北师大版数学八年级下册第四章单元测试题得分:一、选择题1. 把多项式m 2 - 9m 分解因式，结果正确的是( )A ・ m (m-9)B ・(m+3) (m - 3) C. m (m+3) (m - 3) D ・(m-3) 22. 多项式・口与多项式2m 2 - 4m+2的公因式是( )A. m ・ 1 B ・ m+lC ・ m 2 - 1 D ・(m - 1) 23. 把多项式分解因式，正确的结果是( )A ・ 4a 2+4a+l= (2a+l) 2 B. a 2 - 4b 2= (a - 4b) (a+b)C ・ a 2 - 2aD . (a ・b) (a+b) =a 2 - b 24. 下列因式分解正确的是( )A. m'+r?二(m+n) (m ・ n)B. x 2+2x - 1= (x - 1) 2C. a 2 - a=a (a - 1)D. a 2+2a+l=a (a+2) +15. 当弘b 互为相反数时，代数式a 2+ab ・2的值为( )D ・ a 3 - a=a (a+1) (a - 1)C. (3y ・3)2D. V3(y -1)210・下列各因式分解正确的是（B ・-x 2+ ( - 2) 2= (x ・ 2) (x+2)3 (y ・ 1) 2 B ・ 3 (y 2 - 2y+l) 8. 因式分解3y 2 - 6y+3, 结果正确的是（） 9. 分解因式：y 3 - 4y 2+4y=（A. y (y 2 - 4y+4) B ・ y(y ・2) C ・ y (y+2) 2 D ・ y (y+2) (y - 2) 姓名: A. 2 B ・0 C ・-2 D ・-16. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）A. x (a - b) =ax - bxB. x 2 - l+y 2= (x - 1) (x+1) +y 2C. y 2 - 1= (y+1) (y - 1) D ・ ax+by+c 二x (a+b) +c7. 下列运算正确的是（A. (a+b) 2=a 2+b 2B. (-2ab 3) 2= - 4a 2b 6C. A. A ・ x 2+2x - 1= (x - 1) 2C. x3 - 4x=x (x+2) (x - 2) D・(x+1) 2=x2+2x+l口・把代数式X3 - 4X2+4X分解因式，结果正确的是( )A.x (x2・4x+4)B. x (x - 4) 2C. x (x+2) (x - 2)D. x (x - 2) 212.因式分解x2y・4y的结果是( )A.y (x?・4)B. y (x - 2) 2C. y (x+4) (x - 4)D. y (x+2) (x - 2)二、填空题13.分解因式：m2+2m= _________ .14.分解因式：a2+a= ________ .15.因式分解：m2 - m=_________ .16.分解因式：m2+4m= _________ .17.因式分解3a2+a= _________ .三、解答题18.因式分解：■ 3a3b+6a2b2 - 3ab3.19.发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证⑴(-1) 2+02+2+22+32的结果是5的儿倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和，并说明是5的倍数.延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是儿呢？请写出理由.20.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pXq (p, q是正整数，且pWq),在n的所有这种分解中，如果p, q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F (n)=匕q例如12可以分解成1X12, 2X6或3X4,因为12 - 1>6・2>4・3,所以3X4 是12的最佳分解，所以F (12)=旦.4(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F (m) “；(2)如果一个两位正整数t, t=10x+y (lWxWyW9, x, y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数"，求所有“吉祥数"；(3)在(2)所得“吉祥数"中，求F (t)的最大值.21.先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数盂(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为"欢喜数"，并规定F (盂)=ac.如374,因为它的白位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数"，/.F (374) =3X4=12.(1)对于"欢喜数£2,若满足b能被9整除，求证："欢喜数品"能被99整除;(2)已知有两个十位数字相同的"欢喜数"m, n (m>n),若F (m) - F (n) =3, 求m - n的值.22.对任意一个正整数m,如果m=k(k+l),其中k是正整数，则称m为“矩数〃，k 为m的最佳拆分点.例如，56=7X (7+1),则56是一个"矩数"，7为56的最佳拆分点.⑴求证：若“矩数〃m是3的倍数，则m—定是6的倍数；(2)把"矩数"p与“矩数"q的差记为D (p, q),其中p>q, D (p, q) >0.例如，20=4X5, 6=2X3,则D (20, 6) =20 - 6=14・若〃矩数〃p的最佳拆分点为t,"矩数〃q的最佳拆分点为s, 当D (p, q) =30时，求旦的最大值. t23・仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2 - 4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2 - 4x+m= (x+3) (x+n)则x2 - 4x+m=x2+ (n+3) x+3n•(n+3=-4•• < •in=3n角军得:n二・7, m= - 21•:另—个因式为(x - 7), m的值为・21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+3X・k有一个因式是(2x・5),求另一个因式以及k的值.答案与解析1.把多项式m2 - 9m分解因式，结果正确的是( )A.m (m - 9)B. (m+3) (m - 3)C. m (m+3) (m - 3)D. (m・3) 2 【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】直接找出公因式m,提取分解因式即可.【解答】解：m2 - 9m=m (m - 9).故选：A.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2.多项式・口与多项式2m2 - 4m+2的公因式是( )A.m - 1B. m+1C. m2 - 1D. (m - 1) 2【考点】52：公因式.【专题】选择题【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项.【解答】解：・ m=m (m - 1), 2m2 - 4m+2=2 (m - 1) (m - 1),m2 - m与多项式2m2 - 4m+2的公因式是(m・1), 故选：A.【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了 "・1".3.把多项式分解因式，正确的结果是( )A.4a2+4a+l= (2a+l) 2B. a2 - 4b2= (a - 4b) (a+b)C. a2 - 2a - 1= (a - 1) 2D. (a - b) (a+b) =a2 - b2【考点】54：因式分解■运用公式法.【专题】选择题【分析】直接利用乘法公式分解因式，进而判断得出答案.【解答】解：A、4a2+4a+l= (2a+l) 2,正确；B、a2 - 4b2= (a - 2b) (a+2b),故此选项错误；C、a2・2a・l无法运用公式分解因式，故此选项错误；D、(a - b) (a+b) =a2 - b2,是多项式乘法，故此选项错误；故选：A.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.4.下列因式分解正确的是( )A、m2+n2= (m+n) (m・n) B. x2+2x - 1= (x・l) 2C. a2 - a=a (a - 1)D. a2+2a+l=a (a+2) +1【考点】54：因式分解■运用公式法；53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案.【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；B、x2+2x・l无法分解因式，故此选项错误；C、a2 - a=a (a - 1),止确；D、a2+2a+l= (a+1) 2,故此选项错误;故选：C.【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.5.当a, b互为相反数时，代数式a2+ab・2的值为( )A. 2B. 0C. -2D.・ 1【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b=O,原式变形后代入讣算即可求出值.【解答】解：山题意得到a+b=O,则原式=a (a+b) - 2=0 - 2= - 2,故选c【点评】此题考查了因式分解■提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.6.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是( )A、x (a - b) =ax - bx B. x2 - l+y2= (x - 1) (x+1) +y2C. y2 - 1= (y+1) (y - 1)D. ax+by+c=x (a+b) +c【考点】51：因式分解的意义.【专题】选择题【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成儿个整式积，可得答案.【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成儿个整式积，故B错误；C、把一个多项式转化成儿个整式积，故C正确；D、没把一个多项式转化成儿个整式积，故D错误；故选：C.【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成儿个整式积是解题关键.7.下列运算正确的是( )A、(a+b) 2=a2+b2 B. ( - 2ab3) 2= - 4a2b6C. 3a2 - 2a3=a6D. a3 - a=a (a+1) (a - 1)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.【专题】选择题【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断：B、原式利用幕的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab,错误；C. x3 - 4x=x (x+2) (x - 2)D. (x+1) 2=x2+2x+l【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得岀即可.【解答】解：A、X2+2X无法因式分解，故A错误；B、- X2+ ( - 2) 2= (2+x) (2 ・ x),故 B 错误；C、x3 - 4x=x (x+2) (x - 2),故 C 正确；D、(x+1) 2=X2+2X+1,是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误.故选：C.【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键.11.把代数式x3・4x2+4x分解因式，结果正确的是( )A. x (x? - 4x+4)B. x (x - 4) 2C. x (x+2) (x - 2)D. x (x - 2) 2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案.【解答】解：原式=x (x2 - 4x+4) =x (x - 2) 2,故选：D.【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键.12.因式分解x2y・4y的结果是( )A. y (x2 - 4)B. y (x - 2) 2C. y (x+4) (x - 4)D. y (x+2) (x・2)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可釆用平方差公式继续分解.1【解答】解：x2y - 4y=y (x2 - 4)=y (x+2)(x - 2).故选：D.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.13.分解因式：m2+2m= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】根据提取公因式法即可求出答案.【解答】解：原式=口(m+2)故答案为：m (m+2)【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型.14.分解因式：a2+a= ________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提取公因式分解因式得出即可.【解答】解：a2+a=a (a+1).故答案为：a (a+1).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键.15.因式分解：m2 - m= ________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】式子的两项含有公因式m,提取公因式即可分解.【解答】解：m2 - m=m (m - 1)故答案是：m (m - 1).【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式，正确确定公因式是解题的关键.16.分解因式：m2+4m= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提提取公因式m,进而分解因式得出答案.【解答】解：m2+4m=m (m+4).故答案为:m (m+4).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.17.因式分解3a2+a= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提公因式a即可.【解答】解：3a2+a=a (3a+l),故答案为：a (3a+l).【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式.18.因式分解：■ 3a3b-^6a2b2 - 3ab3.【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】解答题【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.【解答】解：原式=-3ab (a2 - 2ab+b2) = - 3ab (a - b) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.19.发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证⑴(・1) 2+02+2+22+32的结果是5的儿倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和，并说明是5的倍数.延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是儿呢？请写出理由.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】验证⑴计算(・1) 2+02+2+22+32的结果，再将结果除以5即可；(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数：延伸：设三个连续整数的中间一个为n,用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数. 【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证(1) ( - 1) 2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15, 154-5=3,即(-1) 2+02+2+22+32的结果是5的3倍；(2)设五个连续整数的中间一个为n,则其余的4个整数分别是n-2,n-l,n+l,n+2,它们的平方和为:(n - 2)2+ (n - 1) 2+n2+ (n+1) 2+ (n+2) 2=n2 - 4n+4+n2 - 2n+l+n2+n2+2n+l+n2+4n+4=5n2+10,V 5n2+10=5 (n2+2),乂n是整数，An2+2是整数，・•・五个连续整数的平方和是5的倍数：延伸设三个连续整数的中间一个为n,则其余的2个整数是n・l, n+1,它们的平方和为：(n・l) 2+n2+ (n+1) 2=门2 - 2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,Tn是整数，・・・n2是整数，・••任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算.20.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：zpXq (p, q是正整数，且pWq),在n的所有这种分解中，如果p, q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F (n) =2..q例如12可以分解成1X12, 2X6或3X4,因为12 - 1>6・2>4・3,所以3X4是12的最佳分解，所以F (12) =4-4(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F (m) “；(2)如果一个两位正整数t, t=10x+y (lWxWyW9, x, y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数"，求所有"吉祥数"；(3)在(2)所得“吉祥数"中，求F (t)的最大值.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2 (n为正整数)，找出m的最佳分解，确定出F (m)的值即可；(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为f,则f=10y-x,根据“吉祥数" 的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数"的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t)的最大值即可. 【解答】解：(1)证明：对任意一个完全平方数m,设m=n2 (n为正整数)，T n - n =0,AnX n是m的最佳分解，・••对任意一个完全平方数m，总有F (m) =—1；n(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为f,则f=10y-x,•••t是“吉祥数",At' - t= (lOy+x) - (10x+y) =9 (y - x) =36,/. y=x+4,•・・lWxWyW9, x, y为自然数，・•・满足"吉祥数"的有：15, 26, 37, 48, 59；(3)F (15) , F (26) , F (37) =—, F (48) =^-=—, F (59)二丄，5 13 37 8 4 59色> 3_> _L> _L> 丄，4 5 13 37 59・・・所有“吉祥数"中，F (t)的最大值为4【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数"的定义是解本题的关键.21.先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数盂(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为"欢喜数"，并规定F (盂)=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数"，/.F (374) =3X4=12.(1)对于"欢喜数£2,若满足b能被9整除，求证："欢喜数品"能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的"欢喜数"m, n (m>n),若F (m) - F (n) =3, 求m - n 的值.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】⑴根据欢喜数的定义可得出a+c=b,山蕊“OOa+lOb+c可得出云=99a+llb,结合b能被9整除即可证出"欢喜数品"能被99整除；⑵设m=屯比r n= a2bc2(且ai>a2),根据 F (m) - F (n) = (ai・a2)(b -ai - a2)=3结合ai、a2、b均为整数，即可得出ai・a2=l或ai・a2=3,将其代入m・n=99 (ai - a2)中即可得出结论.【解答】⑴证明：•・•盂为欢喜数，・°・ a+c=b.*.• abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+llb, b 能被9 整除,A lib能被99整除,99a能被99整除,•••"欢喜数訪c 〃能被99整除.(2)设 m 二 g]bcr n= a 2bc 2 (ai>a2)， F (m) - F (n) =ai e ci - a2e C2=ai e(b - ai) - a2 (b-a2)= (ai-a2)(b-ai ・a2)=3, ai 、a2、b 均为整数，/. ai - a2=l 或 ai ■ a2=3 ・•••m ・ n=100 (ai - a2) " (ai - a2)=99 (ai - a2)^/.m - n=99 或 m ・ n=297. ・°•若F (m)・F(n)=3,则m ・n 的值为99或297.【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出餵=99a+llb ： (2) 由 F (m) - F (n) =3,求岀 ai - a2=l 或巧-a2=3.22.对任意一个正整数m,如果m=k(k+l),其中k 是正整数，则称m 为〃矩数〃, k 为m 的最佳拆分点.例如，56=7X (7+1),则56是一个〃矩数〃，7为56的最 佳拆分点. ⑴求证：若“矩数〃m 是3的倍数，则m —定是6的倍数；(2)把"矩数"p 与“矩数"q 的差记为D (p, q),其中p>q, D (p, q) >0.例如， 20=4X5, 6=2X3,则D (20, 6) =20・6=14.若"矩数"p 的最佳拆分点为t,"矩 数"q 的最佳拆分点为s,当D (p, q) =30时，求旦的最大值.t【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】⑴当k 为奇数时，k+1是偶数，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+l)是6的倍数；当k 为偶数时，则k(k+l)是能被3整除的偶数，故k(k+l) 是6的倍数，(2)根据题意得 p=t (t+l)^ q=s (S +1)T D (p, q) =t (t+1) - s (s+1) =30,即 t 2+t -s 2 - s=30,分解因式得到(t - s) (t+s+1) =30,根据 30=1 X30=2X 15=3X 10=5【解答】解:⑴若〃矩数二k (k+1)是3的倍数,则k (k+1)是3的倍数,k 是正整数,得到方程组求得< 5或1 g 或] 5=14 冷二6 X6, s 于是得到结论•当k 为奇数时，k+：［是偶数，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+1)是6 的倍数；当k 为偶数时，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+1)是6的倍数， 综上所述，若“矩数〃m 是3的倍数，则口一定是6的倍数；(2)根据题意得 p=t (t+1), q=s (s+1), D (p, q) =t (t+1) - s (s+1) =30, W t 2+t - s 2 - s=30,/. (t - s) (t+s+1) =30,Vt, s 是正整数，t>s,At - S, t+s+1 是正整数，且 t+s+l>t - S TT 30=1 X 30=2 X 15=3 X 10=5 X 6,• t-s=l ••[t+s+1二30 解得：[t=15s 二 14Vt, s 是正整数,逬41或咅或 逬的最大值是營【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解 题的关键.23・仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2 - 4x+m 有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m 的 值. 解：设另一个因式为(x+n),得x 2- 4x+m= (x+3) (x+n) 则 x?・ 4x+m=x2+ (n+3) x+3n• (n+3=-4 • • < ・t-s=5 t+s+l=6,•••符合条件的是:,t 二 15 g=14 t-s=2或 t-s=3 或k 5=6 5=3irr3n角军•得:n= - 7, m=・21・°•另—个因式为（x・7）, m的值为・21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+3X - k有一个因式是（2x・5）,求另一个因式以及k的值. 【考点】51：因式分解的意义.【专题】解答题【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2・4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子2x2+3x・k的二次项系数是2,因式是（2x・5）的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.【解答】解：设另一个因式为（x+a）,得（1分）2X2+3X - k= （2x - 5）（x+a）（2 分）则2X2+3X・ k=2x2+ （2a - 5） x - 5a （4 分）...< 2a-5=3（§ 分）-5a=-k解得:a=4, k=20 （8 分）故另一个因式为（x+4）, k的值为20 （9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.。
