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厦门大学线性代数期末
试题及答案
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2
厦门大学2011年度（线性代数）期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33
323123222113
1211222222222a a a a a a a a a 。
2.设2
3
2
6219321862
131-=
D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则
=a 。
5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2
1
==
B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322
212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
3
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=λ++=+λ+=++λ0
00321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
A .1或2
B . －1或－2
C .1或－2
D .－1或2.
2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）
A .5
B .-5
C .-3
D .3
3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）
A .0=+
B A B .））B r A r ((=
C .O A =或O B =
D .0=A 或0=B
4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
（ ）
A ．21+ββ
B ．
()21235
1
ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-
5. 若二次型3231212
322
2166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）
A . 1
B .2
C . 3
D . 4
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算n 阶行列式a
b
b
b a b b b a
D n
=
4
5
2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=101020101A ，求矩阵B 。
3.已知向量组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且3
21,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。
6
4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα
（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
7
5. 已知线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132
（1）a 为何值时方程组有解（
2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.
6. 设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A
8
7.将二次型3231212322
213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）
已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+0
3020232
1321321x x x x x x x x x λ，（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。
