（1） 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
（2） “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
（3） 解“牛吃草”问题的主要依据：
草的每天生长量不变；
每头牛每天的食草量不变；
草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
新生的草量每天生长量天数．
（4） 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
（5） “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（1） 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的对比的解题思路.
（2） 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 重难点 知识框架 牛吃草问题
一、 一块草地的牛吃草
【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？
【例 2】 一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
第十五讲 牛吃草问题
1.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？
3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
4.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
5.一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？
A
1.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15
头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？
2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？
3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块
草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
4.由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每 分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
五年级数学培优：牛吃草问题
主要类型： 1、求时间 2、求头数
基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；
(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；
(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15
(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
第十四讲 行程问题(二)
【知识要点】
这一讲主要是学习趣味性较强的行程问题.
【经典例题】
【例1】两列火车从甲、乙两地同时相对开出，在距中点48km处相遇，已知快车的速度比慢车快24km/h，慢车的速度为60km/h..求甲、乙两地相距多少？
【例2】某学校与某工厂之间有一条公路.该校下午2点派车到工厂接劳模作报告，往返需1小时.这位劳模在下午1点钟便离厂步行去学校，途中遇到接他的车就立即上车驶去学校，于下午2点40分到达学校.汽车速度是劳模步行速度的几倍？
【例3】甲、乙两人在相距50米的A、B两端的水池里沿直线来回游泳.甲的速度是1米/秒，乙的速度是2米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回游了10分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内他们共相遇了多少次？
【例4】小伟以每小时12千米的速度从博物馆骑车去铁路局.出发时两辆4路电车从不同方向驶来，都恰好从他的身边驶过.当他到铁路局时，从身后驶来的第3辆和迎面驶来的第7辆电车恰好同时从他身边驶过.所有这些电车的速度及相邻两车之间的距离相等，那么电车的速度是多少？
【例5】设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍.现甲自A地去B地，乙、丙则从B地去A地.双方同时出发.出发时，甲、乙为步行，丙骑车.途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙驶，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进.问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达目的地？
【例6】如右图所示，一个边长为100米的正方形围墙，甲、乙两人分别从两个对角处按逆时针方向同时出发.已知甲每秒走5米，乙每秒走3米.问：至少经过多长时间甲才能看到乙？
【大展身手】
1.油车和运货车同时从甲城开往乙城，油车每小时行46千米，货车每小时行32千米，油车到达乙城时，因装卸邮件停留30分钟后立即返回甲城.在返回的途中与货车相遇，两车从出发到相遇经过5小时30分，求两车相遇时离乙城多少千米？
