这个方程，得
x=5
为了判断x=5是否是原方程的解，我们把x=5代入原方程：
左边= =4，右边= =4，左边=右边.
x=5是原方程的解.
说明：解分式方程的一般步骤是先去分母（在分式方程的两边同乘各分式的最简公分母），把不熟悉的分式方程转化为熟悉的一元一次方程来解决。
三、例题教学：
例1、解方程： － ＝0

分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

第二步：解这个整式方程。

第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。